1、第 2 讲 动能定理及其应用 知识点1 动能 【思维激活1】(多选)如图,一质量为m的小球被 一条细绳拴住,在竖直平面内做圆周运动,关于 小球的动能,下列说法中正确的是()A.动能是普遍存在的机械能中的一种基本形式,凡是运动的物体都有动能 B.公式Ek=mv2中,速度v是小球相对于地面的速度,且动能总 是正值 C.小球的动能变化时,速度一定变化,但速度变化时,动能不一 定变化 D.小球的动能不变时,一定处于平衡状态 12【解析】选A、C。动能是物体由于运动而具有的能量,故凡是 运动的物体都有动能,A正确;公式Ek=mv2中的速度v与参考系 的选取有关,参考系不一定是地面,B错误;速度是矢量,当
2、只有 方向发生变化时,物体的动能不变,当小球做匀速圆周运动时,虽然动能不变,但小球处于非平衡状态,C正确、D错误。12【知识梳理】1.定义：物体由于_而具有的能。2.公式：Ek=_。3.物理意义：动能是状态量,是_(选填“矢量”或“标 量”),只有正值,动能与速度方向_。4.单位：_,1J=1Nm=1kgm2/s2。5.动能的相对性：由于速度具有_,所以动能也具有 相对性。6.动能的变化：物体_与_之差,即 Ek=21 mv2运动 标量 无关 焦耳 相对性 末动能 初动能 222111mvmv22。知识点2 动能定理 【思维激活2】如图所示,质量为m的物块,在恒力F的作用下,沿光滑水平面运动,
3、物块通过A点和B点的速度分别是vA和vB,物块由A点运动到B点的过程中,力F对物块做的功W为()A.W mvB2-mvA2 B.W=mvB2-mvA2 C.W=mvA2-mvB2 D.由于F的方向未知，W无法求出 121212121212【解析】选B。物块由A点到B点的过程中,只有力F做功,由动能 定理可得,W=mvB2-mvA2故B选项正确。1212【知识梳理】1.内容：在一个过程中合外力对物体所做的功,等于物体在 这个过程中_。2.表达式：(1)W=_。(2)W=_。(3)W=_。动能的变化 Ek Ek2-Ek1 222111mvmv223.物理意义：_的功是物体动能变化的量度。4.适用条
4、件：(1)动能定理既适用于直线运动,也适用于_。(2)既适用于恒力做功,也适用于_。(3)力可以是各种性质的力,既可以同时作用,也可以 _。合外力 曲线运动 变力做功 不同时作用【微点拨】1.对动能的三点理解：(1)动能及动能的变化Ek均是标量,只有大小,没有方向。(2)动能Ek=mv2对应物体的瞬时速度。(3)动能是状态量,只与运动物体的质量及速率有关,而与其 运动方向无关,物体运动速度的方向发生变化时,动能不变。122.对动能定理的五点提醒：(1)应用动能定理时,一定要指明研究对象和研究过程。(2)动能定理中的功是合外力的总功,不是某一个力或某几个力的功。(3)合外力对物体所做的功对应物体
5、动能的变化,而不是对应物体的动能。(4)动能定理的表达式为标量式,不能在某一方向上列动能定理方程。(5)应用动能定理时,注意重力的功取决于物体的初、末位置,与路径无关;大小恒定的阻力和摩擦力做的功等于力与路程的乘积。考点1 对动能定理的理解 对动能定理的三点理解：(1)做功的过程就是能量转化的过程,动能定理表达式中的“=”的意义是一种因果关系在数值上相等的符号,它并不意味着“功就是动能增量”,也不意味着“功转变成了动能”,而是意味着“功引起物体动能的变化”。(2)动能定理叙述中所说的“外力”,既可以是重力、弹力、摩擦力,也可以是电场力、磁场力或其他力。(3)合外力对物体做正功,物体的动能增加;
