1、第六模块数列第二十七讲数列的概念与简单表示法1共 66 页回归课本2共 66 页1.数列的定义数列是按照一定顺序排列着的一列数,在函数意义下,数列是定义域为正整数集N+(或它的有限子集1,2,3,n)的函数,即当自变量从小到大的顺序依次取值时,所对应的一列函数值,其图象是相应的曲线(或直线)上横坐标为正整数的一系列孤立的点,数列的一般形式为a1,a2,an,通常简记为an,其中an是数列an的第n项,也叫做通项.3共 66 页2.数列的通项公式一个数列an的第n项an与序号n之间的关系,如果可以用一个式子an=f(n)来表示,我们就把这个公式叫做这个数列的通项公式.数列的通项公式是研究数列的最
2、佳载体,因此确定一个数列是否有通项公式,以及如何求出这个通项公式,是解决数列问题的关键.求通项公式的常用方法有:观察分析法累差法累商法和公式法等.4共 66 页3.数列的表示方法从函数的观点看,数列的表示方法有:列表法图象法解析法.4.数列的分类(1)按照项数是有限还是无限来分:有穷数列无穷数列.(2)按照项与项之间的大小关系来分:递增数列递减数列常数列摆动数列.(3)按照任何一项的绝对值是否都小于某一正数来分:有界数列无界数列.5共 66 页5.数列an与Sn之间的关系Sn=a1+a2+a3+an,an=6.数列的递推公式如果已知数列an的第1项(或前几项),且从第2项起(或某一项)任意一项
3、an与它的前一项an-1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.等差数列与等比数列是最基本的递推数列,递推数列的基本问题是由递推关系求通项公式.6共 66 页考点陪练7共 66 页1.(2010安徽)设数列an的前n项和Sn=n2,则a8的值为()A.15B.16C.49D.64解析:a8=S8-S7=82-72=15.答案:A8共 66 页2.下列说法正确的是()A.数列1,3,5,7可表示为1,3,5,7B.数列1,0,-1,-2与数列-2,-1,0,1是相同的数列C.数列的第k项为D.数列0,2,4,6,可记为2n9共 66 页解析:根据数列的定义
4、与集合定义的不同可知A,B不正确;D项2n中的nN*,故不正确;C中an=ak=答案:C10共 66 页3.已知数列an的通项公式是an=,那么这个数列是()A.递增数列B.递减数列C.摆动数列D.常数列11共 66 页解析:解法一:an+1-an=,an+1an,数列an为递增数列.12共 66 页答案:A13共 66 页4.设数列an中,a1=1,n2,都有a1a2a3an=n2,则a3+a5=()14共 66 页分析:从理论上说,如果已知数列的首项和递推公式可以求出这个数列的任何一项,但当序号较大时,利用递推公式来求是很麻烦的,从这一点来说数列的通项公式要比递推公式更为深刻,当序号较小时
5、可用解法二,如果由递推公式能很快地推导出通项公式,还是用通项公式来求解,这样能使得计算简捷准确.15共 66 页解析:解法一:由已知a1a2a3an=n2得an=,n2,nN*,将a1a2an-1=(n-1)2,n3,nN*,代入an得an=(n3).当n=2时适合此式,当n=1时不适合此式.an=a3+a5=,选A.16共 66 页解法二:当n=2时,a1a2=4,a2=4.当n=3时,a1a2a3=9,a3=当n=4时,a1a2a3a4=16,a4=当n=5时,a5=,a3+a5=,选A.答案:A17共 66 页5.数列an中,a1=1,a2=2,当nN*时,an+2等于anan+1的个位
6、数,若数列an的前k项和为243,则k=()A.61B.62C.63D.6418共 66 页解析:依题意,得a1=1,a2=2,a3=2,a4=4,a5=8,a6=2,a7=6,a8=2,a9=2,a10=4,a11=8,a12=2,a13=6,数列an除第一项外,其余的项形成以6为周期的数列,且从a2到a7这六项的和等于24.注意到243=1+2410+2,因此k=1+610+1=62.故选B.答案:B19共 66 页类型一由前n项探索数列的通项公式解题准备:观察法就是观察数列的特征,找出各项共同规律,横看“各项之间的关系结构”,纵看“各项与项数n的关系”,从而确定出数列的通项.20共 66
7、 页利用观察法求数列的通项时,要抓住以下几个特征:(1)分式中分子分母的特征;(2)相邻项的变化特征;(3)拆项后的特征;(4)各项符号特征等,并对此进行归纳联想.注意:一个数列的通项公式的表达形式不一定唯一.21共 66 页【典例1】根据数列的前几项,写出数列的一个通项公式.(1)1,0,1,0,;(2)1,1,2,2,3,3,;(3),.22共 66 页23共 66 页(3)奇数项为负,偶数项为正,故选用(-1)n确定符号.由观察知分子为2n,而分母为两个连续奇数的积即(2n-1)(2n+1).an=(-1)n24共 66 页反思感悟由给出的前n项求通项公式时,常由数列的各项中的有关元素与
8、项数之间相关变化归纳出规律,并对找出的规律加以验证.这种问题显然较简单且单纯,此类题型在高考题中也少有出现,但它是“猜想证明”的前提,在高考中占有很重要的地位.25共 66 页类型二简单的数列递推公式解题准备:已知数列的递推公式求通项,可把每相邻两项的关系列出来,抓住它们的特点进行适当处理,有时借助拆分或取倒数等方法构造等差数列或等比数列,转化为等差数列或等比数列的通项问题;26共 66 页对于形如an+1=an+f(n)的递推公式求通项公式,只要f(n)可求和,便可利用累加的方法;对于形如=g(n)的递推公式求通项公式,只要g(n)可求积,便可利用累积的方法或迭代的方法;对于形如an+1=A
