1、第2节 常用逻辑用语1命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题2四种命题及其关系(1)四种命题命题表述形式原命题若p，则q逆命题若q，则p否命题若綈p，则綈q逆否命题若綈q，则綈p(2)四种命题的相互关系(1)只有“若p，则q”形式的(或者可化为这种形式的)命题，我们才研究其命题的四种形式，其他命题一般不研究其四种命题；(2)原命题与逆否命题、逆命题与否命题是等价命题，因此当判断一个命题的真假时，可以转化为判断它的等价命题的真假，另外，在四个命题中，真命题的个数只能为0,2,4；(3)当一个命题有大前提，而要求写出其他三
2、个命题时，应保留大前提，大前提不能变动3充分条件与必要条件(1)“若p，则q”为真命题，记pq，则p是q的充分条件，q是p的必要条件(2)如果既有pq，又有qp，记作：pq，则p是q的充要条件，q也是p的充要条件4简单的逻辑联结词(1)命题中的“且”“或”“非”叫做逻辑联结词(2)命题pq、pq、綈p的真假判断pqpqpq綈p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真(1)逻辑联结词“且”“或”“非”可以分别从集合的角度来理解：对于逻辑联结词“且”，可以结合集合中的“交集”来理解，ABx|xA且xB中的“且”，它是指“xA”与“xB”都要满足的意思，即x既属于A，同时又属于B；对于逻辑联结词“或
3、”，可以结合集合中的“并集”来理解，ABx|xA或xB中的“或”，是指至少满足“xA”与“xB”中的一个因此逻辑联结词“或”的含义与并集中“或”的含义基本一致对于逻辑联结词“非”，可以结合集合中的“补集”来理解，“非”就是否定的意思(2)判断由逻辑联结词构成的“pq”、“pq”、“綈p”形式的命题的真假时，可以先确定命题的构成形式，再判断其中的命题p、q的真假，最后根据表中的规律确定复合命题的真假1(教材改编题)如果命题“pq”是真命题，命题“pq”是假命题，那么(C)(A)命题p和q都是假命题(B)命题p和q都是真命题(C)命题p和q真假不相同(D)以上答案都不对4下列命题：若ac2bc2，
4、则ab；若sin sin，则；“实数a0”是“直线x2ay1和直线2x2ay1平行”的充要条件；若f(x)log2x，则f(|x|)是偶函数其中正确命题的序号是_答案：四种命题的关系及真假判断【例1】(2010年广东汕头检测)以下关于命题的说法正确的有()“若log2a0，则函数f(x)logax(a0，a1)在其定义域内是减函数”是真命题；命题“若a0，则ab0”的否命题是“若a0，则ab0”；命题“若x，y都是偶数，则xy也是偶数”的逆命题为真命题；命题“若aM，则bM”与命题“若bM，则aM”等价(A)(B)(C)(D)思路点拨：根据四种命题的定义判断一个原命题的逆命题、否命题、逆否命题
5、的表达格式当命题较简单时，可直接判断其真假，若命题本身复杂或不易直接判断时，可利用其等价命题逆否命题进行真假判断解析：对于，若log2a0log21，则a1，所以函数f(x)logax在其定义域内是增函数，因此是假命题，故不正确；对于，依据一个命题的否命题的定义可知，该说法正确；对于，原命题的逆命题是“若xy是偶数，则x、y都是偶数”，是假命题，如134是偶数，但3和1均为奇数，故不正确；对于，不难看出，命题“若aM，则bM”与命题“若bM，则aM”是互为逆否命题，因此二者等价，所以正确综上可知正确的说法有，故选B.(1)熟悉四种命题的概念是正确书写或判断四种命题真假的关键；(2)根据“原命题
6、与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假；(3)认真仔细读题，必要时举特例变式探究11：(2010年高考天津卷)命题“若f(x)是奇函数，则f(x)是奇函数”的否命题是()(A)若f(x)是偶函数，则f(x)是偶函数(B)若f(x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数(C)若f(x)是奇函数，则f(x)是奇函数(D)若f(x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数解析：否命题是既否定条件，又否定结论，因此原命题的否命题应为“若f(x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数”，故B正确充分条件与必要条件的判断【例2】(2010年高考北京卷)
