1、2020届3月模拟考试（SE）文科数学第卷（选择题）一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知复数（为虚数单位），则（ ）A. B. 2C. 1D. 【答案】B【解析】【分析】求出复数的模，利用复数的性质即可求解.【详解】由题意知，利用性质，得，故选：B【点睛】本题考查了复数的模、复数的性质，考查了基本运算能力，属于基础题.2. 已知集合，若，则实数的值为（ ）A. 2B. 3C. 1或2或3D. 2或3【答案】D【解析】【分析】求出集合中的元素，再根据集合的运算结果可得，进而可求解.【详解】由题意知，且，由，知，则实数的值为2或3，故选：D【点睛】本题考查了根
2、据集合的运算结果求参数值，考查了基本运算，属于基础题.3. 设，则“ ”是“”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合对数的运算进行判断即可【详解】a，b（1，+），ablogab1，logab1ab，ab是logab1的充分必要条件，故选C【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的解法是解决本题的关键4. 已知ab0，c1，则下列各式成立的是（）A. sinasinbB. cacbC. acbcD. 【答案】B【解析】【分析】根据函数单调性逐项判断即可【详解】对A
3、,由正弦函数的单调性知sina与sinb大小不确定，故错误；对B,因为ycx为增函数，且ab，所以cacb，正确对C,因为yxc为增函数,故 ，错误；对D, 因为在为减函数，故 ，错误故选B【点睛】本题考查了不等式的基本性质以及指数函数的单调性，属基础题5. 若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析： ，且，故选D.【考点】三角恒等变换【名师点睛】对于三角函数的给值求值问题，关键是把待求角用已知角表示：（1）已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差（2）已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍的关系”或“互余、互补”关系6. 某几何体的三视图如图所示，正视图和侧视图
4、是腰长为2的等腰直角三角形，该几何体的外接球的体积等于（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由三视图还原原几何体，可知原几何体为四棱锥，底面是边长为2的三角形.【详解】由三视图知该几何体的直观图放在正方体中是如图所示的三棱锥，其外接球就是正方体的外接球设外接球的半径为，因为正方体的棱长为2，其体对角线为外接球的直径，即，所以外接球的体积 故选：A【点睛】思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则.7. 数列an是等差数列，a11，公差d1，2，且a4+a10+a1615，则实数的最大值为（）A. B. C. D. 【答案】
5、D【解析】【分析】利用等差数列通项公式推导出，由d1，2，能求出实数取最大值【详解】数列an是等差数列，a11，公差d1，2，且a4+a10+a1615，1+3d+（1+9d）+1+15d15，解得，d1，2，2是减函数，d1时，实数取最大值为故选D【点睛】本题考查实数值的最大值的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题8. 已知x，y满足条件(k为常数)，若目标函数zx3y的最大值为8，则k()A. 16B. 6C. -D. 6【答案】B【解析】【详解】由zx3y得yx，先作出的图象，如图所示，因为目标函数zx3y的最大值为8，所以x3y8与直线yx的交点为C，解得C(
6、2,2)，代入直线2xyk0，得k6.9. 如图，在正四棱锥SABCD中，E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，动点P在线段MN上运动时，下列四个结论：EPAC；EPBD；EP平面SBD；EP平面SAC，其中恒成立的为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析】在中：由题意得 AC平面SBD，从而平面EMN平面SBD，由此得到ACEP；在中：由异面直线的定义可知：EP与BD是异面直线；在中：由平面EMN平面SBD，从而得到EP平面SBD；在中：由已知得EM平面SAC，从而得到EP与平面SAC不垂直【详解】如图所示，连接AC、BD相交于点O，连接EM，EN在中：由正四棱锥SABCD，
