1、天津市第九十五中学高三年级模拟考试（二）数学试卷本试卷分为第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分，共 150 分，考试用时 120 分钟第卷 选择题(共 45 分)参考公式：如果事件 A、B 互斥，那么 P(AB)P(A)P(B)柱体的体积公式 VSh.其中 S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 锥体的体积公式 V13Sh.其中 S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高 一、选择题(本大题共 9 小题，每小题 5 分，共 45 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知全集 U1，0，1，2，3，集合 A0，1，2，B1，0，1，则U(AB)()A1 B0，1 C1，2，3
2、D1，0，1，32设 x，yR，则“xy”是“lnxlny”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件3某学校组织部分学生参加体能测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为20，40)，40，60)，60，80)，80，100若低于 60 分的人数是 18 人，则参加体能测试的学生人数是()A45 B48 C50 D604已知3 x2ax8的展开式中常数项为 112，则实数 a 的值为()A1 B1 C2 D25抛物线 y24x 的焦点到双曲线x2a2y21(a0)的一条渐近线的距离是 22，则双曲线的实轴长是()A.3B2 3C1 D26函数 f(x)（ex
3、1）sinxex1的部分图象大致为()7已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且在(0，)上单调递增，则()Af(21.1)f(ln3)f(log132)Bf(21.1)f(log132)f(ln3)Cf(ln3)f(21.1)f(log132)Df(ln3)f(log132)f(21.1)8已知函数 f(x)sin(x6)(0)，若函数 f(x)在区间(0，)上有且只有两个零点，则 的取值范围为()A.76，136B.76，136C.56，116D.56，1169已知函数 f(x)x2（t1）x2t2，x0，|lnx|，x0，若关于 x 的不等式 f(x)t 的解集为a，bc，d，且
4、bc，abcdt20，y0，x2y3，则x2yxy 的最小值为_15如图，在ABC 中，AB2，AC1，D，E 分别是直线 AB，AC 上的点，AE 2BE，CD 4AC 且BD CE2，则BAC_；若 P 是线段 DE 上的一个动点，则BPCP的最小值为_三、解答题(本大题共 5 小题，共 75 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16(本小题满分 14 分)在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 bc，2sinB 3sinA.(1)求 sinB 的值；(2)求 sin2B6 的值17(本小题满分 15 分)如图，在四棱锥 PABCD 中，PA平面 ABCD，AB
5、CD，且CD2，AB1，BC2 2，PA1，ABBC，N 为 PD 的中点(1)求证：AN平面 PBC；(2)求平面 PAD 与平面 PBC 所成锐二面角的余弦值；(3)在线段 PD 上是否存在一点 M，使得直线 CM 与平面 PBC 所成角的正弦值为 2626，若存在，求出DMDP 的值；若不存在，说明理由18(本小题满分 15 分)在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 E：x2a2y2b21(ab0)的离心率为 22，短轴长为 2，若点 A、B 分别是椭圆 E 的左、右顶点，动点 M(a，t)，(t 2)，直线AM 交椭圆 E 于点 P.(1)求椭圆 E 的方程；(2)求证：OM BP是
6、定值；设ABP 的面积为 S1，四边形 OBMP 的面积为 S2，求S1S2的最大值19(本小题满分 15 分)已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，且 a12，S530，数列bn的前 n 项和为 Tn，且 Tn2n1.(1)求数列an、bn的通项公式；(2)设 cnbn（bn1）（bn11），数列cn的前 n 项和为 Mn，求 Mn；(3)设 dn(1)n(anbnlnSn)，求数列dn的前 n 项和20(本小题满分 16 分)设函数 f(x)(x1)ma(x1)的定义域为(1，)，其中 m0，aR.(1)若 m3，判断 f(x)的单调性；(2)若 m0，设函数 g(x)lnxf(x)1e
7、x 在区间(1，)上恰有一个零点，求正数 a的取值范围；(3)当 a0，m1 时，证明：数学答案1C 命题立意本题考查集合的交集、补集的运算解析AB0，1，U(AB)1，2，3，故选 C.2B 命题立意本题考查充分、必要条件解析由 lnxlny 得 xy0，由 xy 不能得到 lnxlny，因为 x，y 小于 0 时，lnx、lny 无意义，“xy”是“lnxlny”的必要不充分条件，故选 B.3D 命题立意本题考查频率分布直方图解析由直方图得低于 60 分的频率为(0.0050.010)200.3，故参加体能测试的学生人数是180.360，故选 D.4A 命题立意本题考查二项展开式的特定项解