6、合外力对物体做负功,物体的动能减少;合外力对物体不做功,物体的动能不变。深化理解【题组通关方案】【典题1】(16分)(2013浙江高考)山谷中有三块石头和一根不可伸长的轻质青藤,其示意图如下。图中A、B、C、D均为石头的边缘点,O为青藤的固定点,h1=1.8m,h2=4.0m,x1=4.8m,x2=8.0m。开始时,质量分别为M=10kg和m=2kg的大、小两只滇金丝猴分别位于左边和中间的石头上,当大猴发现小猴将受到伤害时,迅速从左边石头的A点水平跳至中间石头。大猴抱起小猴跑到C点,抓住青藤下端,荡到右 边石头上的D点,此时速度恰好为零。运动过程中猴子均可看成质点,空气 阻力不计,重力加速度g
7、=10m/s2。求：(1)大猴从A点水平跳离时速度的最小值;(2)猴子抓住青藤荡起时的速度大小;(3)猴子荡起时,青藤对猴子的拉力大小。【解题探究】(1)分析猴子从A到中间石头的运动过程：猴子做什么运动?提示：平抛运动。处理该运动的思路是什么?提示：处理思路：分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动。(2)猴子抓住青藤从C到D的过程：选择规律：_;方程式：_。(3)猴子抓住青藤荡起时,_提供向心力。动能定理-(M+m)gh2=0-(M+m)vC2 12拉力和重力的合力【典题解析】(1)设猴子从A点水平跳离时速度的最小值为vmin,根据平抛运动规律,有 h1=gt2 (1分)x1=v
8、mint (1分)联立、式得vmin=8m/s (1分)(2)猴子抓住青藤后从C到D的过程,由动能定理,得：-(M+m)gh2=0-(M+m)vC2 (2分)vC=m/s9m/s (2分)121222gh80(3)设拉力为FT,青藤的长度为L,在最低点,由牛顿第二定律得 FT-(M+m)g=(M+m)(2分)由几何关系(L-h2)2+x22=L2 (2分)得：L=10m (2分)综合、式并代入数据解得：FT=(M+m)g+(M+m)=216N。(3分)答案：(1)8m/s(2)9m/s(3)216N 2CvL2CvL【通关1+1】1.(2014杭州模拟)用竖直向上大小为30N的力F,将质量为2
9、kg 的物体由沙坑表面静止抬升1m时撤去力F,经一段时间后,物体 落入沙坑,测得落入沙坑的深度为20cm。若忽略空气阻力,g取 10m/s2。则物体克服沙坑的阻力所做的功为()A.20J B.24J C.34J D.54J【解析】选C。将物体由沙坑表面静止抬升1m的过程,由动能定 理得Fh-mgh=mv2,撤去力F后由动能定理得mg(d+h)-W=0-mv2,解得W=Fh+mgd=301J+2100.2J=34J,选项C正确。12122.(2014泰安模拟)如图所示,斜面高h,质量为m的物块,在沿斜面向上的恒力F作用下,能匀速沿斜面向上运动,若把此物块放在斜面顶端,在沿斜面向下同样大小的恒力F
10、作用下,物块由静止向下滑动,滑至底端时其动能的大小为()A.mgh B.2mgh C.2Fh D.Fh【解析】选B。物块匀速向上运动,即向上运动过程中物块的动能不变,由动能定理知物块向上运动过程中外力对物块做的总功为0,即WF-mgh-Wf=0 物块向下运动过程中,恒力F与摩擦力对物块做功与向上运动相同,设滑至底端时的动能为Ek,由动能定理知WF+mgh-Wf=Ek-0 将式变形有WF-Wf=mgh,代入有Ek=2mgh,则B选项正确。【加固训练】1.(多选)(2014合肥模拟)如图是利用太阳 能驱动小车的装置,若质量为m的小车在平直 的水泥路上从静止开始加速行驶,经过时间t 前进距离s,速度
