1、河北省沧州市第一中学2019-2020学年高一数学下学期第三次月考试题（含解析）一选择题1. 直线的倾斜角为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】本题首先可根据直线方程得出直线斜率，然后根据即可求出直线的倾斜角.【详解】，即，故直线斜率，设倾斜角为，则，解得，故选：D.【点睛】本题考查根据直线方程求直线倾斜角，考查直线斜率与倾斜角之间的关系，考查计算能力，是简单题.2. 下列说法正确的是（ ）A. 棱柱的各个侧面都是平行四边形B. 底面是矩形的四棱柱是长方体C. 有一个面为多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥D. 直角三角形绕其一边所在直线旋转一周形成的几何体是圆锥【答案
2、】A【解析】【分析】根据棱柱的性质，即可判断A，根据长方体和棱柱的结构特征，即可判断B，根据棱锥的定义可判断C，根据圆锥的定义即可判断D.【详解】解：对于A，根据棱柱的性质可知，棱柱的各个侧面都是平行四边形，故A正确；对于B，底面是矩形，若侧棱不垂直于底面，这时的四棱柱是斜四棱柱，不是长方体，只有底面是矩形的直四棱柱才是长方体，可知B错误；对于C，有一个面为多边形，其余各面都是三角形的几何体不一定是棱锥，只有其余各面是有一个公共点的三角形的几何体，才是棱锥，故C错误；对于D，直角三角形绕其一条直角边所在直线旋转一周形成的几何体是圆锥，如果绕着它的斜边旋转一周，形成的几何体则是两个具有共同底面的
3、圆锥，故D错误.故选：A.【点睛】本题考查棱柱、棱锥和圆锥的结构特征、定义和性质，属于基础题.3. 等差数列中，,，则当取最大值时，的值为 （ ）A. 6B. 7C. 6或7D. 不存在【答案】C【解析】设等差数列的公差为当取最大值时，的值为或故选C4. 的内角，所对的边分别是，已知，则（ ）A. B. 5C. D. 【答案】A【解析】【分析】求出，利用余弦定理，解方程即可求出结果.【详解】因为，所以，又因为，所以，即，即，解得.故选：A.【点睛】本题主要考查三角函数的诱导公式，余弦定理，属于较易题.5. 已知，直线过点，则的最小值为（）A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】A【解析】【分析
4、】先得a+3b=1，再与相乘后，用基本不等式即可得出结果.【详解】依题意得，所以，当且仅当时取等号；故选A【点睛】本题考查了基本不等式及其应用，熟记基本不等式即可，属于基础题6. 圆：与圆：公共弦长为（ ）A. 1B. C. 2D. 【答案】D【解析】【分析】先计算圆心距确定两圆相交，再联立两圆方程得到公共弦所在直线的方程，计算圆心到公共弦所在直线的距离，通过弦长，半径，弦心距的关系，求出弦长，即可得解【详解】圆：，圆心坐标为，半径，圆：，圆心坐标，半径，圆心距，所以，故两圆相交，联立两圆方程，得，所以公共弦所在直线的方程为：，圆心到公共弦所在直线的距离为：，公共弦长为：.故选：D.【点睛】本
5、题考查两圆的位置关系，考查两圆公共弦长的求法，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.7. 已知点在圆上运动，则的最大值是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】设，则表示点与点连线的斜率，当与圆相切时，取得最值，由此求出最大值.【详解】设，则表示点与点连线的斜率.把圆的方程化为标准方程得，故圆心坐标为，半径，可知当直线与圆相切时，取得最值.由，解得，则的最大值是，故选：A.【点睛】本题主要考查分式型目标函数的最值，考查由直线与圆位置关系求参数，属于基础题型.8. 已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱的高为 2，这个球的表面积为，则这个正四棱柱的体积为（ ）A. 1B. 2C.