8、析3 x2ax8展开式的通项为 Tr1Cr8(3 x)8r2axr(2a)rCr8x84r3.令84r30，得 r2，常数项为(2a)2C28112，解得 a1.故选 A.5D 命题立意本题考查双曲线、抛物线的几何性质解析抛物线 y24x 的焦点为 F(1，0)，双曲线x2a2y21 的渐近线方程为 yxa，11a2 22，a1，实轴长 2a2，故选 D.6C 命题立意本题考查函数的图象与性质解析f(0)0，排除 A、D；f 2 e21e210，排除 B，故选 C.7A 命题立意本题考查函数的单调性、奇偶性解析f(x)是偶函数，f(log132)f(log32)，21.12ln31log320
9、，f(x)在(0，)上单调递增，f(21.1)f(ln3)f(log32)f(log132)，故选 A.8B 命题立意本题考查正弦型函数的图象和性质解析x(0，)，0，x66，6，f(x)在(0，)上有且只有两个零点，62，760 时，f(x)|lnx|0；当 x0 时，f(x)为开口向上的二次函数图象的一部分，故t0 时不合题意；当 t0 时，如图，令|lnx|t 得tlnxt，etxet.cet，det，cdetet1，令 x2(t1)x2t2t.得 x2(t1)x2t2t0，当 2t2t 时，有（t1）24（2t2t）0，abt12 0，ab2t2t0，解得12t1.又abcdt2273
10、2，2t2t1t22732，64t248t50，解得18t58，12t58.当 2t2t 时，b0，ab0，01t22732，516t12.综上 516t0，y0，x2y3，x2yxy xy1xxy1xx2y3xy132y3x2xy2y3x132 613.当且仅当x2y3，xy2y3x时等号成立，x2yxy 的最小值为2 613.15.3 377 命题立意本题考查向量的线性运算、向量的数量积解析BD BA AD AB 5AC，CECA AE 2AB AC，BD CE(AB 5AC)(2AB AC)2AB 211AB AC 5AC 2822cosA52，cosA12，A0，A3，即BAC3.设E
11、PED(01)，则BP BE EPAB ED AB(AD AE)(12)AB 5AC，CPCEEP2AB AC ED 2AB AC(AD AE)(22)AB(51)AC，BPCP(12)AB 5AC(22)AB(51)AC(12)(22)AB 25(51)AC2(12)(51)5(22)AB AC 21212721(27)27127，当 27时，BPCP取得最小值377.16命题立意本题考查正、余弦定理、二倍角公式、两角差的正弦公式解题思路(1)利用正弦定理将已知角化为边的关系、利用余弦定理求得 cosB，再根据同角三角函数关系式求得 sinB；(2)利用二倍角公式求出 sin2B、cos2B
12、，代入两角差的正弦公式即可解(1)在ABC 中，bc，2sinB 3sinA，所以 2b 3a.由余弦定理可得 cosBa2c2b22ac43b2b2b22 23b2 33.又因为 B(0，)，所以 sinB 1cos2B 63.(2)sin2B2sinBcosB2 23，cos2B2cos2B113.所以 sin2B6 sin2Bcos6cos2Bsin62 23 32 13122 616.17命题立意本题考查线面平行的证明、二面角、线面角解题思路(1)建立空间直角坐标系，求出平面 PBC 的一个法向量 n1，利用AN n10，证得 AN平面 PBC；(2)求出平面 PAD 的一个法向量 n
13、2，利用向量法求得二面角的余弦值；(3)假设存在点 M 满足题意，设DM DP.求出CM，利用线面角的正弦值解得 值，从而得DMDP 的值解过 A 作 AECD，垂足为 E，则 DE1，以 A 为坐标原点，分别以 AE，AB，AP 所在直线为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(0，1，0)，E(2 2，0，0)，D(2 2，1，0)，C(2 2，1，0)，P(0，0，1)N2，12，12.(1)AN 2，12，12.设平面 PBC 的一个法向量为 n1(x，y，z)BP(0，1，1)，BC(2 2，0，0)，yz0，2 2x0，令 y1，则 n1(0，1，1)，AN n
14、112120，AN n1又平面 PBC，AN平面 PBC.(2)设平面 PAD 的一个法向量为 n2(x，y，z)，AP(0，0，1)，AD(2 2，1，0)z0，2 2xy0，令 x1，则 n2(1，2 2，0)cosn1，n2 n1n2|n1|n2|2 23 223.平面 PAD 与平面 PBC 所成锐二面角的余弦值为23.(3)令DM DP，0，1，设 M(x，y，z)(x2 2，y1，z)(2 2，1，1)，M(2 22 2，1，)，CM(2 2，2，)平面 PBC 的一个法向量 n1(0，1，1)2626|22|2 82（2）22，21250240，(32)(712)0，0，1，23
