1、2021-2022学年第一学期10月练习高二数学一、选择题1. 已知，则直线的斜率为（ ）A. 2B. 1C. D. 不存在【答案】A【解析】【分析】代入公式计算求解【详解】由题意，得：.故选：A2. 点到原点的距离为（ ）A. 1B. 3C. 5D. 9【答案】C【解析】【分析】利用空间坐标两点间距离公式，即可计算.【详解】.故选：C3. 如图，在三棱锥SABC中，点E，F分别是SA，BC的中点，点G在棱EF上，且满足，若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用空间向量的加、减运算即可求解.【详解】由题意可得 故选：D 4. 已知向量，若，则实数的值为（ ）A. B.
2、 C. 或D. 【答案】C【解析】【分析】利用空间向量垂直的坐标表示可得出关于的方程，即可解得实数的值.【详解】因为，由已知可得，解得或.故选：C.5. 在正方体中，二面角的余弦值是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】如图建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可【详解】解：如图，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则，所以，设平面的一个法向量为，则，令，则，设平面的一个法向量为，则，令，则，设二面角的平面角为，由图可知为锐角，所以，故选：C6. 若直线：与互相平行，且过点，则直线的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由两条直线平行得到斜率，进而
3、通过点斜式求出直线方程.【详解】由题意，的斜率为，则的斜率为，又过点，所以的方程为：.故选：C.7. 若直线：与：互相垂直，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由两直线垂直直接列方程求解即可【详解】解：因为直线：与：互相垂直，所以，得，解得，故选：C8. 如图，在正三棱柱中，若，则与所成角大小为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】取向量为空间向量的一组基底向量，表示出与，再借助空间向量运算即可计算作答.【详解】在正三棱柱中，向量不共面，令，则，而，于是得，因此，所以与所成角的大小为.故选：B9. 如图，正方体的棱长为1，是底面的中心，则到平面的距
4、离为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】过作的平行线，交于，则到平面的距离即为到平面的距离作于，进而可知平面，进而根据求得【详解】过作的平行线，交于，连结，则到平面的距离即为到平面的距离作于，平面，所以，且， 所以平面，所以平面，可求得故选：B二、填空题10. 空间两点，间的距离是_ ，A关于平面的对称点坐标为_【答案】 . ； . 【解析】【分析】根据空间中两点间的距离公式可求出线段的距离；关于的对称点是x，y坐标不变，z坐标相反.【详解】空间两点，间的距离为，A关于平面的对称点为，故答案为：；.11. 若，且与为共线向量，则_，_.【答案】 . . 【解析】【分析】依据
5、空间向量共线可得相应坐标成比例计算即可.【详解】由题意得，.故答案为：，12. 若直线与互相平行，则的值为_；它们之间的距离为_.【答案】 . 1 . 【解析】【分析】由直线平行公式求解，再根据线线间的距离公式求解即可【详解】因为直线与互相平行，故，解得，此时，故它们之间的距离故答案为：1，【点睛】本题主要考查了直线平行求参数的问题、平行直线间的距离公式，属于基础题13. 如图，设为平行四边形所在平面外任意一点，为的中点.若，则_，_.【答案】 . . 【解析】【分析】连接交于,由平行四边形的性质，为的中点，由线段中点向量公式可得，进而求得然后利用向量的减法运算求得关于的线性表达式，进而根据空
6、间向量分解唯一性定理得到的值.【详解】连接交于,由平行四边形的性质，为的中点，所以,因为在平面所在平面外，不共面，由空间向量唯一分解定理，可得,故答案为：【点睛】本题考查空间向量的线性运算和空间向量基本定理中的分解唯一性定理，关键是得出.14. 空间四边形各边及对角线长均为，分别是，的中点，则_.【答案】#0.5【解析】【分析】利用向量的线性运算，转化向量，再计算向量的数量积.【详解】如图，,，所以 ,因为向量的模相等，夹角相等，所以，,及 答案为：15. 已知直线，直线，则与之间的距离为_.【答案】【解析】【分析】利用平行线间距离公式，即可计算结果.【详解】直线，直线 ，两条直线平行，所以与
7、之间的距离.故答案为：三、解答题16. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，底面，E为PC的中点，求异面直线PD与BE所成角的余弦值.【答案】【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求解异面直线的夹角余弦值.【详解】因为底面ABCD为矩形，所以ABAD，因为底面，平面ABCD，所以，故以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，因为，所以，E为PC的中点，所以，设异面直线PD与BE所成角为，则17. 求过点 ，且满足下列条件的直线方程：（1）倾斜角等于直线的倾斜角的二倍的直线方程；（2）在两坐标轴上截距相等的直线方程【答案】（1） （2）或 【解
8、析】【详解】分析：（1）求出直线的倾斜角，利用点斜式求出直线方程；（2）分类讨论，可得在两坐标轴上截距相等的直线方程.详解：（1） 由题意，可知 ，所以 ，则 所以 ，所以所求直线的方程为：（2） 当直线过原点时方程为：，当直线不过原点时方程为：故所求直线的方程为 或 点睛：本题考查直线方程，考查分类讨论的数学思想.18. 已知直线，直线.（1）若，求实数a的值；（2）若，求实数a的值.【答案】（1）或；（2）或.【解析】【分析】（1）根据两直线垂直的等价条件列式求解即可；（2）根据两直线平行，分类讨论斜率不存在和斜率存在且相等的情况，检验即可求出【详解】（1）， ，或（2）当时，； 当时，由
9、解得：，此时， ，即，两直线不重合综上得：或【点睛】本题主要考查根据两直线垂直和平行求参数，属于基础题19. 如图.在四棱锥P-ABCD中，平面ABCD，且，.（1）求异面直线PC与AD所成角的余弦；（2）求点A到平面PCD的距离.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解异面直线的夹角；（2）先求出平面PCD的法向量，然后利用点到平面的向量公式进行求解.【小问1详解】因平面ABCD，平面ABCD所以，因为，故以A为坐标原点，所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，因为过点C作CEAD于点E，则CE=AB=2，AE=BC=1，因为，所以DE=CE=2
10、，故，设异面直线PC与AD所成角为，所以，异面直线PC与AD所成角的余弦值为.【小问2详解】，设平面PCD的法向量为，则，即，令，解得：，故，设点A到平面PCD的距离为，则20. 如图，在三棱柱中，平面 ，点分别在棱和棱 上，且为棱的中点（）求证：；（）求二面角的正弦值；（）求直线与平面所成角的正弦值【答案】（）证明见解析；（）；（）.【解析】【分析】以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系.（）计算出向量和坐标，得出，即可证明出；（）可知平面的一个法向量为，计算出平面的一个法向量为，利用空间向量法计算出二面角的余弦值，利用同角三角函数的基本关系可求解结果；（）利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值.【详解】依题意，以为原点，分别以、的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系（如图），可得、.（）依题意，从而，所以；（）依题意，是平面的一个法向量，设为平面的法向量，则，即，不妨设，可得，所以，二面角的正弦值为；（）依题意，由（）知为平面的一个法向量，于是所以，直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】本题考查利用空间向量法证明线线垂直，求二面角和线面角的正弦值，考查推理能力与计算能力，属于中档题.
