1、单元形成性评价(二)(第二章)(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)110件产品中有3件次品，从中任取2件，可作为随机变量的是()A取到产品的件数B取到正品的概率C取到次品的件数D取到次品的概率【解析】选C.逐一考查所给的选项：A中取到产品的件数是一个常量而不是变量，B，D中的量也是一个定值，而C中取到次品的件数可能是0，1，2，是随机变量2(2021玉林高二检测)已知随机变量X服从正态分布N(3，1)，且P(2X4)0.682 6，则p(X4)()A0.158 8 B0.158 7C0.158 6 D0.
2、158 5【解析】选B.正态分布曲线关于X3对称，因为P(X4)0.158 7.3已知随机变量XB，则D(2X1)等于()A6 B4 C3 D9【解析】选A.D(2X1)D(X)224D(X)，D(X)6，所以D(2X1)46.【补偿训练】 若B，则P(2)等于()ABCD【解析】选C.P(2)1P(0)P(1)1CC1.4已知某一随机变量X的分布列如下，且E(X)6.3，则a的值为()X4a9P0.50.1bA.5 B6 C7 D8【解析】选C.由题意和分布列的性质得0.50.1b1，且E(X)40.50.1a9b6.3，解得b0.4，a7.5甲、乙、丙三个人在同一办公室工作，办公室只有一部
3、电话机，经该机打进的电话是打给甲、乙、丙的概率分别是，.在一段时间内共打进三个电话，且各个电话之间相互独立，则这三个电话中恰有两个是打给乙的概率是()A B C D【解析】选D.根据题意，三个电话中恰有两个是打给乙，即3次独立重复试验中恰有2次发生，所以所求事件的概率PC.6已知某随机变量的分布列如表，其中x0，y0，随机变量的方差D()，则xy()123PxyxA. B C D2【解析】选C.由题意知2xy1，则E()4x2y2.又D()(1)2x12x2x，解得x，所以y12x，所以xy.7甲、乙两名同学做游戏，他们分别从两个装有编号为15的球的箱子中抽取一个球，若两个球的编号之和小于6，
4、则甲赢，若大于6，则乙赢，若等于6，则和局若他们共玩三次，则甲赢两次的概率为()A B C D【解析】选C.由题意知，玩一次游戏甲赢的概率为P，那么，玩三次游戏，甲赢两次的概率为C.8乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行，比赛采用7局4胜制(即先胜4局者获胜，比赛结束)，假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同，那么甲以4比2获胜的概率为()A B C D【解析】选C.甲以4比2获胜，则需打六局比赛且甲第六局胜前五局胜三局，故其概率为C.9如图所示，用A，B，C，D表示四类不同的元件连接成系统M.当元件A，B至少有一个正常工作且元件C，D至少有一个正常工作时，系统M正常工作已知元件A，B，C，
5、D正常工作的概率依次为0.5，0.6，0.7，0.8.则元件连接成的系统M正常工作的概率P(M)等于()A.0.752B0.988C0.168D0.832【解析】选A.P(M)1P( )1P( )0.752.10某班50名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是40，50)，50，60)，60，70)，70，80)，80，90)，90，100.从样本成绩不低于80分的学生中随机选取2人，这2人中成绩在90分以上(含90分)的人数为，则的均值为()A. B C D【解析】选B.由频率分布直方图知，30.006100.01100.0541010x1，解得x0.018，所以成
6、绩不低于80分的学生人数为(0.0180.006)105012，成绩在90分以上(含90分)的学生人数为0.00610503，所以的可能取值为0，1，2，P(0)，P(1)，P(2)，所以E()012.11某地区高二女生的体重X(单位：kg)服从正态分布N(50，25)，若该地区共有高二女生2 000人，则体重在5065 kg间的女生共有()A683人 B954人 C997人 D994人【解析】选C.由题意知50，5，所以P(5035X5035)0.997 3.所以P(50X0，即20，解得2，则P(2).根据正态分布密度曲线的对称性，可知2.答案：2【补偿训练】 若随机变量XN(1，22)，
