1、第二节 等差数列基础梳理1.等差数列的定义一般地，如果一个数列_，那么这个数列就叫做等差数列，这个_叫做等差数列的_，通常用_表示它的前一项所得的差都等于同一个常数从第二项起，每一项减去常数公差d2.等差数列的通项公式一般地，对于等差数列an的第n项an，有an.这就是等差数列an的通项公式，其中a1为_，d为_a1(n1)d首项公差三个数a，A，b组成的数列是等差数列3.等差中项如果_，那么A叫做a和b的等差中项把A4.等差数列的前n项和公式设等差数列an的公差为d，其前n项和Sn_或Sn_.5.等差数列的前n项和公式与函数的关系Sn n2数列an是等差数列的充要条件是其前n项和公式Snf(
2、n)是n的_，即Sn_.二次函数且常数项为0 an2bn6.等差数列的常用性质：对于等差数列an：(1)通项公式的推广：anam(nm)d(n，mN*)，d(2)若nmpq(n，m，p，qN*)，则anamapaq；特别地，若nm2p(n，m，pN*)，则anam2ap.(3)当数列的公差d0时，数列为递增数列；当d0时，数列为常数列；当d0时，数列为递减数列(4)下标成等差数列且公差为m的项ak，akm，ak2m，组成公差为md的等差数列(5)2anankank(nk1)(6)数列a1a2a3，a2a3a4，a3a4a5，仍是等差数列(7)若数列an是公差为d的等差数列，则数列anb(、b为
3、常数)是公差为d的等差数列(8)若数列an、bn是公差分别为d1、d2的等差数列，则数列1an2bn(1、2为常数)是公差为1d12d2的等差数列(9)在等差数列an中，前m项的和为Sm，前2m项的和为S2m，前3m项的和为S3m，则Sm，S2mSm，S3mS2m也成等差数列，即有2(S2mSm)Sm(S3mS2m)基础达标1.已知条件p：数列an的通项是关于x的不等式x2x(2n1)x(nN*)的解集中整数的个数；条件q：数列an是等差数列则p是q的_条件解析：不等式x2x(2n1)x，即x(x2n)0，解得0 x2n，其中整数有2n1个，an2n1，由通项公式可得anan12，所以数列an
4、是等差数列；但数列an是等差数列，不能得出an2n1，所以不能得出数列an的通项是关于x的不等式x2x0,2 an1，4Sn(an1)2,4Sn1(an11)2，当n2时，4ana2n2ana2n-12an1，即(anan1)(anan12)0，而an0，anan12(n2)，数列an是等差数列又2 a11，a11，an2n1.题型三 等差数列性质的应用【例3】(1)(2011泉州一中模拟)若a、b、c、d成等差数列，且(a，d)是f(x)x22x的顶点，则bc_.(2)Sn是等差数列an的前n项和，已知S62，S95，则S15_.分析(1)等差数列中，若mnpq(m、n、p、qN*)，则am
5、anapaq.(2)由等差数列an的前n项和Sn的性质：Sm，S2mSm，S3mS2m，也成等差数列可求出S15.解：(1)f(x)(x1)21，顶点为(1，1)，bcad1(1)0.(2)S9S6a7a8a93a83，a81，知S1515 15a815.变式31 已知Sn是公差为d的等差数列an的前n项和，且S6S7S5，则下列四个命题：d0；S110；S120；S130中，真命题的序号为_解析：由已知条件即a60，a70，a6a70，因此d0，正确；S1111a60，正确；故错误故错误故真命题的序号是.题型四 数列中的最值问题【例4】(2011南京师大附中期中考试)已知数列bn中，bn2(
6、n2，nN*)，数列an满足an(1)证明：数列an是等差数列；(2)若a1求数列bn中的最大项和最小项的值(1)证明：anan1数列an是等差数列(2)a1，数列an的通项公式为ana1(n1)1n，bn11.函数f(x)1在和上分别是单调减函数，b3b2b11，当n4时，1bnb4，数列bn中的最大项是b43，最小项是b31.变式41(2010青岛二中模拟)等差数列an的前n项和为Sn，若S535，点A(3，a3)与B(5，a5)都在斜率为2的直线l上，则Sn的最大值为_S6最大，S66a1d36.解析：2d，S535，5a135，解得a111，ana1(n1)d112(n1)2n13，由得n ，易错警示【例】等差数列an中，a15，从第10项开始为正数，则公差d的取值范围为_错解 由a1059d0，得d正解:由题意知a1059d0且a958d0，所以d .链接高考(2010浙江)设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列an的前n项和为Sn，满足S5S6150.(1)若S55，求S6及a1；(2)求d的取值范围(2)因为S5S6150.所以(5a110d)(6a115d)150，即解析：(1)由题意知S6a6S6S58.所以解得a17，所以S63，a17.所以10，即d28.故d的取值范围为d2 或d2