7、可得SO底面ABCD，ACBD，SOACSOBDO，AC平面SBD，E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，EMBD，MNSD，而EMMNM，平面EMN平面SBD，AC平面EMN，ACEP故正确在中：由异面直线的定义可知：EP与BD是异面直线，不可能EPBD，因此不正确；在中：由可知平面EMN平面SBD，EP平面SBD，因此正确在中：由同理可得：EM平面SAC，若EP平面SAC，则EPEM，与EPEME相矛盾，因此当P与M不重合时，EP与平面SAC不垂直即不正确恒成立的结论是：故选：A【点睛】本题考查了命题的真假判断与应用，考查空间线面、面面的位置关系判定，考查空间想象能力和思维能力，属于中档
8、题10. 正三角形边长等于，点在其外接圆上运动，则的取值范围是（ ）A B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】设正三角形的外接圆圆心为，半径为，则，且，由题意可得，设的中点为，则，且，设与的夹角为，利用向量的数量积即可求解.【详解】设正三角形的外接圆圆心为，半径为，则，且由题意知 设的中点为，则，且，设与的夹角为，则又因为，所以的范围为故选：B【点睛】本题考考查了向量的数量积的运算，考查了数量积在几何中的应用，属于中档题.11. 已知点是抛物线的焦点，若点在抛物线上，且，斜率为的直线经过点，且与抛物线交于，（异于）两点，则直线与直线的斜率之积为（ ）A. 2B. -2C. D. 【答案】
9、B【解析】【分析】根据抛物线的焦半径公式，即可求出的值，求出，设直线方程与抛物线方程联立，求出两点的坐标关系，再将直线与直线的斜率之积用坐标表示，化简即可证明结论.【详解】由抛物线的定义知，则，解得，又点在抛物线上，代入，得，得，所以，抛物线，因为斜率为的直线过点，所以的方程为，联立方程得，即，设，由根与系数的关系得，则直线的斜率，直线的斜率，.故选：B【点睛】本题考查抛物线的标准方程，以及直线与抛物线的位置关系，要熟练掌握根与系数关系设而不求的方法求解相交弦的问题，考查计算求解能力，属于中档题.12. 若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】对于A，构造函数，求导，利用
10、函数的单调性即可求解；对于B，构造函数，根据函数的单调性即可判断；对于C，构造函数，利用导数判断函数的单调性即可判断；对于D，同样构造，由C选项分析可判断D.【详解】A选项：，设，设，则有恒成立，所以在调递增，所以，从而存在，使得，由单调性可判断出：，所以在不单调，不等式不会恒成立；B选项：，设可知单调递增所以应该，B错误；C选项：，构造函数，则在恒成立所以在单调递减，所以成立；D选项：，同样构造，由C选项分析可知D错误故选：C【点睛】本题考查了构造函数，利用函数的单调性证明不等式，属于难题.二、填空题13. 某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为3：2：5.现用分层抽样方
11、法抽出一个容量为n的样本，样本中A种型号产品有18件，那么此样本的容量n=_.【答案】60【解析】【分析】先求出总体中中种型号产品所占的比例，是样本中种型号产品所占的比例，再由条件求出样本容量【详解】解：由题意知，总体中种型号产品所占的比例是，因样本中种型号产品有18件，则，解得故答案为：60【点睛】本题考查了分层抽样的定义应用，即保证样本结构与总体结构一致按一定的比例进行抽取，再由条件列出式子求出值来，属于基础题14. 某公司105位员工的月工资（单位：元）为，其均值和方差分别为3800和500，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这105位员工下月工资的均值和方差分别为_【答案】39
