1、32全集与补集知识点 补集 填一填1全集(1)定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集(2)记法：全集通常记作U.2补集3.补集的性质(1)UU；(2)UU；(3)(UA)AU；(4)A(UA)；(5)U(UA)A.答一答1全集包含任何一个元素吗？ AC与 BC相等吗？提示：全集仅包含我们研究问题所涉及的全部元素，而非任何元素不一定若AB，则ACBC，否则不相等2如何理解全集与补集的关系？提示：(1)补集是集合之间的一种运算求集合A的补集的前提是A是全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的，因此，它们是互相依存、不可分割的两个概念(2)UA的数
2、学意义包括两个方面：首先必须具备AU；其次是定义UAx|xU，且xA，补集是集合间的运算关系3设全集U2,3,4,5,6，UA3,5，则A_.提示：A是UA相对于U的补集，所以A2,4,61对全集概念的三点说明(1)全集的概念可以理解为在研究集合与集合之间的关系时，所要研究的集合都是某一个集合的子集，就把这个给定的集合称为全集(2)全集是对于所研究的问题而言的一个概念，它不是一成不变的，它会根据所研究问题的不同而有不同的选择所以说全集是一个相对的概念(3)全集通常用大写的字母U表示，但没有硬性规定，只要交代清楚，可以用任何一个大写的字母来表示全集2对补集概念的两点说明(1)补集是相对于全集给出
3、的一个概念，如果没有全集也就谈不上补集，当全集变化时，补集也随之变化所以在说补集时必须交代清楚是相对于哪个全集的补集(2)集合A在全集U中的补集隐含着集合A是集合U的子集的条件.类型一集合的补集运算 【例1】(1)已知全集U1,2,3,4,5,6,7,8,9，集合A2,4,5，集合B1,4,5，求UA，(UA)(UB)(2)已知全集Ux|x4，集合Ax|2x3，Bx|3x2，求A(UB)，(UA)B，(UA)(UB)【思路探究】这是一类涉及集合补集关系的运算，解决的关键是明确全集，求具体的补集借助于Venn图或数轴求解【解】(1)因为全集U1,2,3,4,5,6,7,8,9，集合A2,4,5，
4、因此UA1,3,6,7,8,9又B1,4,5，则UB2,3,6,7,8,9所以(UA)(UB)1,2,3,6,7,8,9(2)首先在数轴上表示出全集U和集合A，B，如下图，则UAx|x2，或3x4，UBx|x3，或2x4，A(UB)x|2x3，(UA)Bx|x2，或3x4，(UA)(UB)x|x2，或2x4规律方法 1.如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合补集的定义来求解另外针对此类问题，在解答过程中也常常借助于Venn图来求解这样处理起来，相对来说比较直观、形象且解答时不易出错2如果所给集合是无限集，则常借助于数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后再根据补集的
5、定义求解，这样处理比较形象直观，解答过程中注意端点值能否取得(1)已知全集U1,2,3,4，集合A1,2，B2,3，则U(AB)(D)A1,3,4B3,4C3D4解析：由A1,2，B2,3得AB1,2,3，所以U(AB)4故选D.(2)已知全集UR，集合Mx|x240，则UM等于(C)Ax|2x2Bx|2x2Cx|x2Dx|x2或x2解析：Mx|2x2，UMx|x2类型二利用Venn图进行集合运算 【例2】集合Sx|x10，且xN，AS，BS，且AB4,5，(SB)A1,2,3，(SA)(SB)6,7,8，求集合A和B.【思路探究】本题可用直接法求解，但不易求出结果，用Venn图法较为简单【解
6、】解法1：(1)因为AB4,5，所以4A,5A,4B,5B.(2)因为(SB)A1,2,3，所以1A,2A,3A,1B,2B,3B.(3)因为(SA)(SB)6,7,8，所以6,7,8既不属于A，也不属于B.因为Sx|x10，且xN，所以9,10不知所属由(2)(3)可知，9,10均不属于SB，所以9B,10B.综上可得A1,2,3,4,5，B4,5,9,10解法2：如图所示因为AB4,5，所以将4,5写在AB中因为(SB)A1,2,3，所以将1,2,3写在A中因为(SB)(SA)6,7,8，所以将6,7,8写在S中A，B之外因为(SB)A与(SB)(SA)中均无9,10，所以9,10在B中故