6、3D. 4【答案】B【解析】【分析】首先由球的表面积求出球的半径，再由棱柱的对角线等于外接球的直径，即可解出棱柱的底面边长，从而可计算出棱柱的体积.【详解】解：由题可知，正四棱柱的高为 2，球的表面积为，设球半径为，则，则，所以，球的直径为，设正四棱柱的底面边长为，则，解得：，正四棱柱的体积为.故选：B.【点睛】本题考查正四棱柱的性质和棱柱的体积，以及棱柱外接球的性质和外接球的表面积公式，属于基础题.9. 正四棱锥底面正方形的边长为，高与斜高的夹角为，则该四棱锥的侧面积（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【详解】如图:正四棱锥的高PO，斜高PE，底面边心距OE组成直角POEOE=2
7、cm，OPE=30，斜高h=PE=，S正棱锥侧= 故选：A10. 若圆上有且仅有两个点到直线的距离等于1，则半径R的取值范围是()A. R1B. R3C. 1R3D. R2【答案】C【解析】【分析】圆上有且仅有两个点到直线4x+3y=11的距离等于1，先求圆心到直线的距离，再求半径的范围【详解】依题意可得，直线与圆可能相交，相切或相离若直线与圆相离，则圆上的点到直线的最小距离应小于1，即圆心到直线的距离d(R,1R)，从而有R1R，解得1R2.若直线与圆相切，则R2.若直线与圆相交，则圆上的点到直线的最小距离应小于1，即圆心到直线的距离d(R1，R)，从而有R1R，解得2R3.综上可得1R3.
8、故选：C.点睛：本题考查直线与圆的位置关系，考查数形结合的数学思想，是中档题11. 已知点，圆：，直线：，有以下几个结论：若点在圆上，则直线与圆相切；若点在圆外，则直线与圆相离；若点在圆内，则直线与圆相交；无论点在何处，直线与圆恒相切，其中正确的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A【解析】【分析】根据题意，由圆心到直线的距离，以及点与圆位置关系，逐项判断，即可得出结果.【详解】对于，若在圆上，则有，又圆心到直线的距离，此时直线与圆相切，正确.对于，若在圆外，则有，又圆心到直线的距离，此时直线与圆相交，错误；对于，若在圆内，则有，又圆心到直线的距离，此时直线与圆相离，错误；由上
9、可知，错误.正确的个数是一个.故选：A.【点睛】本题考查点与圆，直线与圆的位置关系的判断，属基础题.12. 已知正四面体表面积为，为棱的中点，球为该正四面体的外接球，则过点的平面被球所截得的截面面积的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】本题首先可以将正四面体放入正方体中，然后借助正方体的性质得出外接球的球心，通过正四面体的表面积为即可计算出长，从而求得外接球的半径，利用截面圆的性质求得最小截面圆的半径径，问题得解【详解】如图所示，将正四面体放入正方体中，则正方体的中心即为其外接球的球心，因为正四面体的表面积为，所以，因为是正三角形，所以，设正方体的边长为，则：，解得
10、：所以正四面体的外接球直径为，设过点的截面圆半径为，球心到截面圆的距离为，正四面体的外接球半径为，由截面圆的性质可得：当最大时，最小，此时对应截面圆的面积最小.又，所以的最大值为，此时最小为所以过点的最小截面圆的面积为，故选B【点睛】本题考查截面圆的相关性质，主要考查几何体与球的外接问题，可将几何体放入正方体中并借助正方体的相关性质得出球心，考查推理能力，是难题二不定项选择题13. 下列说法中正确的有（ ）A. 设正六棱锥的底面边长为1，侧棱长为，那么它的体积为B. 用斜二测法作ABC的水平放置直观图得到边长为a的正三角形，则ABC面积为C. 三个平面可以将空间分成4，6，7或者8个部分D.
