1、基础点知识点1匀速圆周运动、角速度、线速度、向心加速度1匀速圆周运动(1)定义：做圆周运动的物体，若在相等的时间内通过的圆弧长相等，就是匀速圆周运动。(2)特点：加速度大小不变，方向始终指向圆心，是变加速运动。(3)条件：合外力大小不变、方向始终与速度方向垂直且指向圆心。2描述圆周运动的物理量描述圆周运动的物理量主要有线速度、角速度、周期、频率、转速、向心加速度、向心力等，现比较如下表：定义、意义公式、单位线速度描述做圆周运动的物体运动快慢的物理量(v)；是矢量，方向和半径垂直，和圆周相切v；单位：m/s角速度描述物体绕圆心转动快慢的物理量()；中学不研究其方向；单位：rad/s周期和转速周期
2、是物体沿圆周运动一圈的时间(T)；转速是物体在单位时间内转过的圈数(n)周期的倒数叫做频率(f)T；单位：s；n的单位：r/s、r/min；f的单位：Hz，f续表定义、意义公式、单位向心加速度描述速度方向变化快慢的物理量(an)；方向指向圆心an2r；单位：m/s2向心力作用效果是产生向心加速度，只改变线速度的方向，不改变线速度的大小；方向指向圆心Fnm2rmmr；单位：N相互关系vr2rf；anr2v42f2r；Fnmmr2mmvm42f2r知识点2匀速圆周运动的向心力1作用效果：产生向心加速度，只改变线速度的方向，不改变线速度的大小。2大小：Fmmr2mmvm42f2r。3方向：始终沿半径
3、方向指向圆心。4来源：向心力可以由一个力提供，也可以由几个力的合力提供，还可以由一个力的分力提供。知识点3离心现象1定义：做圆周运动的物体，在所受合外力突然消失或不足以提供圆周运动所需向心力的情况下，所做的沿切线飞出或逐渐远离圆心的运动现象。2本质：做圆周运动的物体，由于本身的惯性，总有沿着圆周切线飞出去的倾向，3受力特点(如图所示)(1)当Fmr2时，物体做匀速圆周运动；(2)当F0时，物体沿切线飞出；(3)当Fmr2时，物体逐渐远离圆心，F为实际提供的向心力；(4)当Fmr2时，物体逐渐向圆心靠近。重难点一、常见传动装置及其特点1同轴传动如下图甲、乙所示，绕同一转轴转动的物体，转动方向相同
4、，角速度相同，AB，可推知，TATB2皮带(摩擦)传动如下图所示A、B两点分别是两个轮子边缘上的点，两个轮子用皮带(或靠摩擦)连起来，并且不打滑时，它们线速度相同，vAvB，可推知，。并且甲图转动方向相同，乙、丙图转动方向相反3齿轮传动如右图所示，A、B两点分别是两个齿轮边缘上的点，两个齿轮轮齿啮合，它们线速度相同，vAvB，可推知，式中n1 n2分别表示两齿轮的齿数，并且两点转动方向相反。特别提醒在处理传动装置中各物理量间的关系时，关键是结合实际情况，确定其相同的量(线速度或角速度)，再由描述圆周运动的各物理量间的关系，确定其他各量间的关系。二、圆周运动中的动力学分析1向心力的来源向心力是按
5、力的作用效果命名的，可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以是几个力的合力或某个力的分力，因此在受力分析中要避免再另外添加一个向心力。2向心力的确定(1)确定圆周运动的轨道所在的平面，确定圆心的位置。(2)分析物体的受力情况，找出所有的力沿半径方向指向圆心的合力就是向心力。3向心力的计算(1)大小：Fmamm2rmr。(2)方向：总指向圆心，时刻变化，是变力。4圆周运动中向心力与合力的关系(1)匀速圆周运动(2)变速圆周运动5解决圆周运动动力学问题的思路(1)确定研究对象，分析物体的受力情况，画出受力示意图，确定向心力的来源。(2)分析物体的运动情况，即物体的线速度、角速度、周期、轨道平面、圆
6、心、半径等。(3)据牛顿运动定律、向心力公式或机械能守恒定律等列方程；对圆周运动过程的某一状态点，常用牛顿运动定律和向心力公式建立方程。如图，在竖直面内圆周运动的最低点A，FAmgm；在最高点B，FBmgm。对圆周运动的过程而言，只能利用机械能守恒定律或动能定理建立初末状态之间的联系，如图中由AB，若没有摩擦和阻力影响，则有mvmvmg2r。特别提醒(1)无论匀速圆周运动还是非匀速圆周运动，沿半径指向圆心的合力均为向心力。(2)当采用正交分解法分析向心力的来源时，其中一个坐标轴应沿半径指向圆心。(3)物体做圆周运动的加速度不一定指向圆心，向心加速度只是物体实际加速度的一个分量，只有做匀速圆周运
