1、第 3 讲 机械能守恒定律及其应用 知识点1 重力做功与重力势能 【思维激活1】(多选)小铁块从高为H的光滑 斜面顶端由静止滑下,关于重力做功和小铁块 的重力势能,下列说法中正确的是()A.重力对小铁块做正功,小铁块的重力势能减少 B.小铁块克服重力做功,小铁块的重力势能增加 C.地球上任何一个物体的重力势能都有一个确定值 D.重力做功的多少与参考平面的选取无关【解析】选A、D。物体重力势能的大小与参考平面的选取有关,故C错误;小铁块由高处向低处运动,重力做正功,重力势能一定减少,故A正确、B错误;重力做多少功,物体的重力势能就变化多少,重力势能的变化与参考平面的选取无关,故D正确。【知识梳理
2、】1.重力做功的特点：(1)重力做功与_无关,只与始末位置的_有关。(2)重力做功不引起物体_的变化。路径 高度差 机械能 2.重力做功与重力势能变化的关系：(1)定性关系：重力对物体做正功,重力势能_;重力对物体 做负功,重力势能_。(2)定量关系：重力对物体做的功等于物体重力势能的_,即WG=_=_。(3)重力势能的变化量是绝对的,与参考平面的选取_。减小 增大 减少量-(Ep2-Ep1)-Ep 无关 知识点2 弹性势能 【思维激活2】(多选)如图所示,一个物 体以速度v0冲向竖直墙壁,墙壁和物体间 的弹簧被物体压缩,不计任何摩擦阻力,在此过程中下列说法中正确的是()A.物体对弹簧做功,物
3、体的动能增加 B.物体向墙壁运动相同的位移,弹力做的功不相等 C.弹簧的弹力做正功,弹簧的弹性势能减小 D.弹簧的弹力做负功,弹簧的弹性势能增加【解析】选B、D。物体克服弹簧的弹力做功,物体的动能转化为弹簧的弹性势能,A、C错误,D正确;由于弹簧的弹力不断增大,物体向墙壁运动相同位移,弹力做功不相等,B正确。【知识梳理】1.定义：发生_的物体之间,由于有弹力的相互作用 而具有的势能。2.重力势能和弹性势能的比较：内 容 重力势能 弹性势能 概 念 物体由于_ 而具有的能 物体由于发生_而具 有的能 大 小 Ep=_ 与形变量及_有关 相对性 大小与所选取的 参考平面_ 一般选弹簧形变为零的状态
4、 为_零点 弹性形变 被举高 弹性形变 mgh 劲度系数 有关 弹性势能 知识点3 机械能守恒定律及其应用 【思维激活3】(多选)(2014中山模拟)如图所示,下列关于机械能是否守恒的判断正确的是()A.甲图中,物体A将弹簧压缩的过程中,A机械能守恒 B.乙图中,A置于光滑水平面,物体B沿光滑斜面下滑,物体B机械能守恒 C.丙图中,不计任何阻力时A加速下落,B加速上升过程中,A、B系统机械能守恒 D.丁图中,小球沿水平面做匀速圆锥摆运动时,小球的机械能守恒【解析】选C、D。甲图中重力和弹力做功,物体A和弹簧组成的系统机械能守恒,但物体A机械能不守恒,A错;乙图中物体B除受重力外,还受弹力,弹力
5、对B做负功,机械能不守恒,但从能量特点看A、B组成的系统机械能守恒,B错;丙图中绳子张力对A做负功,对B做正功,代数和为零,A、B系统机械能守恒,C对;丁图中动能不变,势能不变,机械能守恒,D对。【知识梳理】1.机械能：_和_统称为机械能,其中势能包括_ 和_。2.机械能守恒定律：(1)内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内,_与 _可以相互转化,而总的机械能_。(2)条件：只有_做功。弹性势能 重力势能 动能 势能 保持不变 重力或弹力 动能 势能(3)三种守恒表达式。_(E1、E2分别表示系统初、末状态时的总机械能)。Ek=_或 Ek增=_(表示系统势能的减少量等于 系统动能的增加量)。E
