1、首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场ks5u首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场ks5u首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场ks5u首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场ks5u首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场ks5u想一想：1平面的概念平面是最基本的不加定义的几何概念，平面无厚薄、无大小，是无限延展的，常常把平面画成一个平行四边形，常把希腊字母、等写在代表平面的平行四边形的一个角上，也可以用代表平面的平行四边形的四个顶点，或者相对的两个顶点的大写英文字母作为这个平面的名称如平面 ABCD 或平面 AC.当平面水
2、平放置时，通常把平行四边形的锐角画成 45，横边画成邻边的 2 倍长今后一般用 A、B、C、表示点，用 a、b、c、表示直线，用、等表示平面首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场ks5u2点、直线、平面之间的位置关系及语言表达文字语言表达图形符号语言表达点 A 在直线 l 上Al点 A 在直线 l 外Al点 A 在平面 内A点 A 在平面 外A直线 l 在平面 内l直线 l 在平面 外l平面，相交于 ll首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场ks5u3平面的基本性质公理内容图形符号语言表达公理 1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内Al，Bl，且
3、 A，Bl公理 2过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面A，B，C 三点不共线存在惟一的平面 使 A，B，C公理 3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线P，且 Pl，且 Pl首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场ks5u做一做：1下列命题正确的是(C)(A)画一个平面，使它的长为 14 cm，宽为 5 cm(B)一个平面的面积可以是 160000 m2(C)平面内的一条直线把这个平面分成两部分，一个平面把空间分成两部分(D)10 个平面重叠起来，要比 2 个平面重叠起来厚解析：平面是只描述而不定义的概念，它没有厚度，无限延展，没有边界，是不可度
4、量的即 A、B、D 都是错误的故选 C.首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场ks5u2空间不共线的四点，可以确定平面的个数是(C)(A)0 (B)1 (C)1 或 4 (D)无法确定解析：空间不共线四点可以确定的平面个数可以是 1 或 4，它取决于四个点的相互位置关系故选 C.首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场ks5u3如图，平面 平面 l，A、B，C，Cl，ABlD，A、B、C 三点确定的平面为，则平面 与 的交线必过(D)(A)点 A(B)点 B(C)点 C，但不过点 D(D)点 C 和点 D解析：由 ABlD，l，AB 得 D，D，又 C，C.故选 D.
5、首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场ks5u4用符号语言表示下列语句：(1)点 A 在面 内但在面 外，_.(2)直线 a 经过面 内一点 A，外一点 B，_.(3)直线 a 在面 内也在面 内，_.答案：(1)A，A(2)A，B，Aa，Ba(3)a首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场ks5u首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场ks5u知识要点一：平面概念的理解1与以前学习的“点”、“线”、“集合”的概念一样，平面是一个只描述而不加定义的概念；2平面是无厚薄、无大小的无数个平面重叠在一起仍然是一个平面，平面无所谓面积；3平面是无限延展的，所以它是
6、没有边界的，一个平面将空间分成两部分知识要点二：平面的画法立体几何中，我们通常画平行四边形来表示平面，但应注意：(1)画的平行四边形表示的是整个平面，需要时，可以将它延展(2)加“通常”两字的意思是因为有时根据需要也可用其他封闭的平面图形表示，如用三角形、矩形、圆等平面图形来表示平面(3)画表示竖直平面的平行四边形时，通常把它的一组对边画成铅垂线(4)当一个平面的一部分被另一个平面遮住时应把被遮部分画成虚线或不画首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场ks5u知识要点三：集合符号在立体几何中的应用以点作为元素，直线和平面都是由点构成的集合例如：点 A 在平面 内，记作 A；点 A
