1、课时跟踪检测（十） 双曲线及其标准方程层级一学业水平达标1已知F1(8,3)，F2(2,3)，动点P满足|PF1|PF2|10，则P点的轨迹是()A双曲线B双曲线的一支C直线 D一条射线解析：选DF1，F2是定点，且|F1F2|10，所以满足条件|PF1|PF2|10的点P的轨迹应为一条射线2在方程mx2my2n中，若mn0，则方程表示的曲线是()A焦点在x轴上的椭圆 B焦点在x轴上的双曲线C焦点在y轴上的椭圆 D焦点在y轴上的双曲线解析：选D将方程化为1，由mn0，所以方程表示的曲线是焦点在y轴上的双曲线3已知定点A，B且|AB|4，动点P满足|PA|PB|3，则|PA|的最小值为()A B
2、C D5解析：选C如图所示，点P是以A，B为焦点的双曲线的右支上的点，当P在M处时，|PA|最小，最小值为ac24椭圆1与双曲线1有相同的焦点，则a的值是()A B1或2C1或 D1解析：选D依题意知解得a15焦点分别为(2,0)，(2,0)且经过点(2,3)的双曲线的标准方程为()Ax21 By21Cy21 D1解析：选A由双曲线定义知，2a532，a1又c2，b2c2a2413，因此所求双曲线的标准方程为x216设m是常数，若点F(0,5)是双曲线1的一个焦点，则m_解析：由点F(0,5)可知该双曲线1的焦点落在y轴上，所以m0，且m952，解得m16答案：167经过点P(3,2)和Q(6
3、，7)，且焦点在y轴上的双曲线的标准方程是_解析：设双曲线的方程为mx2ny21(mn0，b0)由0，得PF1PF2根据勾股定理得|PF1|2|PF2|2(2c)2，即|PF1|2|PF2|220根据双曲线定义有|PF1|PF2|2a两边平方并代入|PF1|PF2|2得20224a2，解得a24，从而b2541，所以双曲线方程为y21答案：y219已知与双曲线1共焦点的双曲线过点P，求该双曲线的标准方程解：已知双曲线1，由c2a2b2，得c216925，c5设所求双曲线的标准方程为1(a0，b0)依题意，c5，b2c2a225a2，故双曲线方程可写为1点P在双曲线上，1化简，得4a4129a2
4、1250，解得a21或a2又当a2时，b225a2250，不合题意，舍去，故a21，b224所求双曲线的标准方程为x2110已知ABC的两个顶点A，B分别为椭圆x25y25的左焦点和右焦点，且三个内角A，B，C满足关系式sin Bsin Asin C(1)求线段AB的长度；(2)求顶点C的轨迹方程解：(1)将椭圆方程化为标准形式为y21a25，b21，c2a2b24，则A(2,0)，B(2,0)，|AB|4(2)sin Bsin Asin C，由正弦定理得|CA|CB|AB|21)层级二应试能力达标1设，则关于x，y的方程1所表示的曲线是()A焦点在y轴上的双曲线B焦点在x轴上的双曲线C焦点在
5、y轴上的椭圆D焦点在x轴上的椭圆解析：选B由题意，知1，因为，所以sin 0，cos 0，则方程表示焦点在x轴上的双曲线故选B2若双曲线y21(n1)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，且满足|PF1|PF2|2，则PF1F2的面积为()A1BC2 D4解析：选A设点P在双曲线的右支上，则|PF1|PF2|2，已知|PF1|PF2|2，解得|PF1|，|PF2|，|PF1|PF2|2又|F1F2|2，则|PF1|2|PF2|2|F1F2|2，所以PF1F2为直角三角形，且F1PF290，于是SPF1F2|PF1|PF2|21故选A3若双曲线8kx2ky28的一个焦点坐标是(3,0)，
6、则k()A1 B1C D解析：选A依题意，知双曲线的焦点在x轴上，方程可化为1，则k0，且a2，b2，所以9，解得k14已知双曲线1(a0，b0)，F1，F2为其两个焦点，若过焦点F1的直线与双曲线的一支相交的弦长|AB|m，则ABF2的周长为()A4a B4amC4a2m D4a2m解析：选C由双曲线的定义，知|AF2|AF1|2a，|BF2|BF1|2a，所以|AF2|BF2|(|AF1|BF1|)4am4a，于是ABF2的周长l|AF2|BF2|AB|4a2m故选C5已知双曲线1的两个焦点分别为F1，F2，双曲线上的点P到F1的距离为12，则点P到F2的距离为_解析：设F1为左焦点，F2
7、为右焦点，当点P在双曲线的左支上时，|PF2|PF1|10，所以|PF2|22；当点P在双曲线的右支上时，|PF1|PF2|10，所以|PF2|2答案：22或26过双曲线1的一个焦点作x轴的垂线，则垂线与双曲线的一个交点到两焦点的距离分别为_解析：因为双曲线方程为1，所以c13，设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，则F1(13,0)，F2(13,0)设过F1且垂直于x轴的直线l交双曲线于A(13，y)(y0)，则1，所以y，即|AF1|又|AF2|AF1|2a24，所以|AF2|24即所求距离分别为，答案：，7已知OFQ的面积为2，且m，其中O为坐标原点(1)设m4，求与的夹角的正切值的取值
8、范围；(2)设以O为中心，F为其中一个焦点的双曲线经过点Q，如图所示，|c，mc2，当|取得最小值时，求此双曲线的标准方程解：(1)因为所以tan 又m4，所以1tan 0，b0)，Q(x1，y1)，则|(x1c，y1)，所以SOFQ|y1|2，则y1又m，即(c,0)(x1c，y1)c2，解得x1c，所以| 2，当且仅当c4时，|最小，这时Q的坐标为(，)或(，)因为所以于是双曲线的标准方程为18设圆C与两圆(x)2y24，(x)2y24中的一个内切，另一个外切(1)求C的圆心轨迹L的方程；(2)已知点M，F(，0)，且P为L上动点求|MP|FP|的最大值解：(1)两圆的圆心分别为A(，0)，B(，0)，半径为2，设圆C的半径为r由题意得|CA|r2，|CB|r2或|CA|r2，|CB|r2，两式相减得|CA|CB|4或|CA|CB|4，即|CA|CB|4则圆C的圆心轨迹为双曲线，其中2a4，c，b21，圆C的圆心轨迹L的方程为y21(2)由(1)知F为双曲线L的一个焦点，如图，连接MF并延长交双曲线于一点P，此时|PM|PF|MF|为|PM|FP|的最大值又|MF|2，|MP|FP|的最大值为2