11、已知四点不共面，则其中任意三点不共线【答案】ACD【解析】【分析】对A,根据题意求出底面积与高再求体积判定即可.对B,根据斜二测画法前后面积的关系求解判断即可.对C,分析这三个平面的位置关系再逐个讨论即可.对D,利用反证法证明即可.【详解】对于A,正六棱锥的底面边长为1,则S底面积611sin60；又侧棱长为,则棱锥的高h2,所以该棱锥的体积为VS底面积h2,A正确；对于B,水平放置直观图是边长为a的正三角形,直观图的面积为Sa2sin60,则原ABC的面积为S2S2a2a2,所以B错误；对于C,若三个平面互相平行,则可将空间分为4部分；若三个平面有两个平行,第三个平面与其它两个平面相交,则可
12、将空间分为6部分；若三个平面交于一线,则可将空间分为6部分；若三个平面两两相交且三条交线平行（联想三棱柱三个侧面的关系）,则可将空间分为7部分；若三个平面两两相交且三条交线交于一点（联想墙角三个墙面的关系）,则可将空间分为8部分；所以三个平面可以将空间分成4,6,7或8部分,C正确；对于D,四点不共面,则其中任意三点不共线,否则是四点共面,所以D正确；综上知,正确的命题序号是ACD.故选：ACD.【点睛】本题主要考查了立体几何中的基本性质与空间中线面的关系问题,属于基础题.14. 设有一组圆：，（），则下列命题正确的是（ ）A. 不论如何变化，圆心始终在一条直线上B. 所有圆均不经过点C. 存
13、在一条定直线始终与圆相切D. 若，则圆上总在两点到原点的距离为1【答案】ABCD【解析】【分析】直接求出圆心所在直线方程判断A；把代入圆的方程，求得无解判断B；举例说明C正确；把问题转化为圆与圆有两个交点，求出的范围判断D.【详解】圆心坐标为，在直线上，A正确；若，化简得，无解，B正确；圆心在上，半径为定值2，故定直线斜率一定为1，设为，故存在定直线始终与圆相切，C正确；圆上总存在两点到原点的距离为1，问题转化为圆与圆有两个交点，则，D正确.故选：ABCD.【点睛】本题考查圆的方程，主要考查学生转化与化规思想，属于常考题.三填空题15. 在等比数列中，已知，则_.【答案】16【解析】【分析】设
14、公比为，则有，即，求出的值，再由计算即可得解.【详解】设公比为，因为，则有，即，解得或(舍去)，故.故答案：16.【点睛】本题考查等比数列的项的求法，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.16. 与圆相切，且在两坐标轴上截距相等的直线共有_条.【答案】4【解析】【分析】根据题意，得到切线的斜率必然存在，分直线过原点和直线与不过原点两种情况，由直线与圆相切，列出方程，求出切线方程，即可得出结果.【详解】因为圆的圆心为，半径是，原点在圆外，若直线与圆相切，且在两坐标轴上截距相等，则直线斜率必存在，当直线过原点时，设该直线的方程为，因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即，解得，即所求切
15、线方程为；当直线不过原点时，因为在两坐标轴上截距相等，设该直线的方程为，因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即，解得，即所求切线方程为，综上，满足题意的直线共条.故答案为：.【点睛】本题主要考查求圆的切线条数，根据直线与圆相切求参数即可，属于常考题型.17. 若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为，则其母线与轴的夹角的大小为 【答案】【解析】由题意得：母线与轴的夹角为考点：圆锥轴截面【名师点睛】掌握对应几何体的侧面积，轴截面面积计算方法.如 圆柱的侧面积 ，圆柱的表面积 ，圆锥的侧面积 ，圆锥的表面积 ，球体的表面积 ，圆锥轴截面为等腰三角形.18. 已知是矩形，为上一点，将和同时绕