6、A=_或 EA增=_(表示系统只有A、B两物体时,A增加的机械能等于B减少的机械能)。E1=E2-Ep Ep减-EB EB减【微点拨】对重力做功和重力势能的四点提醒(1)重力做功的大小与物体的运动状态无关,与物体是否受其他力无关;(2)重力做功,一定会引起重力势能的变化;(3)重力势能是标量,但有正负,其意义表示物体的重力势能比它在参考平面的重力势能大还是小;(4)WG=-Ep中的负号表示重力做的功与重力势能变化的绝对值相等,符号相反。考点1 机械能守恒的判断 关于机械能守恒的理解：(1)只受重力作用,如在不考虑空气阻力的情况下的各种抛体运动,物体的机械能守恒。(2)受其他力,但其他力不做功,
7、只有重力或系统内的弹力做功。(3)系统内的弹力做功伴随着弹性势能的变化,并且系统内弹力做功等于系统弹性势能的减少量。深化理解【题组通关方案】【典题1】(多选)(2013山东高考)如图所示,楔形木块abc固定在水平面上,粗糙斜面ab和光滑斜面bc与水平面的夹角相同,顶角b处安装一定滑轮。质量分别为M、m(Mm)的滑块,通过不可伸长的轻绳跨过定滑轮连接,轻绳与斜面平行。两滑块由静止释放后,沿斜面做匀加速运动。若不计滑轮的质量和摩擦,在两滑块沿斜面运动的过程中()A.两滑块组成系统的机械能守恒 B.重力对M做的功等于M动能的增加 C.轻绳对m做的功等于m机械能的增加 D.两滑块组成系统的机械能损失等
8、于M克服摩擦力做的功【解题探究】(1)机械能守恒的条件是_。(2)两滑块沿斜面运动的过程中,滑块m的机械能是否守恒?m和M两滑块组成的系统机械能是否守恒?提示：因滑块m在运动过程中轻绳拉力对m做正功,故机械能不守恒;两滑块组成的系统在运动过程中,摩擦力对M做负功,故机械能不守恒。只有重力或系统内弹力做功【典题解析】选C、D。对于M和m组成的系统,除了重力、轻绳弹力做功外,摩擦力对M做了功,系统机械能不守恒,选项A错误;对于M,合外力做的功等于其重力、轻绳拉力及摩擦力做功的代数和,根据动能定理可知,M动能的增加等于合外力做的功,选项B错误;对于m,只有其重力和轻绳拉力做了功,根据功能关系可知,除
9、了重力之外的其他力对物体做的正功等于物体机械能的增加量,选项C正确;对于M和m组成的系统,系统内轻绳上弹力做功的代数和等于零,只有两滑块的重力和M受到的摩擦力对系统做了功,根据功能关系得,M的摩擦力对系统做的功等于系统机械能的损失量,选项D正确。【通关1+1】1.(多选)(2014长沙模拟)如图所示,细绳跨过定滑轮悬挂两物体M和m,且Mm,不计摩擦,系统由静止开始运动过程中()A.M、m各自的机械能分别守恒 B.M减少的机械能等于m增加的机械能 C.M减少的重力势能等于m增加的重力势能 D.M和m组成的系统机械能守恒【解析】选B、D。M下落过程中,绳的拉力对M做负功,M的机械能减少;m上升过程
10、,绳的拉力对m做正功,m的机械能增加,A错误。对于M、m组成的系统,机械能守恒,易得B、D正确。M减少的重力势能并没有全部用于m重力势能的增加,还有一部分转变成M、m的动能,所以C错误。2.(多选)如图所示,一轻弹簧左端固定,右端连接一物体A,物体处于光滑水平面上,弹簧处于原长,现用一向左的恒力F推物体,则在物体向左运动至弹簧最短的过程中()A.物体的加速度先减小后增大 B.物体的动能先增大后减小 C.弹簧的势能先增大后减小 D.物体和弹簧组成系统的机械能守恒【解析】选A、B。物体在恒力F作用下向左压缩弹簧,弹簧弹力变大,物体所受合力逐渐减小,速度变大,当物体达到最大速度时,合力为零,动能最大
11、,继续向左压缩弹簧,合力向右增大,速度减小,故物体的加速度先减小后增大,动能先增大后减小,A、B均正确;弹簧的弹性势能一直增大,因恒力F做功,系统的机械能不守恒,故C、D均错误。【加固训练】1.(多选)(2014西安模拟)一小球自由下落,与地面发生碰撞,原速率反弹。若从释放小球开始计时,不计小球与地面发生碰撞的时间及空气阻力。则图中能正确描述小球位移x、速度v、动能Ek、机械能E与时间t关系的是()【解析】选B、D。小球在运动过程中,地面的作用力不做功,只有重力做功,所以加速度大小为g,机械能守恒,故B、D正确。小球位移与时间的二次方成线性关系,故A错误。小球的动能与位移成线性关系,不与时间成