7、不在平面 内，记作 A；直线 l 在平面 内，记作 l；直线 l 不在平面 内，记作l，这里点 A 是平面 的元素，而直线 l 是平面 的子集，因此在符号的使用上是有区别的知识要点四：平面的基本性质平面的基本性质，即教材中的三个公理，它们是研究立体图形的基础，必须牢固掌握1关于公理 1(1)对公理 1 的剖析：公理 1 的内容反映了直线与平面的位置关系，公理 1 的条件是“线上两点在平面内”，结论是“这条直线在平面内”，从集合的角度看，这个公理就是说，如果一条直线(点集)中有两个点(元素)属于一个平面(点集)，那么这条直线就是这个平面的真子集，这个结论阐述了两个意思，一是整条直线在平面内，二是
8、直线上所有点在平面内(2)公理 1 的作用：既可判断直线是否在平面内，点是否在平面内，又可用直线检验平面首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场ks5u2关于公理 2(1)对公理 2 的剖析：公理 2 的条件是“过不在一条直线上的三点”，结论是“有且只有一个平面”，“三点”是条件的主体，不会被忽视，但“不在一条直线上”这一附加条件易被遗忘，同时还应认识到，经过一点、两点或在一条直线上的三点可有无数个平面；过不在一条直线上的四点，不一定有平面，因此要充分认识“不在一条直线上的三点”这一条件的重要性，公理 2 中的“有且只有一个”的含义要准确理解，这里的“有”是说图形存在，“只有一个”
9、是说图形惟一，本公理强调的是存在和惟一两个方面，因此“有且只有一个”必须完整地使用(2)公理 2 的作用：确定平面，且可用其证明点、线共面问题不共线的三点确定的平面记作平面 ABC.(3)由公理 2 可得到三个推论：推论 1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面；推论 2：经过两条相交直线，有且只有一个平面；推论 3：经过两条平行直线，有且只有一个平面主要利用它们证明点、线共面首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场ks5u3关于公理 3(1)对公理 3 的剖析：公理 3 的内容反映了平面与平面的位置关系，公理 3 的条件简言之是“两面共一点”，结论是“两面共一线，且过这
10、一点，线惟一”，对于本公理应强调对于不重合的两个平面，只要它们有公共点，它们就是相交的位置关系，交集是一条直线(2)公理 3 的作用：其一它是判定两个平面是否相交的依据，只要两个不重合的平面有一个公共点，就可以判定这两个平面必相交于过这点的公共直线；其二它可以判定点在直线上，点是某两个平面的公共点，线是这两个平面的交线，则该点在交线上首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场ks5u首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场ks5u平面的概念【例 1】判断下列说法是否正确，并说明理由：(1)平面的形状是平行四边形；(2)任何一个平面图形都可以表示平面；(3)平面 ABCD
11、的面积为 10 cm2；(4)空间图形中，后引的辅助线都是虚线思路点拨：解答本题可先考虑平面的性质及其画法，然后依次解决解：(1)(3)(4)错，(2)正确因为平面是无限延展的，不计大小，不计面积，而平行四边形是平面的一部分，它是不能无限延展的另外，在空间图形中，我们一般把能看得见的线画成实线，把被平面遮住看不见的线画成虚线，目的是为了增加立体感有时，根据具体的情况，可以用其他的平面图形如矩形、圆、正多边形等表示平面，但绝不能说它是平面深刻理解平面的性质及相关概念，搞清平面与平面图形的区别与联系是解决此类问题的关键平面是无限延展的，无大小、无厚薄，是一种理想化的图形，但平面图形都是有大小之分的
12、对立体几何中图形的画法与平面几何中图形的画法要加以区别首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场ks5u变式训练 11：下列说法中正确的是_(1)平行四边形是一个平面；(2)任何一个平面图形都是一个平面；(3)平静的太平洋面就是一个平面；(4)圆和平面多边形都可以表示平面解析：(1)不正确我们用平行四边形来表示平面，但不能说平行四边形是一个平面平行四边形仅是平面上四条线段构成的图形，它是不能无限延展的(2)不正确平面图形和平面是完全不同的两个概念，平面图形是有大小的，它是不能无限延展的(3)不正确太平洋再大也会有边界，也不可能是绝对平的太平洋面只是给我们一种平面的感觉(4)正确在需要
13、时，除用平行四边形表示平面外，还能用三角形、梯形、圆等来表示平面答案：(4)首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场ks5u平面的表示与画法【例 2】按照给出的要求，完成下面两个相交平面的作图，如图(1)、(2)、(3)、(4)、(5)、(6)中的线段 AB 分别是两个平面的交线思路点拨：将平面用平行四边形表示出来，注意遮住的线要用虚线表示首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场ks5u解：由两个相交平面的画法知，本题只需过线段的端点画出与交线 AB 平行且相等的线段，即可得到相关的平行四边形，注意被平面遮住的部分画成虚线或者不画，然后在相关的平面上标上表示平面的字母即