11、达到最大值vm,在这一过程中 电动机的功率恒为P,小车所受阻力恒为F,那么这段时间内()A.小车做匀加速运动 B.电动机所做的功为Pt C.电动机所做的功为 D.电动机所做的功为 2m1 mv22m1Fsmv2【解析】选B、D。对小车由牛顿第二定律得 -F=ma，由于小 车的速度逐渐增大，故加速度逐渐减小，小车做加速度逐渐 减小的加速运动，选项A错误；电动机对小车所做的功W=Pt，选项B正确；对小车由动能定理得W-Fs=mvm2，解得W=Fs+mvm2，选项C错误，D正确。Pv12122.如图所示,劲度系数为k的弹簧下端悬挂一个 质量为m的重物,处于静止状态。手托重物使之 缓慢上移,直到弹簧恢
12、复原长,手对重物做的功 为W1。然后放手使重物从静止开始下落,重物下 落过程中的最大速度为v,不计空气阻力。重物 从静止开始下落到速度最大的过程中,弹簧对重物做的功为W2,则()222211222222m gm gA.W B.Wkk1m g1C.Wmv D.Wmv2k2【解析】选B。设x为弹簧伸长的长度,由胡克定律得：mg=kx。手托重物使之缓慢上移,直到弹簧恢复原长的过程,由动能定理 得：W1+W弹-WG=0,又WG=mgx=W弹0,故手对重物做的功 W1Ek2 W1Ek2 W1=W2 C.Ek1=Ek2 W1W2 D.Ek1W2【解析】选B。设斜面的倾角为,斜面的底边长为x,则下滑过 程中
13、克服摩擦力做的功为W=mgcos =mgx,所以两种 情况下克服摩擦力做的功相等。又由于B的高度比A低,所以由 动能定理可知Ek1Ek2。故选B。xcos2.(2014唐山模拟)光滑斜面上有一个 小球自高为h的A处由静止开始滚下,抵达 光滑的水平面上的B点时的速度大小为v0。光滑水平面上每隔相等的距离设置了一个 与小球运动方向垂直的活动阻挡条,如图所示,小球越过n条活动阻挡条后停下来。若让小球从h高处以初速度v0滚下,则小球能越过的活动阻挡条的条数是(设小球每次越过活动阻挡条时损失的动能相等)()A.n B.2n C.3n D.4n【解析】选B。设每条阻挡条对小球做的功为W，当小球在水平 面上
14、滚动时，由动能定理得nW0 mv02，对第二次有NW=0 mv220(mv02mgh)，又因为 mv02mgh，联立以上 三式解得N2n，选项B正确。12 1212123.(2014德州模拟)水上滑梯可简化成如图所示的模型：倾角为=37的倾斜滑道AB和水平滑道BC平滑连接,起点A距水面的高度H=7.0m,BC的长度d=2.0m,端点C距水面的高度h=1.0m。一质量m=50kg的运动员从滑道起点A无初速度地自由滑下,运动员与AB、BC间的动摩擦因数均为=0.1。(重力加速度g取10m/s2,cos37=0.8,sin37=0.6,运动员在运动过程中可视为质点)(1)求运动员沿AB下滑时加速度的
15、大小a;(2)求运动员从A滑到C的过程中克服摩擦力所做的功W和到达C点时速度的大小vC;(3)保持水平滑道端点在同一竖直线上,调节水平滑道高度h和长度d到图中BC位置时,使运动员从滑梯平抛到水面的水平位移最大,求此时滑道BC距水面的高度h。【解析】(1)运动员沿AB下滑时,受力情况如图所示 Ff=FN=mgcos 根据牛顿第二定律：mgsin-mgcos=ma 得运动员沿AB下滑时加速度的大小为 a=gsin-gcos=5.2m/s2(2)运动员从A滑到C的过程中,克服摩擦力做的功为 W=mgcos +mgd=mgd+(H-h)cot=500J mg(H-h)-W=mvC2-0 解得运动员滑到
16、C点时速度的大小vC=10m/s(3)在从C点滑出至落到水面的过程中,运动员做平抛运动 的时间为t,从A到C过程中运动员克服摩擦力做功保持不变,W=500J Hhsin12212hhgtt2g，根据动能定理得：mg(H-h)-W=mv2-0，运动员在水平方向的位移：x=vt=当h=3 m时，水平位移最大 答案：(1)5.2 m/s2 (2)500 J 10 m/s (3)3 m 12v2g(H 1h)2h2g H 1h4 H 1h hg H12【学科素养升华】应用动能定理的五点注意(1)动能定理既适用于恒力作用过程,也适用于变力作用过程。(2)动能定理既适用于物体做直线运动的情况,也适用于物体
