1、 第3课时 函数的奇偶性与周期性 1奇函数、偶函数的概念 图像关于对称的函数叫做奇函数 图像关于对称的函数叫做偶函数原点y轴 2判断函数的奇偶性 判断函数的奇偶性，一般都按照定义严格进行，一般步骤是：(1)考查定义域是否关于 对称；(2)考查表达式f(x)是否等于f(x)或f(x)：若f(x)，则f(x)为奇函数；若f(x)，则f(x)为偶函数；若f(x)且f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数；若f(x)f(x)且f(x)f(x)，则f(x)既不是奇函数又不是偶函数，即非奇非偶函数原点f(x)f(x)f(x)f(x)【思考探究】奇函数、偶函数的定义域具有什么特点？它是函数具有奇偶性的什么条
2、件？提示：定义域关于原点对称；必要不充分条件 3周期性(1)周期函数：对于函数yf(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(xT)，那么就称函数yf(x)为周期函数，称T为这个函数的周期(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期f(x)存在一个最小 1对任意实数x，下列函数中为奇函数的是()Ay2x3By3x3 Cy5x Dy|x|cos x 答案：B答案：B 3 已 知 f(x)在 R上 满 足 f(x 4)f(x)，当x(0,2)时，f(x)2x2，则f(2 013)()A2 B2 C98 D98 解析
3、：由f(x4)f(x)，f(x)的周期为4，f(2 013)f(50341)f(1)2.答案：B 答案：坐标原点 5设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x)2x3，则f(2)_.答案：1 1用定义判断(或证明)函数的奇偶性的一般步骤(1)验证定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则为非奇非偶函数(2)证明f(x)f(x)是否成立若f(x)f(x)，则f(x)为偶函数；若f(x)f(x)，则f(x)为奇函数 2对于有些复杂的函数，有时需要将函数进行 化 简 或 应 用 定 义 的 等 价 形 式：f(x)f(x)f(x)f(x)01(f(x)0)3对于分段函数的奇偶性的判断应分段
4、逐一判断，然后统一下结论 解析：(1)此函数的定义域为R.f(x)|x|(x)21|x|(x21)f(x)，f(x)f(x)，即f(x)是偶函数(2)此函数的定义域为x0，由于定义域关于原点不对称，故f(x)既不是奇函数也不是偶函数(3)函数的定义域为x|x0关于原点对称，当x0时，x0，f(x)x22x1f(x)，当x0时，x0，f(x)x22x1f(x)，f(x)f(x)，即函数是奇函数 解析：(1)由于f(1)2，f(1)0，f(1)f(1)，f(1)f(1)，从而函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数(2)f(x)的定义域为1,1，关于原点对称，又 f(1)f(1)0，f(1)f(1)0
5、，f(x)既是奇函数又是偶函数【变式训练】2.(1)奇函数f(x)的定义域为5,5若当x0,5时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)0的解是_(2)已知函数yf(x)是R上的偶函数，且在(，0上是减函数，若f(a)f(2)，则实数a的取值范围是_ 解析：(1)由奇函数图象对称性质补出其在5,0)上的图象，由图象知解集为(2,0)(2,5(2)由已知f(x)在0，)上为增函数，且f(a)f(|a|)，f(a)f(2)f(|a|)f(2)，|a|2得a2或a2.答案：(1)(2,0)(2,5(2)a2或a2 设f(x)是定义在上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x2)f(x)当x0,2时，f
6、(x)2xx2.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x2,4时，求f(x)的解析式；(3)计算f(0)f(1)f(2)f(2 011)解析：(1)证明：f(x2)f(x)，f(x4)f(x2)f(x)f(x)是周期为4的周期函数(2)当x2,0时，x0,2，由已知得 f(x)2(x)(x)22xx2，又f(x)是奇函数，f(x)f(x)2xx2，f(x)x22x.又当x2,4时，x42,0，f(x4)(x4)22(x4)又f(x)是周期为4的周期函数 f(x)f(x4)(x4)22(x4)x26x8.从而求得x2,4时，f(x)x26x8.(3)f(0)0，f(2)0，f(1)1，f(3)