12、线性关系,故C错误。2.如图所示,固定的倾斜光滑杆上套有一个质量为m的圆环,圆环与一橡皮绳相连,橡皮绳的另一端固定在地面上的A点,橡皮绳竖直时处于原长h。让圆环沿杆滑下,滑到杆的底端时速度为零。则在圆环下滑过程中()A.圆环机械能守恒 B.橡皮绳的弹性势能一直增大 C.橡皮绳的弹性势能增加了mgh D.橡皮绳再次达到原长时圆环动能最大【解析】选C。开始时由于橡皮绳处于原长h,所以圆环开始时做匀加速运动。当橡皮绳再次被拉长至h时,此后将会对圆环产生一个阻碍圆环下滑的拉力,此时圆环克服拉力做功,机械能不守恒,故A错误。整个过程中橡皮绳的弹性势能先不变后增大,故B错误。当拉力达到某一值时,才会使圆环
13、的加速度为零,速度达到最大值,故D错误。圆环和橡皮绳组成的系统机械能守恒,整个过程中圆环的重力势能减少量等于橡皮绳弹性势能的增加量,故C正确。【学科素养升华】机械能是否守恒的判断方法(1)利用机械能的定义判断(直接判断)：机械能包括动能、重力势能和弹性势能,判断机械能是否守恒可以看物体或系统机械能的总和是否变化。(2)用做功判断：若物体或系统只有重力或系统内弹力做功,虽受其他力,但其他力不做功,机械能守恒。(3)用能量转化来判断：若物体系统中只有动能和势能的相互转化而无机械能与其他形式的能的转化,则物体系统机械能守恒。考点2 机械能守恒的三个观点 三种守恒表达式的比较：对比分析角度 公 式 意
14、 义 注意事项 守恒 观点 Ek1+Ep1=Ek2+Ep2 系统的初状态机械能的总和与末状态机械能的总和相等 初、末状态必须用同一零势能面计算势能 转化 观点 Ek=-Ep 系统减少(或增加)的重力势能等于系统增加(或减少)的动能 应用时关键在于分清重力势能的增加量和减少量,可不选零势能面而直接计算初、末状态的势能差 角度 公 式 意 义 注意事项 转移 观点 EA增=EB减 若系统由A、B两物体组成,则A物体机械能的增加量与B物体机械能的减少量相等 常用于解决两个或多个物体组成的系统的机械能守恒问题【题组通关方案】【典题2】(12分)如图所示,物块A的质量为M,物 块B、C的质量都是m,并都
15、可看作质点,且mM m,即 (2分)答案：(1)(2)122(2mM)gL2mM。1222M2m M2m 2(2mM)gL2mM【通关1+1】1.(拓展延伸)【典题2】中若没有物块C,物块A离地面的高度为1.5L,如图所示。求：(1)物块A落地时的速度大小;(2)物块A落地后,物块B还能上升的最大高度。【解析】(1)A、B组成的系统机械能守恒,据转化观点,A、B重力势能的减少量等于A、B动能的增加量,有(M-m)g1.5L=(M+m)v2 解得：v=(2)设B还能上升h,B的动能全部转化为重力势能,有 mv2=mgh 解得：h=答案：(1)(2)123 Mm gLMm123 Mm L2 Mm3
16、 Mm L2 Mm3 Mm gLMm2.(2014唐山模拟)如图所示,物体A、B通过 细绳及轻质弹簧连接在轻滑轮两侧,物体A、B 的质量都为m。开始时细绳伸直,用手托着物体 A使弹簧处于原长且A与地面的距离为h,物体B 静止在地面上。放手后物体A下落,与地面即将 接触时速度大小为v,此时物体B对地面恰好无压力,则下列 说法中正确的是()A.弹簧的劲度系数为 B.此时弹簧的弹性势能等于mgh+mv2 C.此时物体B的速度大小也为v D.此时物体A的加速度大小为g,方向竖直向上 mgh12【解析】选A。A下落,与地面即将接触时速度大小为v,此时物 体B对地面恰好无压力,所以B物体受力平衡,有mg=