7、动的物体的加速度才指向圆心。三、匀速圆周运动的典型实例分析1火车转弯问题(1)火车转弯的规定速度设铁轨间距为L，内外轨的高度差为h，转弯半径为R，火车质量为m，如图所示，可知火车转弯时的向心力为Fmgtan根据向心力公式有Fm解得v0。当比较小时，有tansin故有v0 。(2)火车转弯时侧压力的分析当火车的行驶速度vv0时，转弯所需的向心力由重力和轨道的支持力的合力提供，火车轮缘与内外轨均无侧压力。当火车的行驶速度vv0时，外轨向内挤压轮缘，提供的侧压力与F共同充当向心力。速度越小，挤压越大。当火车的行驶速度vv0时，内轨向外挤压轮缘，提供的侧压力与F共同充当向心力。速度越小，挤压越大。特别
8、提醒(1)火车转弯时的轨迹是在水平面内而非倾斜面内。(2)飞机在水平面内转弯时，机身倾斜，向心力由浮力、重力的合力提供，浮力与机身垂直。2汽车过桥问题已知r为拱(凹)形桥桥面圆弧对应的半径(1)汽车过拱形桥：如图所示，汽车对桥面的压力为F压FNmgmmg当v 时，汽车对桥面的压力为零，即F压0，此时汽车处于完全失重状态。当0v 时，汽车对桥面的压力满足0F压mg。速度越大，压力越小。当v 时，汽车将脱离桥面，发生飞车。(2)汽车过凹形桥：如图所示，此时汽车受到的重力和支持力的合力提供向心力，汽车对桥面的压力为F压FNmgmmg。速度越大，压力越大。特别提醒汽车过凸形桥时速度越大对桥压力越小，但
9、越不易“抓”地、越容易发生危险；汽车过凹形桥时速度越大，对桥的压力增大，也增加了汽车爆胎的可能，所以无论过什么桥都要适当减速。3圆锥筒类问题(1)问题概述如图所示为圆锥筒模型。筒内壁光滑，向心力由重力mg和支持力FN的合力提供，即F向mm2r，解得v ， 。(2)两点规律稳定状态下，小球所处的位置越高，半径r越大，角速度就越小，线速度v就越大。小球受到的支持力FN 和向心力F向 并不随位置的变化而变化。4圆锥摆问题(1)问题概述 如图所示为圆锥摆模型。向心力F向mgtanmm2r，且rLsin，解得v， 。(2)几类问题摆线的拉力分析摆线的拉力F有两种基本思路：a当角已知时，F；b当角未知时，
10、Fm2Lm2Lm(2f)2L。周期的计算设悬点到圆心的距离为h，根据牛顿第二定律有F合mgtanm2Lsin可得T2 2由此可知，当g不变时，圆锥摆的周期只与h有关，与m、L、无关。动态分析a根据F向mgtanm2Lsin得cos，故当角速度增大时，增大，向心力增大，半径增大，周期变小。b稳定状态下，角越大，对应的角速度和线速度v就越大，小球受到的拉力F和向心力也越大。特别提醒在生活中真正的圆锥摆(筒)模型并不多见，常见的多是类圆锥摆(筒)问题。此类问题的难点在于如何从所给的实际情景中抽象出理想化的圆锥摆(筒)模型，解题的关键是要抓住圆锥摆(筒)模型的特点、规律，在此基础上进行实际应用。四、圆
11、周运动的临界与多解问题1圆周运动的临界问题对于圆周运动中的临界问题，分析时应首先考虑达到临界条件时物体所处的状态，然后分析该状态下物体的受力特点，结合圆周运动知识，列出相应的动力学方程，对有关范围类的临界问题，应注意分析两个极端状态，以确定变化范围。(1)水平面内圆周运动的临界问题关于水平面内的匀速圆周运动的临界问题，主要是临界速度和临界力的问题。常见的是与绳的拉力、弹簧的拉力、接触面的弹力和摩擦力等相关的问题。通过受力分析来确定临界状态和临界条件，是较常用的解题方法。(2)竖直面内圆周运动的临界问题物体在竖直面内做圆周运动时，绝大多数属于变速圆周运动，常常涉及临界问题。在不同约束条件下，物体
12、完成圆周运动的临界条件不同。这一类临界问题的具体分析方法，可以参考本节后面物理建模部分。2圆周运动的多解问题匀速圆周运动的多解问题常涉及两个物体的两种不同运动，其中一个做匀速圆周运动，另一个做其他形式的运动，由于这两种运动同时进行，因此，依据等时性建立等式来求解待求量是解答此类问题的基本思路。需要注意的是，因为匀速圆周运动具有周期性，在前一个周期内发生的事件在后一个周期内同样可能发生，这就要求同学们在表示做匀速圆周运动的运动时间时，必须把各种可能都考虑进去。特别提醒对于物体在临界点相关多个物理量，需要区分哪些物理量能够突变，哪些物理量不能突变，而不能突变的物理量(一般指线速度)往往是解决问题的
