1、第三十六讲直接证明与间接证明1共 42 页回归课本证明1.证明分为直接证明与间接证明.直接证明包括综合法分析法等;间接证明主要是反证法.2.综合法:一般地,利用已知条件和某些数学定义定理公理,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法.2共 42 页3.分析法:一般地,从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件定义定理公理等)为止.这种证明方法叫做分析法.4.反证法:一般地,由证明pq转向证明 qrt,t与假设矛盾,或与某个真命题矛盾,从而判定q为假,推出q为真的方法,叫反证法.3共 42 页考
2、点陪练1.分析法是从要证明的结论出发,逐步寻求使结论成立的()A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.等价条件解析:根据分析法的要求,只要能找到一个条件使结论成立即可,并不需要是等价条件(充要条件),只需要是充分条件即可.答案:A4共 42 页2.用P表示已知,Q表示要证的结论,则综合法的推理形式为()A.PQ1Q1Q2Q2Q3QnQB.PQ1Q1Q2Q2Q3QnQC.QQ1Q1Q2Q2Q3QnPD.QQ1Q1Q2Q2Q3QnP答案:A5共 42 页3.用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时,假设正确的是()A.假设至少有一个钝角B.假设至少有两个钝角C.假设没有一个钝角D.假设没有
3、一个钝角或至少有两个钝角解析:此题实际是一个命题的否定问题,“至多有一个”“至少有两个”是对应的,此题极易错选为C或A.答案:B6共 42 页4.反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾.这个矛盾可以是()与已知矛盾;假设矛盾;与定义公理定理法则矛盾;与事实矛盾.A.B.C.D.答案:D7共 42 页5.在不等边三角形中,a为最大边,要想得到A为钝角的结论,三边abc应满足什么条件()A.a2b2+c2 D.a2b2+c2答案:C8共 42 页类型一综合法解题准备:1.用P表示已知条件、已有的定义、定理等,Q表示所要证的结论,则综合法可用框图表示为:9共 42 页2.综合法是“由因到果”,即由已知
4、条件出发,经过逐步的推理,最后达到待证结论.综合法又叫做顺推证法或由因到果法.3.综合法格式:从已知条件出发,顺着推证,由“已知”得“推知”,由“推知”得“未知”,逐步推出求证的结论,这就是顺推法的格式,它的常见书面表达是“,”或“”.10共 42 页11共 42 页12共 42 页反思感悟 用综合法证题是从已知条件出发,逐步推向结论,综合法的适用范围是:(1)定义明确的问题,如证明函数的单调性、奇偶性,求证无条件的等式或不等式等.(2)已知条件明确,并且容易通过分析和应用条件能逐步逼近结论的题型.13共 42 页类型二 分析法解题准备:1.用Q表示要证明的结论,则分析法可用框图表示为14共
5、42 页2.分析法是“执果索因”,一步步寻求上一步成立的充分条件,因此分析法又叫做逆证法或执果索因法.3.分析法格式:与综合法正好相反,它是从要求证的结论出发,倒着分析,由未知想需知,由需知逐渐靠近已知(已知条件,已经学过的定义、定理、公理、公式、法则等).这种证明的方法关键在于需保证分析过程的每一步都是可以逆推的,它的常见书写表达式是“要证只需”或“”.4.综合法和分析法均属于直接证明的方法,经常要把两种方法结合起来用,也就是说“两头凑”,会使问题容易解决.15共 42 页16共 42 页17共 42 页反思感悟在解决问题时,根据条件的结构特点去转化结论,得到中间结论Q,根据结论的特点转化得
6、到中间结论P,归结为证明PQ之间的关系,通常用分析法寻找思路,综合法完成证明.18共 42 页类型三反证法解题准备:1.反证法是间接证明的一种方法,在数学研究和考试中有着重要的作用.一般地,假设原命题不成立,经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设错误,从而证明了原命题的成立,这样的证明方法叫做反证法.2.反证法的理论依据是逻辑规律中的排除律:一个事物是A或,二者必居其一,反证法即证明结论的反面错误,从而结论正确.19共 42 页3.用反证法证明问题的步骤:(1)分清命题的条件和结论,假设命题的结论不成立,即假设结论的反面成立;(2)从这个假设出发,经过推理论证,得出矛盾;(3)从矛盾判断假
7、设不正确,从而肯定命题的结论正确.4.适宜用反证法证明的数学命题:(1)结论本身是以否定形式出现的命题;(2)关于唯一性、存在性命题;(3)结论以“至多”、“至少”等形式出现的命题;(4)结论的反面比原结论更具体、更容易研究的命题.20共 42 页【典例3】已知a,b,c是互不相等的实数.求证:由y=ax2+2bx+c,y=bx2+2cx+a和y=cx2+2ax+b确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点.证明假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x轴有两个不同的交点(即任何一条抛物线与x轴没有两个不同的交点),21共 42 页由y=ax2+2bx+c,y=bx2+2cx+a,y=cx
8、2+2ax+b,得1=(2b)2-4ac0,2=(2c)2-4ab0,3=(2a)2-4bc0.22共 42 页同向不等式求和得,4b2+4c2+4a2-4ac-4ab-4bc0,2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ca0,(a-b)2+(b-c)2+(c-a)20,a=b=c,这与题设a,b,c互不相等矛盾,因此假设不成立,从而命题得证.反思感悟本题是“至少”型命题,直接证明比较困难,因此可用反证法,即否定命题寻找矛盾命题得证.23共 42 页错源 逻辑不严密【典例】如图,设四面体P-ABC中,ABC=90,PA=PB=PC,D是AC中点,求证:PD平面ABC.24共 42 页错解PA
9、=PC,D是AC的中点,PDAC.又BCAB,BCPD.又ACBC=C,PD平面ABC.剖析本题错误的原因在于证明PDBC时没有理论依据,完全凭感觉,没有逻辑感.25共 42 页正解连接BD,因为BD是RtABC斜边上的中线,所以DA=DC=DB.又PA=PB=PC,而PD是公共边,PADPBDPCD,PDA=PDC=PDB=90,PDAC,PDBD,又AC,BD为平面ABC内两相交的直线.PD平面ABC.26共 42 页1.横向联系,多解求优27共 42 页28共 42 页29共 42 页30共 42 页31共 42 页32共 42 页33共 42 页34共 42 页35共 42 页36共 42 页37共 42 页3.巧用结论,妙法解题38共 42 页39共 42 页答案A40共 42 页41共 42 页42共 42 页