9、an+B(A0且A1)型递推关系求通项公式时,可用迭代法或构造等比数列法.27共 66 页【典例2】根据下列条件,写出数列的通项公式:(1)a1=2,an+1=an+n;(2)a1=1,2n-1an=an-1.分析(1)将递推关系写成n-1个等式累加.(2)将递推关系写成n-1个等式累乘,或逐项迭代也可.28共 66 页解(1)当n=1,2,3,n-1时,可得n-1个等式.an-an-1=n-1,an-1-an-2=n-2,a2-a1=1,将其相加,得an-a1=1+2+3+(n-1).an=a1+29共 66 页30共 66 页31共 66 页类型三数列的单调性解题准备:数列的单调性是高考中
10、经常考查的内容,有关数列的最大(小)项、数列的有界性等问题,都可以借助于数列的单调性来研究,必须牢固掌握这类问题的解决方法.这些方法主要有a作差法;b作商法;c利用数列或函数的单调性等方法.32共 66 页33共 66 页【典例3】已知数列an的通项an=(n+1)()n(nN+).试问该数列an有没有最大项?若有,求出最大项和最大项的项数;若没有,说明理由.34共 66 页分析因an是n的函数,难点在于an是一个一次函数(n+1)与一个指数函数()n的积.所以从一次函数或指数函数增减性看,一增一减积不确定.但nN+,不妨试从比较an与an+1的大小入手.35共 66 页解an+1-an=(n
11、+2)()n+1-(n+1)()n=()n .当n0,即an+1an;当n=9时,an+1-an=0,即an+1=an;当n9时,an+1-an0,即an+1an.故a1a2a11a12,数列an的最大项是a9或a10,其值为10()9,其项数为9或10.36共 66 页反思感悟由通项公式研究数列是常用方法,此时要注意数列是一类特殊的函数,要重视函数思想方法的运用和函数性质的应用.37共 66 页类型四利用Sn与an的关系求通项公式解题准备:an与Sn的关系式an=Sn-Sn-1的使用条件是n2,求an时切勿漏掉n=1的情况;利用an与Sn的关系可以消去Sn得到关于an与an-1的关系,也可以
12、消去an得到Sn与Sn-1之间的关系,借助递推关系的特点构造等差或等比数列,前者可直接求出通项an,后者求出Sn后再利用an与Sn的关系求an即可.38共 66 页8an=(an+an-1+4)(an-an-1),(an+an-1)(an-an-1-4)=0,an0,an+an-10,an-an-1-4=0,即an-an-1=4,数列an为等差数列,且公差d=4,39共 66 页又a1=S1=,a1=2,an=2+4(n-1)=4n-2.40共 66 页41共 66 页【典例1】已知数列an的前n项和Sn=n2-4n+1,则|an|=_.错解由题意得:an=Sn-Sn-1=n2-4n+1-(n
13、-1)2-4(n-1)+1=2n-5.则|an|=|2n-5|.剖析未验证n=1时,a1=S1是否适合当n2时的解析式,适合合并,否则,分段来写.42共 66 页43共 66 页错源二方法理解不到位44共 66 页45共 66 页剖析本题的错误原因是忽视了a1+3a2+3n-2an-1=中n2,使得计算过程中出现了考虑不全面的错误.46共 66 页47共 66 页48共 66 页名师技法练智力求解数列递推式通项的6种类型与方法求数列的通项公式是数列知识的一类基本题型,是进一步研究数列性质的前提,因此是高考数列知识考查的重点内容之一.研究近几年的高考命题,我们可以归纳出求解这类问题的基本思想主要
14、是把问题转化成等差数列或等比数列,而转化的常见方法有两种:一种是通过变形把问题转化,另一种是通过构造把问题转化.下面我们列举几种常见数列递推式的类型,希望能给同学们提供解答这类问题的基本方法.49共 66 页技法一an+1=pan+qn(其中p,q均为常数,(pq(p-1)0)或an+1=pan+rqn(其中p,q,r均为常数)50共 66 页51共 66 页52共 66 页53共 66 页54共 66 页55共 66 页技法二an+1=an+f(n)把原递推公式转化为an+1-an=f(n),再利用叠加法(逐差相加法)求解.56共 66 页57共 66 页技法三an+1=f(n)an把原递推
15、公式转化为再利用叠乘法(逐商相乘法)求解.58共 66 页59共 66 页技法四an+1=pan+q(其中p,q均为常数,pq(p-1)0)先用待定系数法把原递推公式转化为:an+1-t=p(an-t),其中t=,再利用换元法转化为等比数列求解.60共 66 页【典例4】已知数列an中,a1=1,an+1=2an+3,求an.解设递推公式an+1=2an+3可以转化为an+1-t=2(an-t),即an+1=2an-tt=-3.故递推公式为an+1+3=2(an+3).令bn=an+3,则b1=a1+3=4,且bn是以b1=4为首项,2为公比的等比数列,bn=42n-1=2n+1,即an=2n
16、+1-3.61共 66 页技法五an+1=pan+an+b(p1,0,a0)这种类型一般利用待定系数法构造等比数列,即令an+1+x(n+1)+y=p(an+xn+y),与已知递推式比较,解出x,y,从而转化为an+xn+y是公比为p的等比数列.62共 66 页【典例5】设数列an满足a1=4,an=3an-1+2n-1,(n2),求an.63共 66 页技法六an+1=parn(p0,an0)这种类型一般是等式两边取对数后转化为an+1=pan+q,再利用待定系数法求解.64共 66 页【典例6】已知数列an中,a1=1,an+1=a2n(a0),求数列an的通项公式.65共 66 页66共 66 页
