1、沧州一中寒假作业数学（八）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合3，集合，若，则实数m的取值集合为A. B. C. D. 2. 设i是虚数单位，若复数，则复数z的模为A. 1B. C. D. 3. 设命题p：，则为A. ，B. ，C. ，D. ，4. 近年来随着计划生育政策效果的逐步显现以及老龄化的加剧，我国经济发展的“人口红利”在逐渐消退，在当前形势下，很多二线城市开始了“抢人大战”，自2018年起，像西安、南京等二线城市人才引进与落户等政策放宽力度空前，至2019年发布各种人才引进与落户等政策的城市已经有16个某二线城市与2018年初制定人才引进与落户新政即放宽政策，以
2、下简称新政：硕士研究生及以上可直接落户并享有当地政府依法给与的住房补贴，本科学历毕业生可以直接落户，专科学历毕业生在当地工作两年以上可以落户高中及以下学历人员在当地工作10年以上可以落户新政执行一年，2018年全年新增落户人口较2017年全年增加了一倍，为了深入了解新增落户人口结构及变化情况，相关部门统计了该市新政执行前一年即2017年与新政执行一年即2018年新增落户人口学历构成比例，得到如饼图：则下面结论中错误的是A. 新政实施后，新增落户人员中本科生已经超过半数B. 新政实施后，高中及以下学历人员新增落户人口减少C. 新政对硕士研究生及以上的新增落户人口数量暂时未产生影响D. 新政对专科
3、生在该市落实起到了积极的影响5. 九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏在某种玩法中，用表示解下个圆环所需的移动最少次数，满足，且，则解下4个圆环所需的最少移动次数为A. 7B. 10C. 12D. 226. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积A. B. C. D. 7. 当点到直线的距离最大值时，m的值为A. B. 0C. D. 18. 某次测量发现一组数据具有较强的相关性，并计算得，其中数据因书写不清楚，只记得，是上的一个值，则该数据对应的残差残差真实值预测值的绝对值不大于的概率为A. B. C. D. 9. 函数的图象大致是A. B. C. D. 10. 在中，角A，B，C
4、的对边分别为a，b，c，若为锐角三角形，且满足，则等式成立的是 A. B. C. D. 11. 已知抛物线C：的焦点为F，过点F分别作两条直线，直线与抛物线C交于A，B两点，直线与抛物线C交于M，N点，若与直线的斜率的乘积为，则的最小值为 A. 14B. 16C. 18D. 2012. 已知函数为自然对数的底数，若存在实数，使得，且，则实数a的最大值为A. B. C. D. 1二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 某篮球运动员罚篮命中率为，在一次罚篮训练中连续投篮50次，X表示投进的次数，则_14. 为正整数的展开式中各项的二项式系数之和为128，则其展开式中含x项的系数是_15.
