1、第14讲 导数的应用第14讲 导数的应用知识梳理1函数的单调性若函数f(x)在某区间内可导，则f(x)0f(x)在该区间上_；f(x)0 f(x)0 f(x)0 第14讲 知识梳理3函数的最值(1)函数f(x)在a，b上必有最值的条件如果在区间a，b上函数yf(x)的图象_，那么它必有最大值和最小值(2)求函数yf(x)在a，b上的最大值与最小值的步骤求函数yf(x)在(a，b)内的_；将函数yf(x)的各极值与_比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值4f(x)m恒成立等价于_；f(x)m恒成立等价于_5函数f(x)ax3bx2cxd(a0)有极大值为f(x1)，极小值为f(x2)，
2、若函数有三个零点，则_；函数有两个零点，则_；函数有且仅有一个零点，则_是一条连续不断的曲线极值端点处的函数值f(a)、f(b)mf(x)maxf(x1)0且f(x2)0f(x1)0或f(x2)0f(x1)0要点探究 探究点1 利用导数研究函数的单调性第14讲 要点探究第14讲 要点探究第14讲 要点探究点评(1)利用导函数的性质比用函数单调性的定义要方便，它是根据导函数的正负性确定函数的单调性；(2)两个单调递增区间不能“并”起来函数的单调性是函数在某一区间内的性质，讨论函数的单调性应在函数的定义域范围内进行第14讲 要点探究如果函数yf(x)的图象如图141，那么导函数yf(x)的图象可能
3、是()图141 图142第14讲 要点探究答案 A解析 由原函数的单调性可以得到导函数的正负性情况，依次是“正、负、正、负”，即导函数的图象与x轴的位置应是“上、下、上、下”，符合规律的只有A思路 由原函数的图象变化趋势是“增、减、增、减”，运用“增则正，减则负”规律，即可判断导函数的图象点评 解决此类问题时，审题应看清已知条件是导函数还是原函数，然后用“导数的正负性决定原函数的增减性”原则进行判断第14讲 要点探究已知f(x)exax1.(1)求f(x)的单调增区间；(2)若f(x)在定义域R内单调递增，求a的取值范围；(3)是否存在a，使f(x)在(，0上单调递减，在0，)上单调递增？若存
4、在，求出a的值；若不存在，说明理由思路 (1)通过解f(x)0求单调递增区间；(2)转化为f(x)0在R上恒成立问题，求a；(3)假设存在a，则f(0)是f(x)的极小值，或转化为恒成立问题第14讲 要点探究解答(1)f(x)exa.若a0，f(x)exa0恒成立，即f(x)在R上递增若a0，exa0，exa，xlna，f(x)的递增区间为(lna，)(2)f(x)在R内单调递增，f(x)0在R上恒成立exa0，即aex在R上恒成立a(ex)min，又ex0，a0.(3)方法一：由题意知exa0在(，0上恒成立aex在(，0上恒成立ex在(，0上为增函数，x0时，ex最大为1.a1，同理可知e
5、xa0在0，)上恒成立，aex在0，)上恒成立，a1.综上所述，a1.方法二：由题意知，x0为f(x)的极小值点f(0)0，即e0a0，a1，经检验a1符合题意第14讲 要点探究点评 已知函数f(x)在某区间内单调求参数问题，常转化为其导函数f(x)在该区间内大于等于0(单调增函数)或小于等于0(单调减函数)恒成立问题有时问题也可以借助集合的思想解决 探究点2 利用导数研究函数的极值与最值第14讲 要点探究例2 已知aR，讨论函数f(x)ex(x2axa1)的极值点的个数解答 f(x)ex(x2axa1)ex(2xa)exx2(a2)x(2a1)，令f(x)0得x2(a2)x(2a1)0.(1
6、)当(a2)24(2a1)a24aa(a4)0，即a4时x2(a2)x(2a1)0有两个不同的实根x1，x2，不妨设x1x2.于是f(x)ex(xx1)(xx2)，从而有下表：第14讲 要点探究即此时f(x)有两个极值点(2)当0即a0或a4时，方程x2(a2)x(2a1)0有两个相同的实根x1x2.于是f(x)ex(xx1)2.故当x0，当xx2时f(x)0，因此f(x)无极值(3)当0即0a0，f(x)exx2(a2)x(2a1)0，故f(x)为增函数，此时f(x)无极值因此当a4或a0时，列表如下：第14讲 要点探究由上表可知，当x0时，f(x)取得极大值，也就是函数在1,2上的最大值，
7、f(0)3，即b3.又f(1)7a3，f(2)16a3，f(2)f(1)，x2时函数在1,2上取得最小值，f(2)16a329，a2.当af(1)，x2时函数在1,2上取得最大值，f(2)16a293，a2.综上可得，a2，b3或a2，b29.第14讲 要点探究2010宝鸡模拟 已知函数f(x)axlnx在点(e，f(e)处的切线与直线y2x平行(其中e2.71828)，g(x)x2tx2.(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数f(x)在n，n2(n0)上的最小值；(3)对一切x(0，e，3f(x)g(x)恒成立，求实数t的取值范围第14讲 要点探究第14讲 要点探究 探究点3 导数在方程
8、与不等式中的应用例4 2010广州模拟 已知函数f(x)x3ax2bxc在(，0)上是减函数，在(0,1)上是增函数，函数f(x)在R上有三个零点，且1是其中一个零点(1)求b的值；(2)求f(2)的取值范围；(3)试探究直线yx1与函数yf(x)的图象交点个数的情况，并说明理由第14讲 要点探究第14讲 要点探究第14讲 要点探究第14讲 要点探究第14讲 要点探究第14讲 要点探究点评 利用导数证明不等式的关键是构建适当的辅助函数，即设法利用导数方法来研究函数的单调性，需要把要证的不等式等价转化为同一函数的不同函数值的形式 探究点4 生活中的优化问题第14讲 要点探究第14讲 要点探究第1
9、4讲 要点探究第14讲 要点探究点评 用导数求解实际问题中的最大值或最小值时，一般先设自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域，然后转化为导数模型求解规律总结第14讲 规律总结1函数的单调性、极值、最值都是定义域内的局部性质，因此利用导数讨论函数的性质时，首先要研究函数的定义域，再利用导数f(x)解决2通过判断函数各区间内导数f(x)的符号，可判断函数f(x)在该区间上的单调性若f0(或f0)，则函数f在相应区间上是增加(或减少)的3根据极值的定义，导数为0且在该点两侧导数的符号相反，则该点是函数的极值点利用导数求函数的极值时，通过导数为零的点将整个定义域分为若干个区间，然后将x，f(x
10、)，f在每个区间内的变化情况列在一个表格中，通过表格可以清楚地判断在哪个点处取得极值，是极大值还是极小值，所以在解题中注意表格的正确列法第14讲 规律总结4根据最值的定义可知：函数的最值只可能在极值点取得，或者在区间的端点处取得因此，求函数在闭区间内的最值时，只需要比较导数为0的点的函数值与端点值的大小，其中最大的值即为函数的最大值，最小的值即为函数的最小值第14讲 规律总结5导数是解决生产生活中最优化问题的通性通法，利用导数求实际问题的最值的一般步骤和方法如下：(1)细致分析实际问题中各个量之间的关系，正确设定所求最大值或最小值的变量y与自变量x，把实际问题转化为数学问题，即列出函数关系yf(x)，并根据实际问题中的限制条件确定yf(x)的定义域；(2)求f(x)，令f(x)0，得出方程所有实数根；(3)比较函数在各个区间端点和在极值点的取值大小，确定其为最大值还是最小值；(4)检验结果的实际意义，给出答案