17、 做曲线运动的情况。(3)动能定理的研究对象既可以是单个物体,也可以是几个物 体所组成的系统。(4)动能定理的研究过程既可以是针对运动过程中的某个具体 过程,也可以是针对运动的全过程。(5)动能定理的计算式为标量式,动能Ek=mv2中的v为相对同 一参考系的速度。12考点3 动能定理与图像结合问题 解决物理图像问题的基本步骤：(1)观察题目给出的图像,弄清纵坐标、横坐标所对应的物理量及图线所表示的物理意义。(2)根据物理规律推导出纵坐标与横坐标所对应的物理量间的函数关系式。(3)将推导出的物理规律与数学上与之相对应的标准函数关系式相对比,找出图线的斜率、截距、图线的交点、图线下的面积所对应的物
18、理意义,分析解答问题,或者利用函数图线上的特定值代入函数关系式求物理量。拓展延伸【题组通关方案】【典题3】(16分)(2014宿州模拟)如图甲所示,长为4m的水平轨道AB与半径为R=0.6m的竖直半圆弧轨道BC在B处相连接,有一质量为1kg的滑块(大小不计),从A处由静止开始受水平向右的力F作用,F的大小随位移变化的关系如图乙所示,滑块与AB间的动摩擦因数为=0.25,与BC间的动摩擦因数未知,g取10m/s2,求：(1)滑块到达B处时的速度大小;(2)滑块在水平轨道AB上运动前2m过程所用的时间;(3)若到达B点时撤去力F,滑块沿半圆弧轨道内侧上滑,并恰好能到达最高点C,则滑块在半圆弧轨道上
19、克服摩擦力所做的功是多少?【解题探究】(1)请分析滑块在AB段受到的力以及哪些力是变力。受到的力：_;变力：_。各力做功的情况如何?提示：拉力在02m内做正功,23m内不做功,34m内做负功;摩擦力做负功;重力、支持力不做功。重力、拉力、支持力、摩擦力 拉力(2)滑块“恰好能到达最高点C”的含义是什么?提示：滑块在C点,重力提供向心力。(3)如何求解滑块在半圆弧轨道上克服摩擦力所做的功?提示：分析滑块由B到C过程中的受力及做功情况,确定初、末状态的动能,根据动能定理列方程求解。【典题解析】(1)对滑块从A到B的过程,由动能定理得 F1s1-F3s3-mgs=mvB2 (2分)得vB=m/s。(
20、2分)(2)在前2m内,有F1-mg=ma,(2分)且s1=at12,(2分)解得t1=s。(1分)122 1012835(3)当滑块恰好能到达最高点C时，有mg=(2分)对滑块从B到C的过程，由动能定理得：W-mg2R=mvC2-mvB2 (2分)代入数值得W=-5 J，(2分)即克服摩擦力做的功为5 J。(1分)答案：(1)m/s (2)s (3)5 J 2Cvm R12128352 10【通关1+1】1.(2014宁波模拟)质量为10kg的物体,在变力F作用下沿x轴 做直线运动,力随坐标x的变化情况如图所示。物体在x=0处,速度为1m/s,一切摩擦不计,则物体运动到x=16m处时,速度大
21、 小为()A.m/s B.3m/s C.4m/s D.m/s 2 217【解析】选B。根据力F随x的变化关系图像与横轴所夹面积 表示功可知,力F做功W=40J+20J-20J=40J。由动能定理W=解得v=3m/s,选项B正确。222111mvmv22，2.(2014长沙模拟)物体在合外力作用下做直线运动的v-t图像如图所示。下列表述正确的是()A.在01s内,合外力做正功 B.在02s内,合外力总是做正功 C.在12s内合外力不做功 D.在03s内,合外力总是做正功【解析】选A。根据动能定理,合外力做的功等于物体动能的变化,01s内动能增加,所以合外力做正功,选项A正确;02s内动能先增加后