17、kh,所以弹簧 的劲度系数为 选项A正确;由机械能守恒定律可知,弹簧的 弹性势能等于mgh-mv2,选项B错误;此时物体B的速度为零,A 的加速度为零,选项C、D错误。mgh，12【加固训练】1.(多选)(2014南京模拟)如图所示,长度相 同的三根轻杆构成一个正三角形支架,在A处固 定质量为2m的小球,B处固定质量为m的小球,支 架悬挂在O点,可绕过O点并与支架所在平面相垂 直的固定轴转动。开始时OB竖直,放手后开始运动,在不计任何阻力的情况下,下列说法正确的是()A.A球到达最低点时速度为零 B.A球机械能的减少量等于B球机械能的增加量 C.B球向左摆动所能达到的最高位置应高于A球开始运动
18、的高度 D.当支架从左向右回摆时,A球一定能回到起始高度【解析】选B、C、D。A、B两球及支架组成的系统机械能守恒,故选项B、D正确;设A球能摆至最低点,且此时A、B两球的速度 为v,每两根轻杆之间夹角为2,由机械能守恒定律得：2mgLsin-mgLsin=3mv2,解得：v=故选项A 错误,C正确。122 gLsin3，2.(2014唐山模拟)如图所示,光滑固定的竖直杆上套有一个质量m=0.4kg的小物块A,不可伸长的轻质细绳通过固定在墙壁上、大小可忽略的定滑轮D,连接小物块A和小物块B,虚线CD水平,间距d=1.2m,此时连接小物块A的细绳与竖直杆的夹角为37,小物块A恰能保持静止。现在在
19、小物块B的下端挂一个小物块Q(未画出),小物块A可从图示位置上升并恰好能到达C处。不计摩擦和空气阻力,cos37=0.8、sin37=0.6,重力加速度g取10m/s2。求：(1)小物块A到达C处时的加速度大小;(2)小物块B的质量;(3)小物块Q的质量。【解析】(1)当小物块A到达C处时,由受力分析可知：水平方向受力平衡,竖直方向只受重力作用,所以小物块A的加速度a=g=10m/s2。(2)设小物块B的质量为mB,绳子拉力为FT;根据平衡条件：FTcos37=mg FT=mBg 联立解得mB=0.5kg(3)设小物块Q的质量为m0,根据系统机械能守恒得 mghAC=(mB+m0)ghB hA
20、C=dcot37=1.6m hB=-d=0.8m 解得：m0=0.3kg 答案：(1)10m/s2(2)0.5kg(3)0.3kg dsin37【学科素养升华】多物体机械能守恒问题(1)多物体机械能守恒问题的分析方法。对多个物体组成的系统要注意判断物体运动过程中,系统的机械能是否守恒。注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系。列机械能守恒方程时,一般选用Ek=-Ep的形式。(2)多物体机械能守恒问题的三点注意。正确选取研究对象。合理选取物理过程。正确选取机械能守恒定律常用的表达形式列式求解。考点3 机械能守恒定律的综合应用 1.解答机械能守恒问题的一般步骤：(1)选取研究对象。单个物
21、体。多个物体组成的系统。含弹簧的系统。(2)分析受力情况和各力做功情况,确定是否符合机械能守恒条件。(3)确定初末状态的机械能或运动过程中物体机械能的转化情况。(4)选择合适的表达式列出方程,进行求解。(5)对计算结果进行必要的讨论和说明。解题技巧2.注意问题：(1)列方程时,选取的表达角度不同,表达式不同,对参考平面的选取要求也不一定相同。(2)应用机械能守恒能解决的问题,应用动能定理同样能解决,但其解题思路和表达式有所不同。【题组通关方案】【典题3】(19分)(2011福建高考)如图为某 种鱼饵自动投放器中的投饵管装置示意图,其 下半部AB是一长为2R的竖直细管,上半部BC是 半径为R的四