12、00；500【解析】【分析】根据样本同时加上一个数对均值和方差的影响，求得下个月工资的均值和方差.【详解】依题意，本月工资均值，方差.从下个月起每位员工的月工资增加100元，则这105位员工下月工资的均值为，方差为.故答案为：3900；500【点睛】本小题主要考查样本均值和方差的性质，属于基础题.15. 设偶函数满足，则满足的实数的取值范围为_【答案】【解析】分析】由题可知数在上为增函数，不等式可化为，利用单调性可得，解出即可.【详解】偶函数满足，函数在上为增函数，且，不等式等价为，即或，解得或故答案为：.【点睛】本题考查利用函数奇偶性和单调性解不等式，属于基础题.16. 已知数列的前项和为，
13、对任意，且恒成立，则实数的取值范围是_【答案】【解析】【分析】通过与作差，进而整理可得数列的通项公式，分为奇偶两种情况解不等式即得结论【详解】，当时，两式相减得，整理得又，即当为偶数时，化简式可知，（为奇数）；当为奇数时，化简式可知，即，即，（为偶数）于是对任意，恒成立，对任意，恒成立又数列单调递减，数列单调递增，当为奇数时，有，则，即；当为偶数时，有，则，即综上所述，.故答案为：.【点睛】本题是一道关于数列与不等式的综合题，考查分类讨论的思想，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于难题三、解答题（本大题共6小题，解答适应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. 已知锐角面积为，所对边分别
14、是，平分线相交于点，且求：（1）的大小；（2）周长的最大值【答案】（1） ；（2）.【解析】【分析】（1）由结合三角形的面积公式和余弦定理可得，从而可求出的大小；（2）设周长为，则，由正弦定理可得，得，再用三角恒等变换公式化简，结合三角函数的性质可得答案【详解】（1），故：（2）设周长为，则，、分别是、的平分线，由正弦定理得，所以所以，当时，周长的最大值为【点睛】此题考查正弦定理和余弦定理的应用，考查三角形的面积公式的运用，考查三角函数的恒等变换公式的运用，属于中档题18. 对某电子元件进行寿命追踪调查，所得样本数据的频率分布直方图如下.（1）求，并根据图中的数据，用分层抽样的方法抽取个元件，
15、元件寿命落在之间的应抽取几个？（2）从（1）中抽出的寿命落在之间的元件中任取个元件，求事件“恰好有一个元件寿命落在之间，一个元件寿命落在 之间”的概率.【答案】（1）5；（2）.【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图各矩形面积和为1可得，分层抽样是按比例抽取，所以根据比值可求得件寿命落在之间的抽取个数；（2）分别求出落在之间和落在之间的元件个数。人后用例举法将寿命落在之间的元件中任取个元件的所有事件一一例举出来，再将“恰好有一个元件寿命落在之间，一个元件寿命落在之间”的事件一一例举，最后根据古典概型概率公式可求其概率。【详解】（1）根据题意：，解得，设在寿命落在之间的应抽取个，根据分层抽样有
16、： 解得：所以寿命落在之间的元件应抽取个； （2）记“恰好有一个寿命落在之间，一个寿命为之间”为事件，易知，寿命落在之间的元件有个，分别记，落在之间的元件有个，分别记为：，从中任取个元件，有如下基本事件：，共有个基本事件，事件 “恰好有一个寿命落在之间，一个寿命为之间”有：共有个基本事件，.事件“恰好有一个寿命落在之间，一个寿命为之间”的概率为.19. 如图1，正方形的边长为，、分别是和的中点，是正方形的对角线与的交点，是正方形两对角线的交点，现沿将折起到的位置，使得，连接，（如图2）（1）求证：；（2）求三棱锥的高【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）首先根据题意易证平面，
17、从而得到，再根据，利用线面垂直的判定证明平面，从而得到.（2）利用等体积转化法，根据即可得到三棱锥的高.【详解】（1）、分别是和的中点，又，故折起后有又，平面又平面，又，平面，又平面，（2）正方形的边长为，是等腰三角形，连接，如图所示：则，的面积设三棱锥的高为，则三棱锥的体积为由（1）可知是三棱锥的高，三棱锥的体积为，即，解得，即三棱锥的高为【点睛】本题第一问考查利用线面垂直的性质证明线线垂直，同时考查了线面垂直的证明，第二问考查等体积法求三棱锥的高，属于中档题.20. 已知椭圆的离心率为，点在椭圆上.（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆的右焦点作互相垂直的两条直线、，其中直线交椭圆于两点，直线交