7、则Y3X1服从的总体分布可记为_. 【解析】因为XN(1，22)，所以1，2.又Y3X1，所以E(Y)3E(X)1312，D(Y)9D(X)62.所以YN(2，62).答案：YN(2，62)15(2021桂林高二检测)已知随机事件A，B，且P(A)，P，P，则P_【解析】因为P(A)，P，所以PP(A)P，所以P.答案：16一批玉米种子的发芽率是0.8，每穴只要有一粒发芽，就不需补种，否则需要补种则每穴至少种_粒，才能保证每穴不需补种的概率大于98%.(lg 20.301 0)【解析】记事件A为“种一粒种子，发芽”，则P(A)0.8，P()10.80.2.因为每穴种n粒相当于做了n次独立重复试
8、验，记事件B为“每穴至少有一粒种子发芽”，则P()C0.80(10.8)n0.2n，所以P(B)1P()10.2n.根据题意，得P(B)98%，即0.2n0.02.两边同时取以10为底的对数，得n lg 0.2lg 0.02，即n(lg 21)2.43.因为nN*，所以n的最小正整数值为3.答案：3三、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(10分)将3个小球任意地放入4个大的玻璃杯中去，杯子中球的最多个数记为X，求X的分布列【解析】依题意可知，杯子中球的最多个数X的所有可能值为1，2，3.当X1时，对应于四个杯子中恰有三个杯子各放一球的情形；当X2时，对
9、应于四个杯子中恰有一个杯子放两球的情形；当X3时，对应于四个杯子中恰有一个杯子放三球的情形当X1时，P(X1)；当X2时，P(X2)；当X3时，P(X3).可得X的分布列如表：X123P【补偿训练】 某商店试销某种商品20天，获得如下数据：日销售量(件)0123频数1595试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变)，设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率记X为第二天开始时该商品的件数，求X的分布列【解析】由题意知，X的可能取值为2，3.P(X2)P(当天商品销售量为1件)；P(X3)P(当天商品销售量为0
10、件)P(当天商品销售量为2件)P(当天商品销售量为3件).故X的分布列为X23P18(12分)在校体育运动会中，甲乙丙三支足球队进行单循环赛(即每两队比赛一场)，共赛三场，每场比赛胜者得3分，负者得0分，没有平局在每场比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为.(1)求甲队获第一名且丙队获第二名的概率；(2)求在该次比赛中甲队至少得3分的概率【解析】(1)若甲队获第一名且丙队获第二名，即甲胜乙，甲胜丙，且丙胜乙，即P，即甲队获第一名且丙队获第二名的概率是；(2)当甲队恰得3分，即甲队胜了一场，甲胜乙且丙胜甲，或甲胜丙且乙胜甲，P，当甲恰得6分，即甲队胜了2场，即P，那么该次比赛中甲
11、队至少得3分的概率P.19(12分)实力相当的甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，规定5局3胜制(即5局内谁先赢3局就算胜出并停止比赛).(1)试分别求甲打完3局、4局、5局才能取胜的概率(2)求按比赛规则甲获胜的概率【解析】(1)甲、乙两队实力相当，所以每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为.记事件A“甲打完3局才能取胜”，记事件B“甲打完4局才能取胜”，记事件C“甲打完5局才能取胜”甲打完3局取胜，相当于进行3次独立重复试验，且每局比赛甲均取胜所以甲打完3局取胜的概率P(A)C.甲打完4局才能取胜，相当于进行4次独立重复试验，且甲第4局比赛取胜，前3局为2胜1负所以甲打完4局才能取胜的概率P(B
12、)C.甲打完5局才能取胜，相当于进行5次独立重复试验，且甲第5局比赛取胜，前4局恰好2胜2负所以甲打完5局才能取胜的概率P(C)C.(2)设事件D“按比赛规则甲获胜”，则DABC.因为事件A，B，C两两互斥，所以P(D)P(ABC)P(A)P(B)P(C)，故按比赛规则甲获胜的概率为.20(12分)随机抽取某中学高一年级若干名学生的一次数学统测成绩，得到样本，并进行统计，已知分组区间和频数是50，60)，2；60, 70)，7；70，80)，10；80，90)，x；90，100，2，其频率分布直方图受到破坏，可见部分如图所示，据此解答如下问题(1)求样本容量及x的值(2)从成绩不低于80分的学