5、 ，均为单位向量，且它们的夹角为，设，满足，则的最小值为_16. 如图所示，正方体的棱长为1，M，N为线段BC，上的动点，过点，M，N的平面截该正方体的截面记为S，则下列命题正确的是_当且时，S为等腰梯形；当M，N分别为BC，的中点时，几何体的体积为；当M为BC中点且时，S与的交点为R，满足；当M为BC中点且时，S为五边形；当且时，S的面积三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 已知数列是公比为的正项等比数列，是公差d为负数的等差数列，满足，求数列的公比q与数列的通项公式；求数列的前10项和18. 伴随着科技的迅速发展，国民对“5G”一词越来越熟悉，“5G”全称是第五代移动电话行动通
6、信标准，也称第五代移动通信技术2017年12月10日，工信部正式对外公布，已向中国电倌、中国移动、中国联通发放了5G系统中低频率使用许可2019年2月18日上海虹桥火车站正式启动5G网络建设为了了解某市市民对“5G”的关注情况，通过问卷调查等方式研究市民对该市300万人口进行统计分析，数据分析结果显示：约的市民“掌握一定5G知识即问卷调查分数在80分以上”将这部分市民称为“5G爱好者”某机构在“5G爱好者”中随机抽取了年龄在岁之间的100人按照年龄分布如图所示，其分组区间为：，求频率直方图中的a的值；估计全市居民中35岁以上的“5G爱好者”的人数；若该市政府制定政策：按照年龄从小到大，选拔的“
7、5G爱好者”进行5G的专业知识深度培养，将当选者称成按照上述政策及频率分布直方图，估计该市“5G达人”的年龄上限19. 如图，在多面体ABCDEF中，平面平面四边形ADEF为正方形，四边形ABCD为梯形，且，是边长为1的等边三角形，M为线段BD中点，求证：；求直线MF与平面CDE所成角的正弦值；线段BD上是否存在点N，使得直线平面AFN？若存在，求的值；若不存在，请说明理由20. 在平面直角坐标系xOy中，椭圆的上顶点为A，左、右焦点分别为，直线的斜率为，点P，Q在椭圆E上，其中P是椭圆上一动点，Q点坐标为求椭圆E的标准方程；作直线l与x轴垂直，交椭圆于H，K两点K两点均不与P点重合，直线PH
8、，PK与x轴分别交于点M，求的最小值及取得最小值时点P的坐标21. 已知函数讨论的单调性；令，当，时，证明：22. 在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为：求曲线C的直角坐标方程；动点P是曲线C在第一象限的点，当四边形OAPB的面积最大时，求点P的直角坐标23. 已知函数若，求x的取值范围；在的条件下，求的最大值答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了集合的包含关系的简单应用，属于基础试题若，则，即可求解满足条件的m【解答】解：3，若，则或实数m的取值集合为故选：C2.【答案】D【解析】【分析】本题考查复数模的求法，是基础题直接利用复数模
9、的计算公式求解【解答】解：，故选D3.【答案】D【解析】【分析】本题考查含有一个量词的命题的否定是基本知识的考查全称命题的否定是特称命题，写出结果即可【解答】解：由全称命题的否定是特称命题可知命题p：，则是：，故选：D4.【答案】B【解析】【分析】本题考查了对图表信息的处理及简单的合情推理，属中档题先对图表信息进行处理，再结合简单的合情推理逐一检验即可得解【解答】解：由该市新政执行前一年即2017年与新政执行一年即2018年新增落户人口学历构成比例的饼图可知：选项A，C，D正确，对于选项B，设2017年全国落户m人，则2018年全国落户2m人，则2017年高中及以下学历人员落户人，2018年高
10、中及以下学历人员落户人，故新政实施后，高中及以下学历人员新增落户人口增加，故选项B错误，故选：B5.【答案】A【解析】【分析】本题考查递推式的应用，属于基础题本题可根据递推式逐步计算【解答】解：由题意，可知：，故选A6.【答案】D【解析】解：由三视图知，该几何体是由半径为1高为1的圆柱与一个半圆柱组成的几何体，表面积为故选：D通过三视图判断几何体的形状，利用三视图的数据直接求解几何体的表面积即可本题考查三视图与几何体的直观图的关系，几何体的表面积的求法，考查计算能力与空间想象能力7.【答案】C【解析】解：直线可化为，由直线点斜式方程可知直线恒过定点且斜率为m，结合图象可知当PQ与直线垂直时，点