18、直线于点，求证：直线平分线段.【答案】(1) (2)见证明【解析】【分析】（1）利用，得到，然后代入点即可求解（2）设直线，以斜率为核心参数，与椭圆联立方程，把两点全部用参数表示，得出的中点坐标为，然后再求出直线的方程，代入的中点即可证明成立【详解】（1）由得，所以 由点在椭圆上得解得， 所求椭圆方程为 （2）解法一：当直线的斜率不存在时，直线平分线段成立当直线的斜率存在时，设直线方程为， 联立方程得，消去得 因为过焦点，所以恒成立，设，则， 所以的中点坐标为 直线方程为，可得， 所以直线方程为，满足直线方程，即平分线段 综上所述，直线平分线段（2）解法二：因为直线与有交点，所以直线的斜率不能
19、为0，可设直线方程为， 联立方程得，消去得 因为过焦点，所以恒成立，设， 所以的中点坐标为 直线方程为，由题可得， 所以直线方程为，满足直线方程，即平分线段 综上所述，直线平分线段【点睛】本题考查求椭圆标准方程，以及证明直线过定点问题，属于中档题21. 已知函数（1）讨论函数的单调性；（2）当时，求的取值范围【答案】（1）详见解析（2）或【解析】【分析】（1）将函数求导并化简，对分成两种情况，讨论函数的单调性.（2）原不等式即（），当时，上述不等式显然成立.当时，将不等式变为，构造函数，利用导数研究函数的单调性，由此求得的取值范围.【详解】解：（1） 若，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递
20、减若，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增（2）（），当时，上不等式成立，满足题设条件；当时，等价于，设，则 ，设（），则，在上单调递减，得当，即时，得，在上单调递减，得，满足题设条件；当，即时，而，又单调递减，当，得，在上单调递增，得，不满足题设条件；综上所述，或【点睛】本小题主要考查利用导数求解函数参数的函数单调性问题，考查利用导数求解含有参数不等式恒成立问题.对函数求导后，由于导函数含有参数，故需要对参数进行分类讨论，分类讨论标准的制定，往往要根据导函数的情况来作出选择，目标是分类后可以画出导函数图像，进而得出导数取得
21、正、负的区间，从而得到函数的单调区间.请考生在第2223两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分选修4-4：坐标系与参数方程22. 已知曲线C的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，过极点的两射线、相互垂直，与曲线C分别相交于A、B两点（不同于点O），且的倾斜角为锐角.（1）求曲线C和射线的极坐标方程；（2）求OAB的面积的最小值，并求此时的值【答案】（1）C的极坐标方程为，或；的极坐标方程为；（2）16，【解析】【分析】（1）消去参数，求得曲线的普通方程，再转为极坐标方程.射线过原点，根据角度直接写出的极坐标方程.（2）利用极坐标方程求得的表达式
22、，求得三角形面积的表达式，利用三角函数的的最值求得三角形面积的最小值，同时求得的值.【详解】解：（1）由曲线C的参数方程，得普通方程为，由，得，所以曲线C的极坐标方程为，或 的极坐标方程为； （2）依题意设，则由（1）可得，同理得，即， ， ， OAB的面积的最小值为16，此时，得，【点睛】本小题主要考查参数方程转化为极坐标方程，考查利用极坐标求三角形的面积，考查三角函数求最值，属于中档题.选修4-5：不等式选讲23. 选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）解不等式：；（2）当时，函数的图象与轴围成一个三角形，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（）由已知，可按不等中两个绝对值式零点将实数集分为三部分进行分段求解，然后再综合其所得解，从而求出所求不等式的解集；（）由题意，可将的值分为和进行分类讨论，当时，函数不过原点，且最小值为，此时满足题意；当时，函数，再由函数的单调性及值域，求出实数的范围，最后综合两种情况，从而得出实数的范围.试题解析：（）由题意知，原不等式等价于或或，解得或或，综上所述，不等式的解集为.（）当时，则 ，此时的图象与轴围成一个三角形，满足题意：当时， ，则函数在上单调递减，在上单调递增.要使函数的图象与轴围成一个三角形，则，解得；综上所述，实数的取值范围为.