14、可，如图(1)、(2)、(3)、(4)、(5)、(6)所示由已知图，就可得到平行四边形的两邻边，作平行线便可得平面，但要注意两平行四边形相交，有可能一部分平面被遮，被遮部分画成虚线或不画首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场ks5u变式训练 21：将下面用符号语言表示的关系改用文字语言予以叙述，并且用图形语言予以表示l，Al，AB，AC.解：文字语言叙述为：点 A 在平面 与平面 的交线 l 上，AB、AC 分别在平面、内如图：首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场ks5u多线共面问题的证明【例 3】已知四条直线两两相交，且不共点，求证这四条直线在同一平面内思路点拨
15、：四条直线两两相交，指任意两条都相交，题中已知四条直线不共点，但对于三条直线是否共点，需进一步讨论解：已知：a，b，c，d 四条直线两两相交，且不共点，求证：a，b，c，d 四线共面证明：若 a、b、c 三线共点于 O，如图所示：Od，经过 d 与点 O 有且仅有一个平面，A、B、C 分别是 d 与 a、b、c 的交点，A、B、C 三点在平面 内由公理 1 知 a、b、c 都在平面 内，故 a、b、c、d 共面首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场ks5u若 a、b、c、d 无三线共点，如图所示：abA，经过 a、b 有且仅有一个平面.B、C，由公理 1 知 c.同理，d，从而有
16、 a、b、c、d 共面综上所述，四条直线两两相交，且不共点，这四条直线在同一平面内证明点、线共面的主要依据是公理 1、公理 2，常用的方法有：纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内辅助平面法：先证明有关点、线确定平面，再证明其余元素确定平面，最后证明、重合反证法：先假设点、线不共面，再由已知推出矛盾，得出点、线共面具体操作方法是：证明几点共面的问题可先取三点(不共线的三点)确定一个平面，再证明其余各点都在这个平面内证明空间几条直线共面问题可先取两条相交或平行的直线确定一个平面，再证明其余直线均在这个平面内首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场ks5u变式训练 31
17、：求证：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一个平面内解：已知：ABACA，ABBCB，ACBCC.求证：直线 AB、BC、AC 共面证明：如图，法一：ACABA，直线 AB，AC 确定一个平面.BAB，CAC，B，C.故 BC.因此直线 AB、BC、AC 都在平面 内，即 AB、BC、AC 共面法二：A 不在直线 BC 上，过点 A 和直线 BC 确定平面.BBC，B.又A，故 AB，同理 AC，AB、BC、AC 共面法三：因为 A、B、C 三点不在一条直线上，过 A、B、C 三点可以确定平面.A，B，AB.同理 BC，AC，AB、BC、AC 共面首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析
18、演练广场ks5u多线共点问题的证明【例 4】如图，l，梯形 ABCD 中，ADBC，且 AB，CD.求证：AB、CD、l 共点(相交于一点)思路点拨：利用公理 3 可证明多线共点问题证明：如图，在梯形 ABCD 中，设 ABCDE.AB，CD，E，E.又 l，El，即 AB、CD、l 共点(相交于一点)利用公理 3 证明多线共点：任意两条直线的交点是两个平面的公共点，两个平面的公共点在两个平面的交线上首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场ks5u多点共线问题的证明【例 5】如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，设 A1C平面 ABC1D1E.求证：B、E、D1三点共线思路点
19、拨：利用公理 3 可证明三点共线首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场ks5u证明：如图，连结 A1B、BD1、CD1，A1C平面 ABC1D1E，EA1C，E平面 ABC1D1.A1C平面 A1BCD1，E平面 A1BCD1.平面 A1BCD1平面 ABC1D1BD1，EBD1.B、E、D1三点共线利用公理 3 证明三点共线：两个平面的公共点在交线上首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场ks5u首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场ks5u基础达标1下列图形中，不一定是平面图形的是(D)(A)三角形 (B)菱形(C)梯形 (D)四边相等的四边形解析：