22、减少,合外力先做正功后做负功,选项B错误;12s内动能减少,合外力做负功,选项C错误;03s内动能变化量为零,合外力做功为零,选项D错误。【加固训练】1.(多选)质量为2kg的物体,放在动摩擦因 数=0.1的水平面上,在水平拉力的作用下 由静止开始运动,水平拉力做的功W和物体 随位置x变化的关系如图。重力加速度g取 10m/s2,则()A.x=0至x=3m的过程中,物体的加速度是2.5m/s2 B.x=6m时,拉力的功率是6W C.x=9m时,物体的速度是3m/s D.x=3m至x=9m的过程中,合外力做的功是12J【解析】选B、C。图像的斜率k=F,可知在03 m内拉力 F1=N=5 N,3
23、9 m内的拉力F2=N=2 N。F1-mg=ma1,可得a1=1.5 m/s2,故A错误。x=6 m时物体速度为v1,由动 能定理W-mgx=mv12,可得15+23-0.12106=2 v12,解得v1=3 m/s,拉力功率P=F2v1=6 W,故B正确。x=9 m时速 度为v2,再由动能定理得15+26-0.12109=2v22,解得v2=3 m/s,故C正确。物体在39 m过程中速度为3 m/s,做匀速运动，所以合力做功为零，故D错误。Wx15327 1561212122.(多选)(2014鞍山模拟)某位溜冰爱 好者在岸上从O点由静止开始匀加速助跑,2s后到达岸边A点,接着进入冰面(冰面
24、与岸边基本相平)开始滑行,又经3s停在了冰上的B点,如图所示。若该过程中,他的位移是l,速度是v,受的合力是F,动能是Ek,则对以上各量随时间变化规律的描述正确的是()【解析】选B、C。02s内,溜冰爱好者做匀加速直线运动,加 速度设为a1,位移l1=a1t12,一直在增加,2s末到达A点,速度达 到最大值vmax=a1t1,合力F1=ma1,恒定不变,动能Ek1=mv12,一直 增大,2s末达到最大值;25s内,溜冰爱好者做匀减速直线运 动,初速度为vmax,加速度设为a2,位移仍然在增加,5s末到达B 点,A错误;速度v2=vmax-a2t2,t2=3s时,速度减为0,B正确;合力 F2=
25、ma2,恒定不变,由a1t1=a2t2,知F1F2=t2t1=32,C正确;动能Ek=mv22,一直减小,5s末减为0,D错误。121212【学科素养升华】图像所围“面积”的意义(1)v-t图：由公式s=vt可知,v-t图线与坐标轴围成的面积表示物体的位移。(2)a-t图：由公式v=at可知,a-t图线与坐标轴围成的面积表示物体速度的变化量。(3)F-s图：由公式W=Fs可知,F-s图线与坐标轴围成的面积表示力所做的功。(4)P-t图：由公式W=Pt可知,P-t图线与坐标轴围成的面积表示力所做的功。【资源平台】动能定理在分析功能关系中的应用(多选)如图所示,卷扬机的绳索通过定滑轮用力F拉位于粗
26、糙斜面上的木箱,使之沿斜面加速向上移动。在移动过程中,下列说法正确的是()A.F对木箱做的功等于木箱增加的动能与木箱克服摩擦力所做的功之和 B.F对木箱做的功等于木箱克服摩擦力和克服重力所做的功之和 C.木箱克服重力做的功等于木箱增加的重力势能 D.F对木箱做的功等于木箱增加的机械能与木箱克服摩擦力做的功之和【解析】选C、D。木箱加速上滑的过程中,拉力F做正功,重力 和摩擦力做负功,支持力不做功。由动能定理得：WF-WG-WFf=mv2-0。即WF=WG+WFf+mv2,A、B错误;又因克服重力做功WG等 于物体增加的重力势能,所以WF=Ep+Ek+WFf,故D正确;又由 重力做功与重力势能变
