1、第3讲平面向量和复数(文理)JIE TI CE LUE MING FANG XIANG解题策略明方向考情分析1高考中主要考查平面向量基本定理、向量的运算及平面向量共线的坐标表示2主要考查复数的基本概念、复数的四则运算，及复数的几何意义真题分布(理科)年份卷别题号考查角度分值2020卷1复数的运算法则和复数的模的求解5卷13、15向量垂直的充分必要条件；复数模长的求解、复数及其运算的几何意义10卷2、6复数的除法运算；平面向量数量积的计算以及向量模的计算、平面向量夹角余弦值的计算102019卷2、7复数模的运算、平面向量的数量积与夹角10卷2、3共轭复数的几何意义、数量积定义及性质10卷2、13
2、复数乘除法、向量夹角102018卷1、6复数的运算和模、平面向量线性运算10卷1、4复数四则运算、平面向量数量积10卷2、13复数的四则运算、向量平行与坐标表示10(文科)年份卷别题号考查角度分值2020卷2、14复数的模的计算；向量垂直的坐标表示10卷2、5复数的乘方运算；平面向量数量积的定义和运算性质10卷2、6复数的除法运算，共轭复数的概念；平面向量及其数量积的坐标运算，轨迹方程的求解102019卷1、8复数的乘法运算，复数模的计算；向量的数量积及各个向量的模，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，求出夹角10卷2、3数的运算及共轭复数；平面向量模长的计算10卷2、13复数的商的运算；复数
3、的商的运算，102018卷1、7复数模的计算；平面向量基本定理10卷1、4复数的乘法运算；向量模的性质以及向量乘法10卷2、13复数的四则运算；向量的坐标运算，以及两向量共线10KAO DIAN FEN LEI XI ZHONG DIAN考点分类析重点考点一平面向量的线性运算1平面向量的线性运算(1)常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连的向量的和用三角形法则(2)找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解2向量共线的四个结论(1)若a与b不共线且ab，则0(2)直线的向量式参数方
4、程：A，P，B三点共线(1t)t(O为平面内任一点，tR)(3)(，为实数)，若A，B，C三点共线，则1(4)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1y2x2y1，当且仅当x2y20时，ab.3平面向量的基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12e2其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底考向1平面向量的线性运算1(2020吉林省重点高中第二次月考)如图，若a，b，c，B是线段AC靠近点C的一个四等分点，则下列等式成立的是(C)AcbaBcbaCcbaDcba【解析】c()ba.故选C
5、2(2020吉安一模)如图所示，矩形ABCD的对角线相交于点O，E为AO的中点，若(，R)，则等于(A)ABC1D1【解析】由平面向量基本定理，化简()，所以，即.故选A考向2平行与垂直求参数3(2020兰州二诊)已知向量a(1，m)，向量b(1，)，若ab，则m(B)ABCD【解析】由题得1m(1)0，m.故选B4(2020淮南二模)已知向量a(m,1)，b(3,3)若(ab)b，则实数m_5_.【解析】因为(ab)b，故(ab)b0，即3m3180，故m5平面向量线性运算的两个技巧(1)对于平面向量的线性运算问题，要尽可能转化到三角形或平行四边形中，灵活运用三角形法则、平行四边形法则，紧密
6、结合图形的几何性质进行运算(2)在证明两向量平行时，若已知两向量的坐标形式，常利用坐标运算来判断；若两向量不是以坐标形式呈现的，常利用共线向量定理(当b0时，ab存在唯一实数，使得ab)来判断考点二平面向量的数量积1平面向量数量积的性质及其坐标表示已知非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，a与b的夹角为.结论几何表示坐标表示模|a|a|夹角cos cos ab的充要条件ab0x1x2y1y20|ab|与|a|b|的关系|ab|a|b|x1x2y1y2|2平面向量数量积的运算律(1)abba(交换律)(2)ab(ab)a(b)(结合律)(3)(ab)cacbc(分配律)考向1数量积的运算1
7、(2020吉林省重点高中第二次月考)已知在矩形ABCD中，AB4，AD2，若E，F分别为AB，BC的中点，则(B)A8B10C12D14【解析】据题意，得()()021cos 024cos 0010故选B2(2020江苏省八校联考)直角ABC中，点D为斜边BC中点，AB6，AC6，则_14_.【解析】以A为坐标原点建立平面直角坐标系即可，建系后可得A(0,0)，B(0,6)，C(6,0)，D(3,3)，E(1，)，所以(1，)，(1,5)，则11514考向2利用向量求夹角与模3(2020安徽省十四校联盟段考)已知向量a与b方向相反，a(1，)，|b|2，则|ab|(B)A2B4C8D16【解析
8、】a(1，)，|a|2，又向量a与b方向相反，且|b|2，ab，|ab|2|b|.故选B4(2020山东省德州市期末)已知向量a，b满足|a|1，|b|2，(ab)(a3b)13，则a与b的夹角为(C)ABCD【解析】(ab)(a3b)a22ab3b213，即2ab1113，得ab1，则cos ，0，.故选C考向3利用向量求范围5(2020安徽省皖江联盟联考)若平面向量a，b，c满足|a|3，|b|2，|c|1，且(ab)cab1，则|ab|的最大值为(D)A31B31C21D21【解析】由(ab)cab1得：ab1(ab)c|ab|c|ab|，(ab1)2|ab|2a2b22ab132ab，