11、到直线距离最大，此时，解得，故选：C可得直线过定点，结合图象可知当PQ与直线垂直时，点到直线距离最大，由直线的垂直关系可得m本题考查点到直线的距离公式，得出垂直时点到直线距离最大是解决问题的关键，属基础题8.【答案】C【解析】解：由题意，其预估值为，该数据对应的残差的绝对值不大于时，其概率可由几何概型求得，即该数据对应的残差的绝对值不大于的概率故选：C求出预测值，再求出该数据对应的残差的绝对值不大于1时的取值范围，用几何概型解答本题考查了几何概型的概率计算问题，是基础题9.【答案】A【解析】【分析】本题考查函数的图象与图象变换，考查数形结合的解题思想方法，是中档题由函数为偶函数排除C，再由指数
12、函数的性质排除B，D，则答案可求【解答】解：由，得，可得为偶函数，排除C；当时，结合“指数爆炸”可得，排除B，D故选：A10.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题利用三角函数恒等变换的应用，正弦定理化简已知等式可得，即可得解【解答】解：为锐角三角形，且，故选：B11.【答案】B【解析】【分析】本题考查了抛物线的性质，直线与抛物线的关系，属中档题设直线的方程为：，将其代入可得：，根据韦达定理以及抛物线的定义可求得，同理可求得，然后相加利用基本不等式可得最小值【解答】解：因为，由题意可设直线的方程为：，将其代入可得：
13、，设，与的斜率的乘积为，的斜率为，同理可得，当且仅当时取等号故选：B12.【答案】A【解析】【分析】本题考查利用函数求导研究参数的范围问题，属于较难题本题关键点是先求出，确定的范围，再利用参数分离法求出a的最大值【解答】解：显然函数是单调递增函数，故，又，且，所以，因为，令，由，得，即，设，对于在上递减函数，最大值为，所以，单调递减，所以a的最大值为故选A13.【答案】或【解析】【分析】本题考查了二项分布期望、方差的计算问题，是基础题根据题意知随机变量，计算即可【解答】解：由题意知，随机变量，则故答案为：或14.【答案】【解析】解：由为正整数的展开式中各项的二项式系数之和为128，所以，所以，
14、则的展开式中含x项为，即其展开式中含x项的系数是，故答案为：由二项式定理及展开式的项得：的展开式中含x项为，得解本题考查了二项式定理及展开式的项，属中档题15.【答案】【解析】【分析】本题考查了向量模的几何意义及点的轨迹，属中档题由向量模的几何意义及点的轨迹得：在平面中所对应的点A在以为圆心，为半径的圆上运动，在平面中所对应的点B在直线上运动，则的几何意义为点A到点B的距离，则的最小值为，得解【解答】解：建立如图所示的平面直角坐标系，由，均为单位向量，且它们的夹角为，则设，又满足，则在平面中所对应的点A在以为圆心，为半径的圆上运动，又，则在平面中所对应的点B在直线上运动，则的几何意义为点A到点
15、B的距离，由图可知，即的最小值为，故答案为：16.【答案】【解析】【分析】本题考查了简易逻辑的判定方法、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属中档题利用空间直线的位置关系，作辅助线，以及柱体，锥体的体积和表面积公式进行计算，对选项逐一分析，利用命题真假进行判断即可【解答】解：对于，如图1所示，当且时，由面面平行的性质定理可得，交线，且，所以截面S为等腰梯形，正确；对于，如图2，取的中点为H，连接NH，则，即几何体的体积为；当时，延长，MN交于G，连接AG交于R，如图，由，可得，由，故可得，故错误；当M为BC中点时，N与重合，取AB中点为E，如图：此时的截面形状为，显然为四边形，故错误；当且
16、时，取，则如图：当时，N与重合，可知截面为即为截面且为等腰梯形，故其面积为，故错误；故选：17.【答案】解：是公差d为负数的等差数列，且，得，则又，解得：或舍，于是，又是公比为q的等比数列，故，舍或，；设的前n项和为；令，即，得，于是，当时，【解析】本题是等差数列与等比数列的综合题，考查等差数列与等比数列的通项公式及前n项和，是中档题由已知结合等差数列的性质列式求得与公差，则数列的通项公式可求，再由等比数列的性质及求得数列的公比q；设的前n项和为，令，即，得，求得，再求出的值，则答案可求18.【答案】解：依题意：所以，；根据题意全市“5G爱好者”万人由样本频率直方图分布可知，35岁以上“5G爱