22、分之一圆弧弯管,管口沿水平方向,AB管内有一原长为R、下端固定的轻质弹簧。投饵时,每次总将弹簧长度压缩到0.5R后锁定,在弹簧上端放置一粒鱼饵,解除锁定,弹簧可将 鱼饵弹射出去。设质量为m的鱼饵到达管口C时,对管壁的作用 力恰好为零。不计鱼饵在运动过程中的机械能损失,且锁定和 解除锁定时,均不改变弹簧的弹性势能。已知重力加速度为g。求：(1)质量为m的鱼饵到达管口C时的速度大小v1;(2)弹簧压缩到0.5R时的弹性势能Ep;(3)已知地面与水面相距1.5R,若使该投饵管绕AB管的中轴线 OO在90角的范围内来回缓慢转动,每次弹射时只放置一粒 鱼饵,鱼饵的质量在 m到m之间变化,且均能落到水面。
23、持续 投放足够长时间后,鱼饵能够落到水面的最大面积S是多少?23【解题探究】(1)质量为m的鱼饵到达管口C时的速度大小的求解思路。物理规律：_;方程式：_。(2)弹簧把质量为m的鱼饵弹到管口C的过程中,能量的转化关系如何?提示：弹簧的弹性势能全部转化为鱼饵的机械能。(3)质量为m的鱼饵离开管口C后做平抛运动。水平方向：_;竖直方向：_。21vmgm R牛顿第二定律 x1=R+v1t 214.5Rgt2【典题解析】(1)质量为m的鱼饵到达管口C时做圆周运动的向 心力完全由重力提供。则由mg=(2分)得v1=(1分)(2)弹簧的弹性势能全部转化为鱼饵的机械能,由机械能守恒 定律有 Ep=mg(1.
24、5R+R)+mv12 (3分)联立方程解得Ep=3mgR (2分)21vm RgR12(3)鱼饵离开管口C做平抛运动,则有4.5R=gt2 (1分)x1=R+v1t (1分)联立方程解得x1=4R (1分)当鱼饵质量为 m时,设其到达管口的速度为v2,由机械能 守恒定律有 Ep=mg(1.5R+R)+(m)v22 (3分)解得v2=2 (1分)1223232312gR同理有x2=R+v2t (1分)联立方程解得x2=7R (1分)鱼饵能够落到水面的最大面积 (2分)答案：(1)(2)3mgR(3)(或8.25R2)22221133SxxR44gR233 R4【通关1+1】1.(多选)(2014
25、潍坊模拟)如图所示,劲度系数为k的轻质弹簧,一端系在竖直放置的半径为R的圆环顶点P,另一端系一质量为m 的小球,小球穿在圆环上做无摩擦的运动。设开始时小球置于A 点,弹簧处于自然状态,当小球运动到最低点时速率为v,对圆环 恰好没有压力。下列分析正确的是()A.从A到B的过程中,小球的机械能守恒 B.从A到B的过程中,小球的机械能减少 C.小球过B点时,弹簧的弹力为mg+D.小球过B点时,弹簧的弹力为mg+2vm R2vm 2R【解析】选B、C。从A到B的过程中，因弹簧对小球做负功，小 球的机械能将减少，A错误，B正确；在B点对小球应用牛顿第 二定律可得：FB-mg=解得FB=mg+C正确,D错
26、误。2vm,R2vm,R2.(2014宿州模拟)如图所示,在水平地面上固定一个半径为R的半圆形轨道,其中圆弧部分光滑,水平段长为L,一质量为m的小物块紧靠一根被压缩的弹簧固定在水平轨道的最右端,小物块与水平轨道间的动摩擦因数为,现突然释放小物块,小物块被弹出,恰好能够到达圆弧轨道的最高点A,g取10m/s2,且弹簧长度忽略不计,求：(1)小物块的落点距O的距离;(2)小物块释放前弹簧具有的弹性势能。【解析】(1)设小物块被弹簧弹出时的速度大小为v1,到达圆弧轨道的最低点时速度大小为v2,到达圆弧轨道的最高点时速度大小为v3,因为小物块恰好能到达圆弧轨道的最高点,故有mg=小物块由A射出后做平抛