9、(ab)212，2ab2，|ab|，当ab2时，|ab|取得最大值，|ab|max21，故选D6(2020四川省成都外国语学校月考)向量a，b满足|a|2，|b|1，且|a2b|(2,2，则a，b的夹角的取值范围是_.【解析】因为|a2b|(2,2，所以(a2b)2(4,12，即a24b24ab448cos (4,12，所以cos ，故.考向4平面向量数量积的应用7(2020河北石家庄9月段考)设等边三角形ABC的边长为1，平面内一点M满足，则向量与的夹角的余弦值为(D)ABCD【解析】由题意知，等边三角形ABC的边长为1，平面内一点M满足，设BC的中点为O，连接OA，以点O为原点，分别以BC
10、，OA所在直线为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，如图所示则A，B，C.所以，.所以.设向量与的夹角为，则cos.故向量与的夹角的余弦值为.故选D8(2020四川省成都七中模拟)已知向量与的夹角为120，且|3，|2，若，且则实数的值为_.【解析】，()()22(1)0，即94(1)320，解得.1解决以平面图形为载体的向量数量积问题的方法(1)选择平面图形中模与夹角确定的向量作为一组基底，用该基底表示构成数量积的两个向量，结合向量数量积运算律求解(2)若已知图形中有明显的适合建立直角坐标系的条件，可建立直角坐标系将向量数量积运算转化为代数运算来解决2求两向量夹角应注意两个向量夹角的范围是0，在
11、使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量夹角可能是0或的情况，如已知两个向量的夹角为钝角时，不仅要求其数量积小于零，还要求不能反向共线考点三复数1复数的运算法则设z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，则：(1)z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i；(2)z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i；(3)z1z2(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i；(4)i(cdi0)2复数的模|z|即复数对应的向量的模|，|z1z2|表示复数z1对应的点与复数z2对应的点之间的距离考向1复数的概念1(2020四川省成都七中模拟)已知aR，i为虚数单位，若i为实数，则a的值为(A)
12、A1B2C3D4【解析】ii(1a)i为实数，1a0，即a1故选A2(2020西南名校联盟联考)若复数z满足i，则|z|(D)ABCD【解析】方法一：由i，得|i|，|z|，方法二：由i，可得z12i，|z|，故选D考向2复数的四则运算3(2020江西省上饶市一模)计算(D)A12iB12iC12iD12i【解析】由复数的运算法则可得：12i.故选D4(2020江苏省扬州市调研)若(3i)z2i(i为虚数单位)，则复数z_i_.【解析】(3i)z2i，zi.考向3复数的几何意义5(2020云南省昆明市月考)在复平面内，复数z1i的共轭复数对应的向量为(C)【解析】复数z1i的共轭复数为z1i，
13、对应的点为(1，1)，复数z1i的共轭复数对应的向量为为图C，故选C6(2020北京昌平区期末)在复平面内，复数i(i1)对应的点位于(C)A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【解析】i(i1)i2i1i，在复平面内对应的点的坐标为(1，1)，位于第三象限，故选C掌握复数代数形式运算的方法(1)复数的乘法：复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类项，不含i的看作另一类项，分别合并同类项即可(2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题时要注意把i的幂写成最简形式复数的除法类似初中所学化简分数常用的“分母有理化”，其实质就是“分母实数化”YI CUO
14、QING LING MIAN SHI WU易错清零免失误1混淆向量共线与向量垂直的坐标表示典例1(2020河南南阳中学月考)已知向量a(1,2)，b(1,0)，c(3,4)，若为实数，(ab)c，则(C)A2B1CD【错解】因为向量a(1,2)，b(1,0)，所以ab(1,2)(，0)(1，2)，因为(ab)c，且c(3,4)，所以3(1)420；解得，故选D【剖析】以上错误把向量共线的坐标表示利用成向量垂直的坐标表示，导致结果错误【正解】因为向量a(1,2)，b(1,0)，所以ab(1,2)(，0)(1，2)，因为(ab)c，且c(3,4)，所以4(1)32，解得，故选C2忽视两向量的夹角的
15、范围典例2(2020福田区校级模拟)设平面向量a(2,1)，b(，2)，若a与b的夹角为锐角，则的取值范围是(B)A(2，)B(，4)(4,1)C(1，)D(，1)【错解】a与b的夹角为锐角，ab0，220，解得0且a，b不共线，解得1且4，的取值范围是(，4)(4,1)故选B3错用复数运算法则典例3(2020湖南雅礼中学第一次月考)若复数z的共轭复数满足：(1i)2i，则复数z等于(D)A1iB1iC1iD1i【解析】方法一：因为(1i)2i，所以1i，因此，z1i，故选D方法二：由已知可得，所以z()1i.故选D【剖析】(1)该题易出现的问题有两个：一是不能正确利用复数的除法法则求出，导致
16、不能根据共轭复数的概念得到正确的选项；二是记错共轭复数的运算法则，导致求错结果(2)共轭复数的求解，可以利用相应的运算法则直接求解，如，等，这样就不需要先求出复数，再求其共轭复数了4不能正确理解复数的几何意义典例4(2020襄阳四中9月月考)在复平面内，复数z的共轭复数对应的点位于(A)A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【解析】z1i，所以1i，故在复平面内对应的点为(1,1)，在第一象限，故选A【剖析】该题易出现的问题如下：一是忽视题中所求，误以为判断复数z在复平面内对应的点所在的象限导致出错；二是不能正确理解复数的几何意义，从而导致选错，复数z及其共轭复数在复平面内对应的两点关于实轴对称，故可直接利用z在复平面内对应的点判断由已知可求得z1i，在复平面内对应的点为(1，1)，在第四象限，故其共轭复数对应的点在第一象限
