1、单元综合测试三(第十一章)时间：120分钟分值：150分第卷(选择题，共60分)一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1垂直于同一条直线的两条直线一定(D)A平行 B相交C异面 D以上都有可能解析：两条直线同时垂直于同一条直线，这两条直线可能平行、相交、异面2如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D为A1B1的中点，ABBC2BB12，AC2，则异面直线BD与AC所成的角为(C)A30 B45C60 D90解析：如图，取B1C1的中点E，连接BE，DE，则ACA1C1DE，则BDE即为异面直线BD与AC所成的角由条件可知BDDE
2、EB，所以BDE60.3下列说法正确的是(D)过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面垂直；如果一条直线和两个垂直平面中的一个垂直，它必和另一个平面平行；过不在平面内的一条直线可作无数个平面与已知平面垂直；如果两个平面互相垂直，经过一个平面内一点与另一平面垂直的直线在第一个平面内A BC D解析：过平面外一点可作一条直线与平面垂直，过该直线的任何一个平面都与已知平面垂直，所以不对；若，a，则a或a，所以不对；当平面外的直线是平面的垂线时，能作无数个平面与已知平面垂直，否则只能作一个，所以也不对4如图，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90，BC1AC，则C1在底面ABC上的射影H必在(A)A
3、直线AB上B直线BC上C直线AC上DABC内部解析：BC1AC，BAAC，BABC1B，AC平面ABC1，因此平面ABC平面ABC1，因此C1在底面ABC上的射影H在直线AB上5已知PA矩形ABCD，则下列结论中不正确的是(C)APBBC BPDCDCPDBD DPABD解析：如图所示，由于PA平面ABCD，且底面ABCD为矩形，所以PABD(即D正确)，BCPA，BCBA，而PAABA，所以BC平面PAB，所以BCPB(即A正确)同理PDCD(即B正确)，PD与BD不垂直，所以C不正确6三个球的半径之比为123，那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的(C)A1倍 B2倍C.倍 D.倍解
4、析：设最小球的半径为r，则另两个球的半径分别为2r,3r，则各球的表面积分别为4r2,16r2,36r2，所以最大球的表面积与其余两个球的表面积之和的比值为.7如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，P为对角线BD1的三等分点，P到各顶点的距离的不同取值有(B)A3个 B4个C5个 D6个解析：本题考查正方体中长度的运算问题不妨设P是靠近B的一个三等分点，正方体棱长a，则P到B、D1距离分别为a，a，由对称性知，P到A，C，B1的距离都为a，而P到A1，D，C1的距离都是a，故选B.本题对学生的空间想象能力提出了较高要求8若一个n面体中有m个面是直角三角形，则称这个n面体的直度为.如图，在长
5、方体ABCDA1B1C1D1中，四面体A1ABC的直度为(D)A.B.C.D1解析：由已知n4，A1A平面ABC，A1AAC，A1AAB.又BC平面A1AB，BCAB，BCA1B，m4.故直度1.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9以下命题中假命题的序号是(BCD)A若棱柱被一平面所截，则分成的两部分不一定是棱柱B有两个面平行，其余各面都是梯形的几何体叫棱台C用一个平面去截圆锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫圆台D有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱解析：对于A，若
6、棱柱被与底面不平行的平面所截，则分成的两部分不一定是棱柱，所以A正确；对于B，有两个面平行，其余各面都是梯形，并且侧棱的延长线交于同一点的几何体叫棱台，所以B错误；对于C，当截面与底面不平行时，截得的底面和截面之间的几何体不是圆台，所以C错误；对于D，根据棱柱定义可知，有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱，所以D错误故选BCD.10已知m，n是两条不重合的直线，是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题，其中正确命题的是(BD)A若m，n，m，n，则B若，m，n，则mnC若m，n，那么mnD若m，m，n，那么mn解析：A选项中没有说明两条直线是否
