1、第二章函数、导数及其应用第五节 指数与指数函数最新考纲考情分析1.了解指数函数模型的实际背景2理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算3理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点4知道指数函数是一类重要的函数模型.1.直接考查指数函数的图象及其性质或以指数与指数函数为知识载体，考查指数幂的运算和函数图象的应用或以指数函数为载体与函数方程、不等式等内容交汇命题2题型主要是选择题、填空题，难度中等.课时作业01知识梳理 诊断自测02考点探究 明晰规律01 知识梳理 诊断自测 课前热身 稳固根基 知识点一 有理数指数幂1幂的有关概念(3)0 的正分数指数
2、幂等于 0,0 的负分数指数幂_没有意义2有理数指数幂的性质(1)aras_(a0，r，sQ)；(2)(ar)s_(a0，r，sQ)；(3)(ab)r_(a0，b0，rQ)arsarsarbr知识点二 指数函数的图象与性质(1)指数函数的图象与底数大小的比较在第一象限内，指数函数 yax(a0，a1)的图象越高，底数越大(2)指数函数 yax(a0，a1)的图象和性质跟 a 的取值有关，要特别注意应分 a1 与 0a1 来研究1思考辨析判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)n an与(n a)n 都等于 a(nN*)()(2)2a2b2ab.()(3)函数 y32x与 y2x1 都不是
3、指数函数()(4)若 am0，且 a1)，则 m0 且 a1.(4)当 a1 时，由 aman，得 mn，当 0a1 时，由 amn.2小题热身(1)化简4 16x8y4(x0，y0)得()A2x2yB2xyC4x2yD2x2yD(2)已知，则a，b，c的大小关系是()AabcBacbCbacDcb0，且a1)的图象经过点A2，13，则f(1)_.3解析：依题意可知a213，解得a 33，所以f(x)33x，所以f(1)331 3.(5)函数的定义域是_(0，)解析：要使该函数有意义，解得x0，所以定义域为(0，).02 考点探究 明晰规律 课堂升华 强技提能 考点一 指数幂的运算 812 则
4、 x2x2(xx1)227，故原式763512.方法技巧指数幂运算的一般原则：1指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算.2先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数.3底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数.4运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.1计算：()A3B2C2xD12xD解析：原式12x.2已知a，b是方程x26x40的两根，且ab0，则 a ba b _.55解析：由已知得，ab6，ab4，所以a ba b2ab2 abab2 ab62 462 415.因为 ab0，所以 a b，所以 a
5、 ba b 55.考点二 指数函数的图象及应用命题方向 1 图象的识别【例 2】(2019浙江卷)在同一直角坐标系中，函数 y1ax，yloga(x12)(a0，且 a1)的图象可能是()D【解析】解法 1：若 0a1，则 y 1ax是减函数，而 yloga(x12)是增函数且其图象过点(12，0)，结合选项可知，没有符合的图象故选 D.解法 2：分别取 a12和 a2，在同一坐标系内画出相应函数的图象(图略)，通过对比可知选 D.命题方向 2 图象的应用【例 3】函数 f(x)|2x2|b 有两个零点，则实数 b 的取值范围是_(0,2)【解析】f(x)|2x2|b 有两个零点，等价于y|2
6、x2|，yb有两个交点(如图)，可知 0b0，a1)的图象可能是()D解析：当 a1 时函数单调递增，且函数图象过点0，11a，因为 011a1，故 A，B 均不正确；当 0a1 时，函数单调递减，且函数恒过点0，11a，因为 11a0，a1，bR)的图象如图所示，则 ab 的取值范围是_(0，)解析：根据图象得 a1，f12 0，b1 10.考点三 指数函数的性质及应用命题方向 1 比较大小与解不等式【例 4】(1)下列各式比较大小正确的是()A1.72.51.73B0.610.62C0.80.11.250.2 D1.70.30.93.1(2)设函数 f(x)12x7，x0，x，x0，若 f
7、(a)1，则实数 a 的取值范围是_B(3,1)【解析】(1)A 中，函数 y1.7x在 R 上是增函数，2.53，1.72.51.73，错误；B 中，y0.6x在 R 上是减函数，10.62，正确；C 中，(0.8)11.25，问题转化为比较 1.250.1 与 1.250.2 的大小y1.25x在 R 上是增函数，0.10.2，1.250.11.250.2，即 0.80.11,00.93.10.93.1，错误(2)当 a0 时，原不等式化为12a71，则 2a3，所以3a0.当 a0 时，则 a1,0a0，12a44a2，解得 a1，这时 g(x)x22x3，f(x).由于 g(x)的单调
8、递减区间是(，1，所以 f(x)的单调递增区间是(，1命题方向 3 最值问题【例 6】如果函数 ya2x2ax1(a0，且 a1)在区间1,1上的最大值是 14，则 a 的值为_3 或13【解析】令 axt，则 ya2x2ax1t22t1(t1)22.当 a1 时，因为 x1,1，所以 t1a，a，又函数 y(t1)22 在1a，a 上单调递增，所以 ymax(a1)2214，解得 a3(负值舍去)当 0a1 且 a2)在区间(0，)上具有不同的单调性，则 M(a1)0.2 与 N1a0.1 的大小关系是()AMNBMNCMND解析：因为 f(x)x2a 与 g(x)ax(a1，且 a2)在(
9、0，)上具有不同的单调性所以 a2.因此 M(a1)0.21，M1a0.1N.2(方向 2)函数 f(x)的单调递增区间为_，单调递减区间为_4，)解析：依题意知 x25x40，解得 x4 或 x1，令 ux25x4x52294，x(，14，)，所以当x(，1时，u 是减函数，当 x4，)时，u 是增函数而31，所以由复合函数的单调性可知，f(x)在区间(，1上是减函数，在区间4，)上是增函数(，13(方向 3)已知函数 f(x)bax(其中 a，b 为常量，且 a0，a1)的图象经过点 A(1,6)，B(3,24)若不等式1ax1bxm0 在 x(，1上恒成立，则实数 m 的最大值为_.56解析：把 A(1,6)，B(3,24)代入 f(x)bax，得6ab，24ba3，结合 a0，且 a1，解得a2，b3，所以 f(x)32x.要使12x13xm在区间(，1上恒成立，只需保证函数 y12x13x在区间(，1上的最小值不小于 m 即可因为函数 y12x13x在区间(，1上为减函数，所以当 x1 时，y12x13x有最小值56.所以只需 m56即可所以 m 的最大值为56.温示提馨请 做：课时作业 8PPT文稿（点击进入）