16、所在的直线旋转一周，则所得旋转体的体积是_【答案】【解析】【分析】将将和同时绕所在的直线旋转一周，所得几何体为一个圆柱挖去两个同底的圆锥，再由圆柱及圆锥的体积公式求解即可.【详解】解：旋转体的体积等于圆柱的体积减去两个同底的圆锥的体积之和，两个同底圆锥的体积之和为，圆柱的体积为，所以.【点睛】本题考查了空间旋转体的体积，重点考查了空间想象能力及运算能力，属中档题.四解答题19. 在中，内角，的对边分别为，且.（1）求；（2）若，的面积为，求的周长【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据余弦定理直接求解可得，进而可得；（2）由正弦定理角化边可得，再利用面积公式求解即可.【详解】（1）因为
17、，所以，所以，从而.（2）因为，所以，即.因为的面积为，所以，即，所以，解得，所以，,所以周长为【点睛】本题主要考查了正余弦定理及面积公式求解三角形，属于基础题.20. 已知是公差为2的等差数列，且，是公比为3的等比数列，且（1）求数列，的通项公式；（2）令，求的前项和【答案】（1）.（2）【解析】【分析】（1）由题意可得与d的关系，可求与，进而求得，利用等比数列的通项公式即可求解.（2）由，利用错位相减求和即可.【详解】（1）数列的公差为d=2，且， ，=3， 又的公比为3， （2）由（1）得， ， ， 由得：，【点睛】本题主要考查了等差数列与等比数列的通项公式的简单应用，错位相减法是数列求
18、和的重要方法，属于中档题.21. 如图所示，在正三棱柱中，为的中点，是上的一点，且由沿棱柱侧面经过棱到的最短路线为.设这条最短路线与的交点为，求：（1）该三棱柱的侧面展开图的对角线的长；（2）和的长.【答案】（1）；（2）的长为2，的长为.【解析】【分析】（1）由展开图为矩形，用勾股定理求出对角线长；（2）在侧面展开图中三角形是直角三角形，可以求出线段的长度，进而可以求的长度，再由相似比可以求出的长度.【详解】（1）由题意，该三棱柱的侧面展开图是宽为4，长为的矩形，所以对角线的长为；（2）将该三棱柱的侧面沿棱展开，如图所示.设的长为，则.因为，所以(负值舍去)，即的长为2.又因为，所以，即，所
19、以.【点睛】本题考查求侧面展开图的对角线长，以及三棱柱中的线段长，熟记三棱柱的结构特征即可，属于常考题型.22. 已知与：相切于点，H经过点.（1）求的方程；（2）右直线：截得到的两段弧长之比为3：1，求实数的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由题意可得的圆心在轴上，设为，利用，化简求出，得到圆心坐标，又半径为2，代入圆的方程即可求解；（2）直线：截得到的两段弧长之比为3：1，得到劣弧所对的圆心角为90，利用点到直线的距离公式求出即可.【详解】（1）：可化为，所以其圆心为，半径为1.因为与：相切于点，且经过点，所以的圆心在轴上，设为，因为，所以，解得，所以，的半径为2，的方程为
20、.（2）直线恒过点(1，-1)，因为直线：截得到的两段弧长之比为3：1，所以劣弧所对的圆心角为90，圆心到直线的距离为，所以，解得.【点睛】本题考查圆的标准方程的求法，考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式的运用，属于中档题.23. 已知以点为圆心的圆与直线：相切，过点的动直线与圆相交于、两点，是的中点.（1）求圆的方程；（2）当时，求直线的方程.【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）设出圆的半径，根据以点为圆心的圆与直线相切点到直线的距离等于半径，我们可以求出圆的半径，进而得到圆的方程；（2）根据半弦长，弦心距，圆半径构成直角三角形，满足勾股定理，我们可以结合直线过点，求出直线的斜率，进而得到直线的方程.【详解】（1）设圆的半径为，由于圆与直线相切，圆的方程为；（2）当直线与轴垂直时，易知符合题意；当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，即，连接，则，则由，得，直线故直线的方程为或.【点睛】本题考查的知识点是直线和圆的方程的应用、直线的一般式方程和圆的标准方程，其中（1）的关键是求出圆的半径，（2）的关键是根据半弦长，弦心距，圆半径构成直角三角形，满足勾股定理，求出弦心距（即圆心到直线的距离）