7、a，b为非零向量，“ab”是“函数f(x)(xab)(xba)为一次函数”的()(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件思路点拨：先分清命题中的条件和结论，然后分析由条件能否推出结论，由结论能否推出条件，最后根据充分必要条件的定义加以判断判断p是q的什么条件，基本方法是利用定义，即若pq，则p是q的充分条件；若qp，则p是q的必要条件；若pq，且qp，则p是q的充要条件；若pq，但q/p，则p是q的充分不必要条件；若p/q，但qp，则p是q的必要不充分条件；若p/q，且q/p，则p是q的既不充分也不必要条件从集合的角度理解，小范围可以推出大范围，
8、而大范围不能推出小范围变式探究21：(2010年宁波统考)给出下列命题：“数列an为等比数列”是“数列anan1为等比数列”的充分不必要条件；“a2”是“函数f(x)|xa|在区间2，)上为增函数”的充要条件；“m3”是“直线(m3)xmy20与直线mx6y50互相垂直”的充要条件；设a，b，c分别是ABC三个内角A，B，C所对的边，若a1，b，则A30是B60的必要不充分条件其中真命题的序号是_(写出所有真命题的序号)答案：充分条件、必要条件的应用【例3】(2010年嘉兴一中10月月考)已知命题p：x25x60，命题q：x22x14a20(a0)，若綈p是綈q的必要不充分条件，求实数a的取值
9、范围思路点拨：可以有两个思路：(1)先求出綈p和綈q，然后根据綈q綈p求得a的取值范围；(2)綈p是綈q的必要不充分条件，等价为：p是q的充分不必要条件，即pq.利用充分条件、必要条件可以求解参数的值或取值范围其依据是充分、必要条件的定义，其思维方式是：(1)若p是q的充分不必要条件，则pq但q/p；(2)若p是q的必要不充分条件，则p/q，但qp；(3)若p是q的充要条件，则pq.变式探究31：(2010年合肥质检)“直线xyk0与圆(x1)2y22有两个不同交点”的一个充分不必要条件可以是()(A)1k3 (B)1k3(C)0k3 (D)k3利用含逻辑联结词的命题的真假求参数的取值【例4】
10、(2010年杭州高级中学10月月考)已知命题p：函数yloga(12x)在定义域上单调递增；命题q：不等式(a2)x22(a2)x40对任意实数x恒成立若pq是真命题，求实数a的取值范围思路点拨：先根据p真，q真求出参数a的取值范围，再取并集即为所求对含有逻辑联接词的命题中参数讨论问题，应先求出简单命题成立的参数范围，再根据复合命题构成形式求出复合命题成立的条件答案：【例2】(2010年高考山东卷)设an是等比数列，则“a1a2a3”是“数列an是递增数列”的()(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件解析：若已知a1a2a3，设数列an的公比为
11、q，则有a1a1q1，且a10，此时，数列an为递增数列；反之，若数列an为递增数列，则公比q1且a10，所以a1a1qa1q2，即a1a2a3，因此，“a1a2y，则x|y|”的逆命题(B)命题“x1，则x21”的否命题(C)命题“若x1，则x2x20”的否命题(D)命题“若x20，则x1”的逆否命题解析：对于A，其逆命题是：若x|y|，则xy，是真命题，这是因为|y|y；对于B，否命题是：若x1，则x21，是假命题如x5，x2251；对于C，其否命题是：若x1，则x2x20，由于x2时，x2x20，所以是假命题；对于D，若x20，则x0或x1，因此原命题的逆否命题是假命题，故选A.3(2011年福建省福州市高三调研)在ABC中，“ABACBABC”是“|AC|BC|”的(C)(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件解析：因为AB1”是“函数f(x)logaxx2(a0，a1)有两个零点”的()(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件解析：若函数f(x)logaxx2有两个零点，即ylogax的图象与直线yx2的图象有两个交点，结合图象可知，此时a1；当a1时，函数f(x)logaxx2有两个零点，因此，“a1”是“函数f(x)logaxx2(a0，a1)有两个零点”的充要条件，故选C.