20、由公理 3 及其推论知三角形、菱形、梯形都是平面图形，四边相等的四边形可能是空间四边形故选 D.首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场ks5u2空间四点 A、B、C、D 共面但不共线，则这四点中(B)(A)必有三点共线 (B)必有三点不共线(C)至少有三点共线 (D)不可能有三点共线解析：若四点中任意三点共线，则四点共线，与已知矛盾故选 B.首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场ks5u3三条直线两两相交，可以确定平面的个数是(C)(A)1 (B)1 或 2 (C)1 或 3 (D)3解析：三条直线共面时，有 1 个平面；三条直线不共面时，有 3 个平面首页末页上一
21、页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场ks5u4在三棱锥 ABCD 的各边 AB、BC、CD、DA 上分别取 E、F、G、H四点，如果 EFGHP，则点 P(B)(A)一定在直线 BD 上(B)一定在直线 AC 上(C)在直线 AC 或 BD 上(D)不在直线 AC 上，也不在直线 BD 上解析：EFGHP，则 P平面 ABC，P平面 ACD，而 AC 是两平面的交线，PAC.首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场ks5u5常用三条腿的架子将照相机支撑在地面上；四根腿的桌子常常不如三根腿的桌子在地面上稳固，它们的理论依据是_答案：不共线三点确定一个平面首页末页上一页下一页瞻前顾
22、后要点突破典例精析演练广场ks5u6点 A，B，C，则平面 ABC 与平面 的交点有_个解析：B，C，A.A 点是平面 ABC 与平面 的公共点由公理 3 知，两个平面必有一条过 A 点的公共直线，即交线故应填无数答案：无数首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场ks5u能力提升7(2009 年汉沽区高一期末测试卷)以下四个正方体中，P、Q、R、S 分别是所在棱的中点，则 P、Q、R、S 四点共面的图是(D)解析：根据四点所在棱的位置特征，易判断直线 PQ 与直线 RS 是异面直线还是共面直线分析知，只有 D 项中，PQ 与 RS 是共面直线，从而四点 P、Q、R、S 共面，故选
23、D.首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场ks5u8如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，直线 EF 是平面 ACD1与下面哪个平面的交线(B)(A)平面 BDB1 (B)平面 BDC1(C)平面 ACB1 (D)平面 ACC1解析：由题图知 E在 DC1 上，F点在 BD 上，则 EF 在平面 BDC1内故选 B.首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场ks5u9有下面几个命题：如果一条线段的中点在一个平面内，那么它的两个端点也在这个平面内；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；两组对边分别平行的四边形是平行四边形；四边形有三条边在同一平面内，则第四条边也在
24、这个平面内；点 A 在平面 外，点 A 和平面 内的任意一条直线都不共面其中正确命题的序号是_解析：中线段可以与平面相交，也可以在平面内；对边相等的空间四边形就是的一个很好反例中 A 不在 内，则 A 不在 内任意一条直线上A 可以与 内任意一条直线确定一个平面，即 A 与 内任意一条直线共面答案：首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场ks5u10如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，指出直线 B1D 与平面 ACD1的交点 E 的位置，并说明理由解：如图，连结 BD、B1D1，令 ACBDO，连结 OD1.在正方体 ABCDA1B1C1D1中，BB1DD1，则 B、B1、
25、D、D1四点共面在平面 BB1D1D 中，设 OD1与 B1D 交于点 E，则 EB1D，EOD1，又 OD1平面 ACD1，E平面 ACD1.点 E 是直线 B1D 与平面 ACD1的交点首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场ks5u11如图，ABP，CDP，A、D 与 B、C 分别在平面 的两侧，ACQ，BDR.求证：P、Q、R 三点共线证明：ABP，CDP，ABCDP，AB、CD 可确定一个平面，设为，则 AB，CD.PAB，ABP，P，P，同理 Q，Q，R，R.P、Q、R 三点都在 与 的交线上，即 P、Q、R 三点共线首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场ks5u探究创新12如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E、F、G 分别为 AB、BC、CC1的中点，作出过 E、F、G的截面解：如图，连结 EF，设直线 EF 与直线 AD、CD 分别交于点 P、Q，连结 QG，设直线QG 与直线 C1D1、DD1分别交于点 H、R，连结 PR，设直线 PR 与直线 A1D1、AA1分别交于点 I、J，则六边形 EFGHIJ 即为正方体过 E、F、G的截面