27、运动,由平抛运动的规律 得x=v3t 2R=gt2 联立解得：x=2R,即小物块的落点距O的距离为2R 23mvR12(2)小物块在圆弧轨道上从最低点运动到最高点的过程中，由 机械能守恒定律得 mv22mg2R mv32 小物块被弹簧弹出到运动到圆弧轨道的最低点的过程，由功能 关系得：mv12 mv22mgL 小物块释放前弹簧具有的弹性势能就等于小物块被弹出时的动 能，故有Ep mv12 由联立解得：Ep mgRmgL 答案：(1)2R (2)mgRmgL 12121212125252【加固训练】1.(2014淄博模拟)如图是为了检验某种 防护罩承受冲击力的装置,M是半径为R=1.0m的固定于
28、竖直平面内的 光滑圆弧轨 道,轨道上端切线水平。N为待检验的固定 曲面,该曲面在竖直面内的截面为半径r=m的 圆弧,圆弧 下端切线水平且圆心恰好位于M轨道的上端点。M的下端相切处 放置竖直向上的弹簧枪,可发射速度不同的质量m=0.01kg的小 钢珠,假设某次发射的钢珠沿轨道恰好能经过M的上端点,水平 飞出后落到曲面N上的某一点,g取10m/s2。求：140.6914(1)发射该钢珠前,弹簧的弹性势能Ep多大?(2)钢珠从M圆弧轨道最高点飞出至落到圆弧N上所用的时间是多少(结果保留两位有效数字)?【解析】(1)设钢珠在轨道M最高点的速度为v，在M的最低端 速度为v0，则在最高点，由牛顿第二定律得
29、mg=从最低点到最高点，由机械能守恒定律得：mv02=mgR+mv2 由得：v0=设弹簧的弹性势能为Ep，由机械能守恒定律得：Ep=mv02=mgR=0.15 J 2vm R12123gR1232(2)钢珠从最高点飞出后,做平抛运动：x=vt y=gt2 由几何关系x2+y2=r2 联立得t=0.24s 答案：(1)0.15J(2)0.24s 122.如图甲所示,一半径R=1m、圆心角等于143的竖直圆弧形光滑轨道,与斜面相切于B处,圆弧轨道的最高点为M,斜面倾角=37,在t=0时刻有一物块沿斜面上滑,其在斜面上运动的速度变化规律如图乙所示。若物块恰能到达M点(g取10m/s2,sin37=0
30、.6,cos37=0.8),求：(1)物块经过B点时的速度vB;(2)物块与斜面间的动摩擦因数;(3)A、B间的距离xAB。【解析】(1)由题意,物块恰能到达M点,则在M点有 mg=由机械能守恒定律有 mgR(1+cos37)=mvB2-mvM2 代入数据可求得：vB=m/s。(2)由v-t图可知物块运动的加速度a=10m/s2 由牛顿第二定律有mgsin37+mgcos37=ma 所以物块与斜面间的动摩擦因数=0.5 2Mvm R121246agsin37gcos37(3)由运动学公式2axAB=vA2-vB2。又vA=8m/s,得xAB=0.9m。答案：(1)m/s(2)0.5(3)0.9
31、m 46【学科素养升华】(1)弹簧类问题的突破要点。弹簧的弹力大小由形变大小决定,解题时一般应从弹簧的形变分析入手,确定原长位置、现长位置、平衡位置等,再结合其他力的情况分析物体的运动状态。因软质弹簧的形变发生改变过程需要一段时间,在瞬间内形变量可以认为不变。因此,在分析瞬间变化时可以认为弹力大小不变,即弹簧的弹力不突变。在求弹簧的弹力做功或弹簧的弹性势能时,通常可以根据系统的机械能守恒或功能关系进行分析。(2)弹簧类问题的两点注意。弹簧处于相同状态时弹性势能相等;在不同的物理过程中,弹簧形变量相等,则弹性势能的变化量相等。【资源平台】与弹簧有关的机械能守恒问题 如图所示,倾角为 的直角斜面体
32、固定在水平地面上,一根轻质弹簧上端固定在斜面上,下端拴一质量为m的物块,物块放在光滑斜面上的P点并保持静止,弹簧与斜面平行,此时弹簧具有的弹性势能为Ep,已知弹簧的劲度系数为k。现将物块缓慢沿斜面向上移动,到弹簧刚恢复至原长位置时,由静止释放物块,求在以后的运动过程中物块的最大速度。【解析】由题意可知,物块将以P点为平衡位置往复运动,当物 块运动到位置P点时有最大速度,设为vm,从物块在弹簧原长位 置由静止释放至物块刚好到达P点的过程中,由系统机械能守 恒得：mgx0sin=Ep+mvm2 当物块自由静止在P点时,物块受力平衡,则有：mgsin=kx0 联立解得：vm=答案：1222pEmg
