1、5.4.3正切函数的性质与图象【素养目标】1了解正切函数图象的画法，理解并掌握正切函数的性质(数学抽象)2能利用正切函数的图象及性质解决有关问题(逻辑推理)3通过对正切函数从性质到图象，从图象到性质的探究学习，培养学生的探索精神和创新思维(逻辑推理)【学法解读】在本节学习中，利用诱导公式推导正切函数的周期性及奇偶性，再利用单位圆作出正切函数ytanx，x(，)的图象，进而研究其单调性，培养学生的直观想象、逻辑推理的能力必备知识探新知基础知识知识点正切函数的图象与性质(1)图象：如图所示正切函数ytanx的图象叫做_正切曲线_.(2)性质：如下表所示.函数性质ytanx定义域值域R周期_奇偶性_
2、奇函数_单调性增区间_(kZ)_减区间无拓展(1)正切函数图象的对称中心是(kZ)，不存在对称轴(2)直线xk(kZ)称为正切曲线的渐近线，正切曲线无限接近渐近线(3)函数yAtan(x)b的周期是T.思考：(1)正切函数的图象有怎样的特征？(2)“正切函数在其定义域内是增函数”这种说法是否正确？提示：(1)图象关于原点对称；图象在x轴上方的部分下凸，在x轴下方的部分上凸；图象被相互平行的直线xk(kZ)隔开，图象无限接近这些直线，但永不相交(2)不正确正切函数在定义域内不具备单调性，但在每一个开区间(k，k)(kZ)内是增函数基础自测1下列说法正确的个数是(A)正切函数的定义域和值域都是R；
3、正切函数在其定义域内是单调递增函数；函数y|tanx|与ytanx的周期相等，都是；函数ytanx的所有对称中心是(k，0)(kZ)A1 B2 C3 D4解析错误，正确，故选A2函数y2tan的最小正周期是(B)AB2C3D43函数f(x)sinxtanx是(B)A奇函数B偶函数C非奇非偶函数D既是奇函数又是偶函数4下列函数中，同时满足：在(0，)上单调递增，为奇函数，以为最小正周期的函数是(A)AytanxBycosxCytanDy|sinx|解析经验证，选项B，D中所给函数都是偶函数，不符合；选项C中所给的函数的周期为2.5比较大小：tan()_tan()关键能力攻重难题型探究题型一正切函
4、数的定义域、值域问题例1 (1)若ytan(2x)，则该函数定义域为_x|x，kZ_；(2)函数ytan()，x(0，的值域是_(1，_.分析(1)由2xk(kZ)，即可求出结果(2)根据x(0，求解的范围，结合正切函数的性质可得值域解析(1)因为ytan(2x)，所以2xk(kZ)，解得x，kZ，所以该函数定义域为x|x，kZ(2)因为x(0，所以(，结合正切函数的性质可得：10，即tanx1.结合正切曲线，可得kxk(kZ)所以函数f(x)的定义域是(k，k)(kZ)题型二正切函数的单调性及应用例2 (1)求函数ytan(x)的单调区间(2)比较tan()与tan()的大小分析(1)利用正
5、切函数的单调性，求得该函数的单调递增区间(2)利用诱导公式化到同一单调区间内，再运用函数的单调性比较大小解析(1)由kxk(kZ)，得2kx2k，kZ，所以函数ytan(x)的单调递增区间是(2k，2k)(kZ)(2)由于tan()tan(4)tantan，tan()tan(2)tan，又0，而ytanx在(0，)上单调递增，所以tantan，即tan()tan()归纳提升1.求函数yAtan(x)(A，都是常数)的单调区间的方法(1)若0，由于ytanx在每一个单调区间上都是单调递增的，故可用“整体代换”的思想，令kxk，求得x的范围即可(2)若0，可利用诱导公式先把yAtan(x)转化为y
6、Atan(x)Atan(x)，即把x的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x的范围即可2运用正切函数单调性比较大小的方法(1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内(2)运用单调性比较大小关系【对点练习】 (1)比较tan1，tan2，tan3的大小；(2)求函数y3tan的单调区间解析(1)因为tan2tan(2)，tan3tan(3)又因为2，所以20.因为3，所以30.显然231，又ytanx在(，)内是单调递增的，所以tan(2)tan(3)tan1，即tan2tan3tan1.(2)y3tan3tan，由k2xk得，x1.思路分析先确定在一个周期内的x值的范围，再写
7、出不等式的解集解析函数ytanx在区间内的图象如图所示作直线y1，则在内，当tanx1时，有x1的解集是.归纳提升解形如tanxa的不等式的步骤课堂检测固双基1(2019福建龙岩期中)函数ytan(x)的定义域是(A)AxR|xk，kZBxR|xk，kZCxR|x2k，kZDxR|x2k，kZ解析由正切函数的定义域可得，xk，kZ，xk，kZ.故函数的定义域为xR|xk，kZ2下列各式中正确的是(D)Atan735tan800Btan1tan2CtantanDtantan解析tantan()tan.因为0，ytanx在(0，)上是增函数，所以tantan，即tantan.3函数y2tan的最小正周期是(B)ABCD4函数ytan(x)(x，且x0)的值域为_(，11，)_.5(1)求f(x)tan(2x)的周期；(2)判断ysinxtanx的奇偶性解析(1)方法一：因为tan(2x)tan(2x)，即tan2(x)tan(2x)，所以f(x)tan(2x)的周期是.方法二：由T得，周期为.(2)定义域为x|xk，kZ，关于原点对称，因为f(x)sin(x)tan(x)sinxtanxf(x)，所以它是奇函数