13、生中随机选取2人，记2人中成绩不低于90分的人数为，求的数学期望【解析】(1)由题意，得分数在50，60)内的频数为2，频率为0.008100.08，所以样本容量n25，x25(27102)4.(2)成绩不低于80分的人数为426，成绩不低于90分的人数为2，所以的所有可能取值为0，1，2，因为P(0)，P(1)，P(2)，所以的分布列为012P所以的数学期望E()012.21(12分)(2021酒泉高二检测)某省为迎接新高考，拟先对考生某选考学科的实际得分进行等级赋分，再按赋分后的分数从高分到低分划A，B，C，D，E五个等级，考生实际得分经赋分后的分数在30分到100分之间在等级赋分科学性论
14、证时，对过去一年全省高考考生的该学科成绩重新赋分后进行分析，随机抽取2 000名学生的该学科赋分后的成绩，得到如下频率分布直方图：(不考虑缺考考生的试卷)(1)求这2 000名考生赋分后该学科的平均(同一组中数据用该组区间中点作代表)；(2)由频率分布直方图可以认为，学生经过赋分以后的成绩X服从正态分布XN(，2)，其中近似为样本平均数，2近似为样本方差s2：(i)利用正态分布，求P(50.41X79.59)；(ii)某市有20 000名高三学生，记Y表示这20 000名高三学生中赋分后该学科等级为A等(即得分大于79.59)的学生数，利用(i)的结果，求E(Y).附：若XN(，2)，则P(X
15、)0.682 6，P(2X2)0.954 4，P(3X3)0.997 4，14.59，(xi)2pi213.【解析】(1)依题意350.05450.107 5550.19650.3750.2850.102 5950.0565.(2)(i)由(1)可知，XN.所以PP0.682 6.(ii)因为P0.158 7，所以E(Y)20 0000.1587317.4317人22(12分)一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分(即获得2
16、00分).设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立(1)设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列(2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？(3)玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比分数没有增加反而减少了请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因【解析】(1)X可能的取值为10，20，100，200.根据题意，有P(X10)C，P(X20)C，P(X100)C，P(X200)C.所以X的分布列为X1020100200P(2)设“第i盘游戏没有出现音乐”为事件Ai(i1，2，3)，则P(A1)P(A2)P(A3)P(X200).所以“三盘游戏中至少有一盘出
17、现音乐”的概率为1P(A1A2A3)11.因此玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是.(3)X的均值为E(X)1020100200.这表明，获得分数X的均值为负，因此，多次游戏之后分数减少的可能性更大【补偿训练】 某电影播放后，为了解观众的满意度，某影院随机调查了12名观看此影片的观众，并用“10分制”对该电影进行评分，分数越高表明观众的满意度越高，若分数不低于9分，则称该观众为满意观众如图所示的茎叶图记录了他们对该电影的评分(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶).(1)求从这12人中随机选取2人，至少有1人为满意观众的概率(2)以本次抽样的频率作为概率，从观看此影片的观众中任选3人，记表示抽到满意观众的人数，求的分布列【解析】(1)设“所选取的2人中至少有1人为满意观众”为事件A，则事件为“所选取的2人中没有满意观众”所以P(A)1P()11，即所选取的2人中至少有1人为满意观众的概率为.(2)由茎叶图可以得到抽样中满意观众的频率为，即从观看此影片的观众中抽到满意观众的概率为.由题意，知的所有可能取值为0，1，2，3，P(0)C，P(1)C，P(2)C，P(3)C，所以的分布列为0123P