7、相交，结论错误，B选项中能推出m，所以结论正确，C选项能推出mn，推不出mn，结论错误，D选项根据线面平行的性质可知正确11如图，在棱长均相等的四棱锥PABCD中，O为底面正方形的中心，M，N分别为侧棱PA，PB的中点，有下列结论正确的有(ABD)APD平面OMNB平面PCD平面OMNC直线PD与直线MN所成角的大小为90DONPB解析：选项A，连接BD，显然O为BD的中点，又N为PB的中点，所以PDON，由线面平行的判定定理可得，PD平面OMN；选项B，由M，N分别为侧棱PA，PB的中点，得MNAB，又底面为正方形，所以MNCD，由线面平行的判定定理可得，CD平面OMN，又选项A得PD平面O
8、MN，由面面平行的判定定理可得，平面PCD平面OMN；选项C，因为MNCD，所以PDC为直线PD与直线MN所成的角，又因为所有棱长都相等，所以PDC60，故直线PD与直线MN所成角的大小为60；选项D，因底面为正方形，所以AB2AD2BD2，又所有棱长都相等，所以PB2PD2BD2，故PBPD，又PDON，所以ONPB，故选ABD.12如图，矩形ABCD，M为BC的中点，将ABM沿直线AM翻折成AB1M，连接B1D，N为B1D的中点，则在翻折过程中，下列说法中所有正确的是(BD)A存在某个位置，使得CNAB1B翻折过程中，CN的长是定值C若ABBM，则AMB1DD若ABBM1，当三棱锥B1AM
9、D的体积最大时，三棱锥B1AMD的外接球的表面积是4解析：对于A，取AD的中点为E，连接CE交MD于点F，如图1.则NEAB1，NFMB1，如果CNAB1，则ENCN，由于AB1MB1，则ENNF，由于三线NE，NF，NC共面且共点，故这是不可能的，故不正确；对于B，如图1，由NECMAB1，且NEAB1，AMEC，在CEN中，由余弦定理得：NC2NE2EC22NEECcosNEC，也是定值，故NC是定值，故正确；对于C，如图2，ABBM，即AB1B1M，则AMB1O，若AMB1D，由于B1OB1DB1，且B1O，B1D平面ODB1，AM平面ODB1，OD平面ODB1，ODAM，则ADMD，由
10、于ADMD，故AMB1D不成立，故不正确；对于D，根据题意知，只有当平面B1AM平面AMD时，三棱锥B1AMD的体积最大，取AD的中点为E，连接OE，B1E，ME，如图2.ABBM1，则AB1B1M1.且AB1B1M，平面B1AM平面AMDAM.B1OAM，又B1O平面B1AM.B1O平面AMD，OE平面AMD，B1OOE，则AM，B1OAM.OEDMAM.从而EB11，易知EAEDEM1，AD的中点E就是三棱锥B1AMD的外接球的球心，球的半径为1，表面积是4，故D正确第卷(非选择题，共90分)13已知在ABC中，BAC90，P为平面ABC外一点，且PAPBPC，则平面PBC与平面ABC的位
11、置关系是垂直解析：PAPBPC，P在ABC所在平面上的射影必落在ABC的外心上，又外心在BC上，设为O，则PO平面ABC.又PO平面PBC，平面PBC平面ABC.14已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若球的体积为，则正方体的棱长为.解析：由题意知V球R3，R.设正方体的棱长为a，则2R，a，所以正方体的棱长为.15已知正方体ABCDA1B1C1D1的各棱长为1 m，圆锥SO的底面圆是正方形A1B1C1D1的内切圆，顶点S是正方形ABCD的中心，则圆锥SO的体积为m3，侧面积为m2.解析：圆锥的高为1，底面半径为，母线长为 ，所以体积为()21.侧面积为.16如图所示，已知在矩形ABCD中，
12、AB3，BCa，若PA平面AC，在BC边上取点E，使PEDE，则满足条件的E点有两个时，a的取值范围是(6，)解析：由题意知：PADE，又PEDE，PAPEP，DE平面PAE，又AE平面PAE，DEAE.易证ABEECD.设BEx，则，即.x2ax90，由0，a0.解得a6.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17(10分)如图，棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面垂直，AC9，BC12，AB15，AA112，点D是AB的中点(1)求证：ACB1C；(2)求证：AC1平面CDB1.证明：(1)C1C平面ABC，C1CAC.AC9，BC12，AB15，AC2