27、化的关系知C也正确。1212满分指导之5 利用动能定理解决多过程问题【案例剖析】(18分)如图所示,质量为m=1kg的可 视为质点的小物体轻轻放在匀速运 动的传送带上的P点,随传送带运动 到A点后水平抛出,小物体恰好无碰撞地沿圆弧切线从B点进 入竖直光滑圆弧轨道下滑,圆弧轨道与质量为M=2kg的足够长 的小车左端在最低点O点相切,小物体在O点滑上小车,水平地 面光滑,当小物体运动到障碍物Q处时与Q发生无机械能损失的碰撞。碰撞前小物体和小车已经相对静止,而小车可继续向右运动(小物体始终在小车上),小车运动过程中和圆弧无相互作用。已知圆弧半径R=1.0m,圆弧对应的圆心角 为53,A点距水平地面的
28、高度h=0.8m,小物体与小车间的动摩擦因数为=0.1,重力加速度g=10m/s2,sin53=0.8,cos53=0.6。试求：(1)小物体离开A点的水平速度v1;(2)小物体经过O点时对轨道的压力大小;(3)第一次碰撞后直至静止,小物体相对小车的位移和小车做匀减速运动的总时间。【审题】抓住信息,准确推断 关键信息 信息挖掘 题 干 沿圆弧切线从B点进入 说明平抛运动到B点的速度方向恰好与轨道切线平行 无机械能损失的碰撞 说明碰撞后小物体的速率不变 问 题 水平速度v1 可通过分解B点的速度,其水平分速度即为v1 对轨道的压力大小 小物体在O点所受合力提供向心力 相对小车的位移 相对位移对应
29、着滑动摩擦力做功转化成的内能,应根据功能关系求解 小车做匀减速运动的总时间 小物体碰撞后到静止时应与小车同时静止,由小车向右匀减速运动求出第一次碰撞后小车的速度,即可求时间【破题】形成思路,快速突破(1)小物体离开A点的水平速度的求解：选研究过程：小物体_;列运动学方程：a.竖直方向：_;b.B点：tan=_。(2)小物体经过O点时对轨道的压力的求解：选研究过程：_;列运动学方程：_;小物体在O点。a.选择规律：_;b.方程式：_。从A到B y1vvvy2=2gh 小物体从A到O点 220111mg(hRRcos)mvmv22 牛顿第二定律 20vNmgm R(3)小物体相对小车的位移和小车做
30、匀减速运动的总时间的求解思路。请写出求小物体相对小车的位移的思路。提示：先利用牛顿第二定律求出m和M的加速度,再利用运动学公式求出小物体和小车的共同速度vt,最后利用功能关系求出 s相。请写出求小车做匀减速运动的总时间的思路。提示：小车从小物体碰撞后开始做匀减速运动,利用牛顿第二定律和运动学公式求时间。【解题】规范步骤,水到渠成(1)对小物体由A到B有：vy2=2gh (2分)在B点：tan=解得v1=3m/s (3分)(2)由A到O,根据动能定理有：mg(h+R-Rcos)=mv02-mv12 (2分)在O点：N-mg=(1分)解得：v0=m/s,N=43N (1分)由牛顿第三定律得N=N=
31、43N,方向竖直向下 (1分)y1vv，121220mvR33(3)摩擦力f=mg=1N,加速度am=g=1m/s2,aM=0.5m/s2,(2分)小物体滑上小车后经过时间t达到的共同速度为vt,则 t=得vt=m/s (2分)由于碰撞不损失能量,小物体在小车上重复做匀减速和匀加速 运动,相对小车始终向左运动,小物体与小车最终静止,摩擦力 做功使动能全部转化为内能,故有：fs相=(M+m)vt2,得s相=5.5m (2分)小车从小物体碰撞后开始匀减速运动,(每个减速阶段)加速度 不变,aM=0.5m/s2,vt=aMt,得t=(2分)答案：(1)3m/s(2)43N(3)5.5m mgMt0tMmvvvaa，33312fM233 s3233 s3【点题】突破瓶颈,稳拿满分(1)常见的思维障碍。无法理解“沿圆弧切线从B点进入竖直光滑圆弧轨道下滑”的含义,导致无法求解A点的水平速度;小物体滑上小车后没有判断达到共同速度这一重要环节,导 致把s绝对当成s相而出错。(2)因解答不规范导致的失分：小物体在O点的牛顿第二定律 方程式漏掉重力而写成N=导致出错。20vm R