17、好者”的频率为，据此可估计全市35岁以上“5G爱好者”的人数万人样本频率分布直方图中前两组的频率之和为前3组频率之和为所以，年龄在之间，不妨设年龄上限为m，由，得，所以，估计该市“5G达人”的年龄上限为28岁【解析】本题主要考查频率分布直方图、分层抽样、对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题由频率直方图的性质能求出a的值根据题意全市“5G爱好者”有180万人，由样本频率直方图分布可知，35岁以上“5G爱好者”的频率为，据此可估计全市35岁以上“5G爱好者”的人数为万人样本频率分布直方图中前两组的频率之和为前3组频率之和为，年龄在之间，不妨设年龄上限为m，由，能求出，估计该
18、市“5G达人”的年龄上限为28岁19.【答案】证明：因为ADEF为正方形，所以又因为平面平面ABCD，且平面平面，平面ADEF，所以平面又平面ABCD，所以解：取AD中点O，EF中点K，连接OB，OK于是在等边中，在正方ADEF中，又平面平面ABCD，平面平面，故平面AFEF，平面AFEF，所以，即OB，OD，OK两两垂直分别以OB，OD，OK所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图，于是，所以，设平面CDE的一个法向量为y，则，令，则，则设直线MF与平面CDE所成角为，则直线MF与平面CDE所成角的正弦值为解：要使直线平面AFN，只需，设，则，则，又，所以，又所以，解得，所以线段BD
19、上存在点N，使得直线平面AFN，且【解析】本题考查线线垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查满足条件的点是否存在的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题推导出从而平面由此能证明取AD中点O，EF中点K，连接OB，则，从而平面AFEF，进而，分别以OB，OD，OK为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线MF与平面CDE所成角的正弦值要使直线平面AFN，只需，利用向量法能求出线段BD上存在点N，使得直线平面AFN，且20.【答案】解：由直线的斜率为可知直线的倾斜角为在中，于是，设椭圆，将代入得，解得：椭圆E的标准方程为；设点，
20、于是，直线，令，直线，令，则又，代入上式并化简即当即时取得最小值由，化简得，根据题意：，若亦与题意不符，此时或由，化简得，将，代入并化简得：根据题意：，若，则，而，不成立，即不成立综上，或，故点P的坐标为或【解析】由已知直线的斜率为可知直线的倾斜角为在中，得，可设椭圆，将Q坐标代入求得c，则椭圆方程可求；设点，分别写出直线PH，PK的方程，求出两直线在x轴上的截距，利用基本不等式求的最小值，然后分类求解取最小值时点P的坐标本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，训练了利用基本不等式求最值，考查计算能力，属难题21.【答案】解：的定义域，当时，则在上单调递减；当时，令，可得；令可得
21、；则在上单调递增，在上单调递减当时，要证明成立，即证：令，令 0/，所以，在单调递增；在递减又由已知，可知在上为减函数故，即令，当单调递减；当，单调递增故，即，【解析】先求导，再分类讨论，根据导数和函数单调性的关系即可求出，原不等式等价于，构造函数，利用导数求出函数的最值，即可得到再构造函数，再利用导数求出函数的最值，即可证明本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查转化思想，是一道综合题22.【答案】解：由可得，整理得，即曲线C的直角坐标方程；由动点P是曲线C在第一象限的点可设点，设四边形OAPB的面积为S，则，所以当时，S最大，此时P点【解析】本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题利用互化公式可得曲线C的直角坐标方程；根据椭圆的参数方程设，根据S可得点P的直角坐标23.【答案】解：由已知得，即，即，即x的取值范围为由可得由柯西不等式，得当且仅当，即时，的最大值为【解析】去掉绝对值符号，转化求解不等式的解集即可利用柯西不等式转化求解函数的最大值即可本题考查不等式的解法柯西不等式在最值中的应用，考查转化思想以及计算能力