7、1.又f(x)是周期为4的周期函数，f(0)f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)f(6)f(7)f(2 008)f(2 009)f(2 010)f(2 011)0.f(0)f(1)f(2)f(2 011)0.【变式训练】3.已知函数f(x)是(，)上的偶函数，若对于x0，都有f(x2)f(x)，且当x0,2)时，f(x)log2(x1)，则f(2 008)f(2 009)的值为()A2B1 C1 D2 解析：f(x)是偶函数，f(2 008)f(2 008)f(x)在x0时f(x2)f(x)，f(x)的周期为2.f(2 008)f(2 009)f(2 008)f(2 009)f(0)f(1
8、)log21log22011.答案：C 1正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：(1)定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要非充分条件；(2)f(x)f(x)或f(x)f(x)是定义域上的恒等式 2奇偶函数的性质(1)奇函数的图象关于原点成中心对称图形，偶函数的图象关于y轴成轴对称图形，反之亦真，因此，也可以利用函数图象的对称性去判断函数的奇偶性；(2)奇奇奇，偶偶偶；(3)奇奇偶，偶偶偶，奇偶奇；(4)函数yf(x)，当x0时有意义，则f(0)0为yf(x)是奇函数的必要条件 因此判断函数的奇偶性，一般有三种方法：定义法；图象法；性质法(1)对函数奇偶性的
9、考查，主要涉及函数奇偶性的判断、利用奇偶函数图象的特点解决相关问题、利用函数奇偶性求函数值、根据函数奇偶性求参数值等解答此类问题时，要先判断函数的定义域是否关于原点对称，再研究f(x)与f(x)的关系(2)对函数周期性的考查，主要涉及判断函数的周期、利用周期性求函数值，以及解决与周期有关的函数综合问题充分利用题目提供的信息，迁移到有定义的范围上进行求值是解答此类问题的关键(2010全国新课标卷)设偶函数f(x)满足f(x)2x4(x0)，则x|f(x2)0()Ax|x2或x4Bx|x0或x4 Cx|x0或x6 Dx|x2或x2【全解全析】f(x)2x4(x0)，令f(x)0，得x2.又f(x)
10、为偶函数且f(x2)0，f(|x2|)0，|x2|2，解得x4或x0，x|x0或x4 答案：B【阅后报告】本题难点是利用偶函数这一条件，即f(x)f(|x|)，本题也可按如下方法求解：f(x2)f(|x2|)2|x2|40，|x2|2，x4或x0.1(2010广东卷)若函数f(x)3x3x与g(x)3x3x的定义域均为R，则()Af(x)与g(x)均为偶函数 Bf(x)为偶函数，g(x)为奇函数 Cf(x)与g(x)均为奇函数 Df(x)为奇函数，g(x)为偶函数 解析：f(x)3x3x，f(x)3x3x.f(x)f(x)，即f(x)是偶函数 又g(x)3x3x，g(x)3x3x.g(x)g(
11、x)，即函数g(x)是奇函数 答案：B 2(2010山东卷)设f(x)为定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)2x2xb(b为常数)，则f(1)()A3B1 C1 D3 解析：因为f(x)是定义在R上的奇函数，因此f(x)f(x)0.当x0时，可得f(0)0，可得b1，此时f(x)2x2x1，因此f(1)3.又f(1)f(1)，所以f(1)3.答案：D 3(2010安徽卷)若f(x)是R上周期为5的奇函数，且满足f(1)1，f(2)2，则f(3)f(4)()A1 B1 C2 D2 解析：函数f(x)的周期为5，f(x5)f(x)，f(3)f(25)f(2)又f(x)为奇函数，f(3)f(2)f(2)2，同理f(4)f(1)f(1)1，f(3)f(4)2(1)1.答案：A 4(2010江 苏 卷)设 函 数 f(x)x(ex aex)(xR)是 偶 函 数，则 实 数 a的 值 为_ 解析：因为f(x)是偶函数，所以恒有f(x)f(x)，即x(exaex)x(exaex)，化简得x(exex)(a1)0.因为上式对任意实数x都成立，所以a1.答案：1练规范、练技能、练速度