7、A1,2,3,4,5，B4,5,9,10规律方法 此题解答中的解法2的巧妙之处就是运用数形结合的方法求解，即利用Venn图将已知条件在图中标出，并从图中找出所求，直观形象，一目了然，省去解法1中的推理设U1,2,3,4,5,6,7,8，A3,4,5，B4,7,8求：(1)AB，AB；(2)(UA)(UB)，(UA)(UB)解：画出Venn图如图(1)AB4，AB3,4,5,7,8(2)UA1,2,6,7,8，UB1,2,3,5,6，(UA)(UB)1,2,6，(UA)(UB)1,2,3,5,6,7,8类型三集合交、并、补的综合应用 【例3】已知集合Ay|yx22x5，By|1y1，R(AB)y
8、|y1，(RA)By|y4y|1y10y|y10，A(RB)y|y4y|y1或y10y|y1或y4规律方法 用不等式表示一个集合元素的特征时，常用数轴法解决问题设全集U0,1,2,3,4，集合A0,1,2,3，B2,3,4，则(UA)(UB)等于(C)A0B0,1C0,1,4D0,1,2,3,4解析：方法1：由题意，得UA4，UB0,1，故(UA)(UB)0,1,4方法2：由题意，得AB2,3，所以U(AB)0,1,4因为U(AB)(UA)(UB)，所以(UA)(UB)0,1,4类型四补集运算中的含参问题 【例4】已知集合Ax|x24mx2m60，xR，Bx|x0，xR若AB，求实数m的取值范
9、围【思路探究】AB说明集合A是由关于x的方程x24mx2m60的实根组成的非空集合，且该方程的实根有以下三种情况：两负根；一负根一零根；一负根一正根若分别求解，将会比较麻烦，可以采用补集的思想求解，此时需求出AB(即关于x的方程x24mx2m60的两根均非负)时实数m的取值范围【解】AB，A，(4m)24(2m6)0，解得m1或m.故可设全集U.若AB，则关于x的方程x24mx2m60的两根x1，x2均非负，则而关于U的补集为m|m1，故实数m的取值范围是m1.规律方法 利用补集思想解题时，首先要根据题意确定全集U，否则本题会导致的补集是的错误已知集合Ax|xa，Bx|1x2，且A(RB)R，
10、则实数a的取值范围是a2.解析：RBx|x1，或x2，如图所示，由于A(RB)R，所以a2.规范解答由补集关系求参数的取值范围【例5】设全集UR，集合Mx|3a1x2a，aR，Nx|1x3，若NUM.求实数a的取值集合【审题】抓信息，找思路(1)审条件：三个集合：全集U，集合M，集合N；一个关系：NUM.(2)建联系：求解实数a的取值集合，由于集合M中含有参数a，故把求实数a的取值范围的问题与集合M联系起来(3)找思路：根据集合间的关系NUM，借助数轴列出关于参数a的不等关系，然后求出实数a的取值集合【解析】根据题意可知，N，又因为NUM，所以讨论时考虑集合M有空集和非空两种情况.若M，则UM
11、R，NUM显然成立于是有3a12a，得a1.若M，则3a12a，有a1.这时UMx|x3a1，或x2a，由 NUM得2a1或3a13，即a或a，又a1，故a.综上所述，a1或a.即a的取值集合为a|a1，或a【点评】警误区，促提升失分点1：解题时若未对集合M的情况进行分析，即忽视了对处的讨论，则会导致讨论不全面而失分失分点2：解题时若在处未考虑端点的等号是否能取到，则会导致答案错误失分点3：解题时若忽视处，即忽视了本例是在大前提a1的情况下解题的，则会导致答案错误设集合Ax|xm0，Bx|2x4，全集UR，且(UA)B，求实数m的取值范围解：因为Ax|xm，所以UAx|xm，又Bx|2x4，(
12、UA)B，分析可知m2，即m2，所以m的取值范围是m2.一、选择题1设全集U1,2,3,4,5,6，集合P1,2,3,4，Q3,4,5，则P(UQ)(D)A1,2,3,4,6B1,2,3,4,5C1,2,5D1,2解析：本题考查了集合的交、补运算，由已知得P(UQ)1,2,3,41,2,61,22设全集UR，Ax|0x6，则UA等于(B)A0,1,2,3,4,5,6Bx|x6Cx|0x6Dx|x0，或x6解析：由补集定义并结合数轴易知UAx|x6，故选B.3设集合U1,2,3,4，A1,3，B3,4，则U(AB)等于(C)A1,3,4B1,4C2D3解析：A1,3，B3,4，AB1,3,4，又
13、U1,2,3,4，U(AB)2，故选C.二、填空题4已知全集Ux|x3，集合Ax|1x2，则UAx|2x3，或x1解析：画出数轴，结合补集定义，易知UAx|2x3，或x15设集合U1,2,3,4,5，A2,4，B3,4,5，C3,4，则(AB)(UC)2,5解析：AB2,3,4,5，UC1,2,5，(AB)(UC)2,5三、解答题6设UR，已知集合Ax|5x5，Bx|0x7，求(1)AB；(2)AB；(3)A(UB)；(4)B(UA)；(5)(UA)(UB)解：如图1，(1)ABx|0x5(2)ABx|5x7(3)如图2，UBx|x0，或x7，A(UB)x|x5，或x7(4)如图3，UAx|x5，或x5，B(UA)x|5x7(5)方法1：UBx|x0，或x7，UAx|x5，或x5，如图4，(UA)(UB)x|x5，或x7方法2：(UA)(UB)U(AB)x|x5，或x7