33、sin2()km 22pEmg sin2()km 建模提能之5 机械能守恒中的轻杆模型 1.轻杆模型的四个特点：(1)忽略空气阻力和各种摩擦;(2)平动时两物体线速度相等,转动时两物体角速度相等;(3)杆对物体的作用力并不总是指向杆的方向,杆能对物体做功,单个物体机械能不守恒;(4)对于杆和球组成的系统,没有外力对系统做功,因此系统的总机械能守恒。2.解决轻杆模型应注意的三个问题：(1)明确轻杆转轴的位置,从而确定两球的线速度是否相等;(2)杆对球的作用力方向不再沿着杆,故单个物体的机械能不守恒;(3)杆对物体做正功,使其机械能增加,同时杆对另一物体做负功,使其机械能减少,系统的机械能守恒。【
34、案例剖析】典题例证 深度剖析 质量分别为m和2m的两个小球P和Q,中间用 轻质杆固定连接,杆长为L,在离P球 处有 一个光滑固定轴O,如图所示。现在把杆置 于水平位置后自由释放,在Q球顺时针摆动 到最低位置时,求：(1)小球P的速度大小;(2)在此过程中小球P机械能的变化量。L3【精讲精析】(1)两球和杆组成的系统机械能守恒,设小球Q摆 到最低位置时P球的速度为v,由于P、Q两球的角速度相等,Q球 运动半径是P球运动半径的两倍,故Q球的速度为2v。由机械能 守恒定律得 2mg L-mg L=mv2+2m(2v)2,解得v=(2)小球P机械能增加量 E=mg L+mv2=mgL 答案：(1)(2
35、)增加 mgL 231312121312492gL3。492gL3。【自我小测】小试身手 固本强基 1.(2014济宁模拟)如图所示,在倾角=30的光滑固定斜面上,放有两个质量分别 为1kg和2kg的可视为质点的小球A和B,两球 之间用一根长L=0.2m的轻杆相连,小球B距水平面的高度h=0.1m。两球从静止开始下滑到光滑地面上,不计球与地面碰撞 时的机械能损失,g取10m/s2。则下列说法中正确的是()A.下滑的整个过程中A球机械能守恒 B.下滑的整个过程中两球组成的系统机械能守恒 C.两球在光滑地面上运动时的速度大小为2m/s D.系统下滑的整个过程中B球机械能的增加量为 J 53【解析】
36、选B。设A球的质量为m,A、B组成的系统机械能守恒,有mg(h+Lsin30)+2mgh=(2m+m)v2,解得两球在光滑地面上 运动的速度v=m/s,则B正确,A、C错误;B球下滑过程中,机械能的增加量E=2mv2-2mgh=J,则D错误。122 6312232.如图所示,倾角为 的光滑斜面上 放有两个质量均为m的小球A和B,两球 之间用一根长为L的轻杆相连,下面的 小球B离斜面底端的高度为h。两球从 静止开始下滑,不计球与地面碰撞时的机械能损失,且地面光滑。求：(1)两球在光滑水平面上运动时的速度大小;(2)整个运动过程中杆对A球所做的功。【解析】(1)因为没有摩擦,且不计球与地面碰撞时的机械能 损失,两球在光滑地面上运动时的速度大小相等,设为v,根据 机械能守恒定律有：2mg(h+sin)=2 mv2 解得：v=(2)因两球在光滑水平面上运动时的速度v比B单独从h处自由 滑下的速度 大,增加的机械能就是杆对B做正功的结果。B增加的机械能为 EkB=mv2-mgh=mgLsin 12L22gh12122ghgLsin因系统的机械能守恒,所以杆对B球做的功与杆对A球做的功 的数值应该相等,杆对B球做正功,对A球做负功,所以杆对A球 做的功 W=-mgLsin。答案：(1)(2)-mgLsin 122ghgLsin12