15、，DMDP 23.18命题立意本题考查椭圆的方程、直线与椭圆的位置关系、三角形面积解题思路(1)由已知列方程组求出 a，b 得椭圆方程；(2)写出直线 AM 的方程与椭圆方程联立，利用韦达定理求出 P 点坐标表达式，得OM BP0；结合图形分别求出 S1、S2 的表达式，得S1S2的表达式，由 t 2得S1S2的最大值解(1)短轴长为 2，b1.e 22，a2b2c2，a 2.椭圆的方程为x22 y21.(2)法一：kAM t2 2，设 lAM：y t2 2(x 2)y t2 2（x 2），x22 y21，(t24)x22 2t2x2t280.(2)xP2t28t24，xP4 2 2t2t24
16、，yP t2 2(xP 2)4tt24，P4 2 2t2t24，4tt24.OM BP(2，t)2 2t2t24，4tt24 0.S1122ayP122 24tt244 2tt24，S2SABMSAOP122 2t12 24tt24 2t2 2tt24，S1S24 2tt242t2 2tt241t244121t24121，当 t 2时取等，S1S2的最大值为 1.法二：设 AM：yk(x 2)，x22 y21，yk（x 2）2k2)x24 2k2x4k220.xAxP4k2212k2 2（12k2）12k2，yPk(xP 2)2 2k12k2.P2（12k2）12k2，2 2k12k2.其中
17、M(2，2 2k)，B(2，0)BP4 2k212k2，2 2k12k2，OM(2，2 2k)，BPOM 0.S112|AB|yP|122 2|2 2k|12k2|4k|12k2，S2SABMSAOP122 2|2 2k|122|2 2k|12k2|2k|（14k2）12k2，S1S2|4k|12k212k2|2k|（14k2）214k2.由于 t 2，所以直线 AM 的斜率 k12.S1S2的最大值为 1，当且仅当 k12取等19命题立意本题考查等差数列的通项公式、前 n 项和公式、Tn 与 bn 的关系、裂项相消法求和、错位相减法求和、分组求和等知识解题思路(1)解方程求得 d，写出an的
18、通项公式；利用 bnT1，n1，TnTn1，n2求得 bn；(2)由(1)得cn的通项公式，裂项相消求和得 Mn；(3)对(1)nanbn 利用错位相减法求和，求得An，利用等差数列的前 n 项和公式求出 Sn，对(1)nlnSn 分 n 为奇数、n 为偶数两种情况，利用分组求和求得 Bn，再将 An 与 Bn 相加即可解(1)S55a1542 d1010d30，d2，an2n.对数列bn：当 n1 时，b1T12111，当 n2 时，bnTnTn12n2n12n1，当 n1 时也满足上式，bn2n1.(2)cnbn（bn1）（bn11）2n1（2n11）（2n1）（2n1）（2n11）（2n
19、11）（2n1）12n1112n1Mn12011211 12111221 12n1112n1 1212n1.(3)dn(1)n(anbnlnSn)(1)nanbn(1)nlnSn.Sn（22n）n2n(n1)，lnSnlnn(n1)lnnln(n1)而(1)nanbn(1)n2n2n1n(2)n，设数列(1)nanbn的前 n 项和为 An，数列(1)nlnSn的前 n 项和为 Bn.An1(2)12(2)23(2)3n(2)n(1)2An1(2)22(2)33(2)4n(2)n1(2)(1)(2)得 3An 1(2)1 (2)2 (2)3 (2)n n(2)n 1（2）1（2）n1（2）n(
20、2)n1233n13(2)n1，An293n19(2)n1.当 n 为偶数时，Bn(ln1ln2)(ln2ln3)(ln3ln4)lnnln(n1)ln(n1)当 n 为奇数时，Bn(ln1ln2)(ln2ln3)(ln3ln4)lnnln(n1)ln(n1)，由以上可知 Bn(1)nln(n1)所以，数列dn的前 n 项和为 AnBn(1)nln(n1)293n19(2)n1.20命题立意本题考查利用导数研究函数的单调性、零点、证明不等式解题思路(1)对 f(x)求导，分 a0，a0 两种情况讨论 f(x)的单调性；(2)对 g(x)求导，分a1e和 0a1e两种情况讨论 g(x)的单调性，
21、结合 g(1)0 和零点存在性定理判断零点个数从而得 a 范围；(3)构造函数(x)f(x)mx.对(x)求导，判单调，结合(0)1，(1)m 证得 1(1x)mmx0 时，令 f(x)0，x11a3，x21a3(舍)令 f(x)0，x1a3，单增区间为1a3，.f(x)0，x1，1a3，单减区间为1，1a3.(2)g(x)lnxa(x1)ex，g(x)1xaxex1ax2exx.令 h(x)1ax2ex，h(x)2axexax2ex0，h(x)在(1，)上单调递减，h(x)h(1)1ae.若 a1e，h(x)0 对(1，)恒成立，即 g(x)0 对(1，)恒成立，即 g(x)在(1，)上单调递减g(x)g(1)0.g(x)0 在(1，)上无零点，不满足题意若 0a0，hln1a 1aln1a2eln1a1(lna)20，g(x)在(1，x0)上单调递增，且 g(1)0，g(x)0，无零点当 x(x0，)时，g(x)0，gln1a lnln1a aln1a1 eln1aln1a1ln1a1 0.根据零点存在性定理 x(x0，)上有且仅有一个零点，综上：0a1 时，令(x)f(x)mx，则(x)m(1x)m11x(1，0)时，恒有(x)0，即(x)f(x)mx 在(1，0)上单调递减，(0)(x)(1)，对(1，0)恒成立又(0)1，(1)m,故 1(x)m，