13、BC2AB2，ACBC.又BCC1CC，AC平面BCC1B1，而B1C平面BCC1B1，ACB1C.(2)连接BC1交B1C于O点，连接OD.如图，O，D分别为BC1，AB的中点，ODAC1.又OD平面CDB1，AC1平面CDB1.AC1平面CDB1.18(12分)(1)如图(1)，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，E，F分别是PB，PC的中点证明EF平面PAD；(2)如图(2)，已知四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，点M，N，Q分别是PA，BD，PD的中点，求证：平面MNQ平面PBC.证明：(1)E，F分别是PB，PC的中点，EFBC.底面ABCD是矩形，ADBC，EFA
14、D，又AD平面PAD，EF平面PAD，EF平面PAD.(2)点M，N，Q分别是PA，BD，PD的中点，MQAD，QNPB，底面ABCD是平行四边形，ADBC，MQBC，MQQNQ，PBBCB，MQ，QN平面MNQ，PB，BC平面PBC，平面MNQ平面PBC.19(12分)如图所示，在五面体ABCDEF中，四边形ADEF是正方形，FA平面ABCD，BCAD，CD1，AD2，BADCDA45.(1)求异面直线CE与AF所成角的余弦值；(2)证明：CD平面ABF.解：(1)因为四边形ADEF是正方形，所以FAED，故CED为异面直线CE与AF所成的角因为FA平面ABCD，所以FACD，故EDCD，在
15、RtCDE中，因为CD1，ED2，所以CE3，所以cosCED.故异面直线CE与AF所成角的余弦值为.(2)证明：如图，过点B作BGCD交AD于点G，则BGACDA45，由BAD45可得BGAB，从而CDAB.又因为CDFA，FAABA，FA，AB平面ABF，所以CD平面ABF.20(12分)如图，在三棱锥PABC中，PA底面ABC，BCA90，点D，E分别在棱PB，PC上，且DEBC.(1)求证：BC平面PAC；(2)是否存在点E使得二面角ADEP为直二面角？并说明理由解：(1)证明：PA底面ABC，BC底面ABC，PABC，又BCA90，ACBC，又ACPAA，AC，PA平面PAC，BC平
16、面PAC.(2)存在点E使得二面角ADEP为直二面角理由：DEBC，又由(1)知，BC平面PAC，DE平面PAC，又AE平面PAC，PE平面PAC，DEAE，DEPE，AEP为二面角ADEP的平面角，PA底面ABC，PAAC，PAC90，在棱PC上存在一点E，使得AEPC. 这时AEP90，故存在点E，使得二面角ADEP为直二面角21(12分)如图所示，在正三棱柱(底面是正三角形，侧棱和底面垂直的三棱柱)ABCA1B1C1中，ABAA1，D是BC上的一点，且ADC1D.(1)求证：A1B平面AC1D；(2)在棱CC1上是否存在一点P，使直线PB1平面AC1D？若存在，找出这个点，并加以证明；若
17、不存在，请说明理由解：(1)证明：ABCA1B1C1是正三棱柱，CC1平面ABC，又AD平面ABC，CC1AD.又ADC1D，CC1C1DC1，AD平面BCC1B1，ADBC，D是BC的中点如图，连接A1C，与AC1相交于点E，则点E为A1C的中点连接DE，则在A1BC中，D、E分别是BC、A1C的中点，A1BDE.又DE平面AC1D，A1B平面AC1D，A1B平面AC1D.(2)存在这样的点P，且点P为CC1的中点下面给出证明：由(1)知AD平面BCC1B1，故B1PAD.设PB1与C1D相交于点Q，如图，由于DC1CPB1C1，故QB1C1CC1D，因为QC1B1CDC1，从而QC1B1C
18、DC1，所以C1QB1DCC190，所以B1PC1D.因为ADC1DD，所以B1P平面AC1D.22(12分)如图所示，在多面体ABCDFE中，四边形ABCD是矩形，ABEF，AB2EF，EAB90，平面ABFE平面ABCD.(1)若G点是DC的中点，求证：FG平面AED；(2)求证：平面DAF平面BAF；(3)若AEAD1，AB2，求三棱锥DAFC的体积解：(1)证明：点G是DC的中点，ABCD2EF，ABEF，四边形ABCD是矩形，EFDG且EFDG，四边形DEFG是平行四边形FGDE，又FG平面AED，ED平面AED，FG平面AED.(2)证明：平面ABFE平面ABCD，平面ABFE平面ABCDAB，ADAB，AD平面ABCD，AD平面BAF.又AD平面DAF，平面DAF平面BAF.(3)平面ABFE平面ABCD，平面ABFE平面ABCDAB，EAB90，EA平面ABFE，EA平面ABCD.EFAB，EF平面ABCD，AB平面ABCD，EF平面ABCD，F到平面ABCD的距离为E到平面ABCD的距离EA，V三棱锥DAFCV三棱锥FADCSADCEA121.