13、突破口。1思维辨析(1)匀速圆周运动是匀变速曲线运动。()(2)物体做匀速圆周运动时，其角速度是不变的。()(3)物体做匀速圆周运动时，其合外力是不变的。()(4)匀速圆周运动的向心加速度与半径成反比。()(5)匀速圆周运动的向心力是产生向心加速度的原因。()(6)比较物体沿圆周运动的快慢看线速度，比较物体绕圆心转动的快慢，看周期或角速度。()(7)做匀速圆周运动的物体，当合外力突然减小时，物体将沿切线方向飞出。()(8)摩托车转弯时速度过大就会向外发生滑动，这是摩托车受沿转弯半径向外的离心力作用的缘故。()答案(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)2如图所示，B和C是一组塔轮，即B
14、和C半径不同，但固定在同一转动轴上，其半径之比为RBRC32，A轮的半径大小与C轮相同，它与B轮紧靠在一起，当A轮绕过其中心的竖直轴转动时，由于摩擦作用，B轮也随之无滑动地转动起来。a、b、c分别为三轮边缘的三个点，则a、b、c三点在运动过程中的()A线速度大小之比为322B角速度之比为332C转速之比为232D向心加速度大小之比为964答案D解析A、B轮摩擦传动，故vavb，aRAbRB，ab32；B、C同轴，故bc，vbvc32，因此vavbvc332，abc322，故A、B错误。转速之比等于角速度之比，故C错误。由av得：aaabac964，D正确。3如图所示，一根细线下端拴一个金属小球
15、P，细线的上端固定在金属块Q上，Q放在带小孔(小孔光滑)的水平桌面上，小球在某一水平面内做匀速圆周运动(圆锥摆)。现使小球改到一个更高一些的水平面上做匀速圆周运动(图中P位置)，两次金属块Q都静止在桌面上的同一点，则后一种情况与原来相比较，下面的判断中正确的是()A细线所受的拉力变小B小球P运动的角速度变小CQ受到桌面的静摩擦力变大DQ受到桌面的支持力变大答案C解析金属块Q在桌面上保持静止，根据平衡条件知，Q受到桌面的支持力等于其重力，保持不变，故D错误。设细线与竖直方向的夹角为，细线的拉力大小为FT，细线的长度为L，P球做匀速圆周运动时，由重力和细线拉力的合力提供向心力，如图，则有FT，Fn
16、mgtanm2Lsin，得角速度 ，使小球改到一个更高一些的水平面上做匀速圆周运动时，增大，cos减小，则得到细线拉力FT增大，角速度增大，A、B错误。对Q，由平衡条件知，Q受到桌面的静摩擦力变大，故C正确。考法综述本考点既是曲线运动的两类典型运动之一，又是运用万有引力定律和航天的基础，所以是本专题的重点。命题的重点是向心力公式的理解和应用，在选择题和计算题中都有涉及。高考中既有单独命题，也有与平抛运动、功能关系、电场、磁场等知识相结合的交汇命题，难度较高。通过复习应掌握：5个概念线速度、角速度、向心加速度、向心力、周期4类问题火车转弯问题、汽车过桥问题、圆锥筒问题、圆锥摆问题3种运动圆周运动
17、、离心运动、近心运动2种模型竖直面内的“轻杆”和“轻绳”模型1种方法解决圆周运动问题的基本方法命题法1圆周运动中各物理量间的关系典例1如图所示，一种向自行车车灯供电的小发电机的上端有一半径r01.0 cm的摩擦小轮，小轮与自行车车轮的边缘接触。当车轮转动时，因摩擦而带动小轮转动，从而为发电机提供动力，自行车车轮的半径R135 cm，小齿轮的半径R24.0 cm，大齿轮的半径R310.0 cm。求大齿轮的转速n1与摩擦小轮的转速n2之比。(假定摩擦小轮与自行车车轮之间无相对滑动)答案2175解析大小齿轮间、摩擦小轮和车轮间与皮带传动原理相同，两轮边缘各点的线速度大小相等，由v2nr可知转速n和半
18、径r成反比；小齿轮和车轮同轴转动，两轮上各点的转速相同。大齿轮与小齿轮转速的关系：n1n小R2R3车轮与小齿轮转速的关系：n车n小车轮与摩擦小轮转速的关系：n车n2r0R1由以上各式可求出大齿轮与摩擦小轮的转速之比：n1n22175【解题法】分析圆周运动中各物理量关系的解题方法在讨论v、r、a、T的关系时，应采用控制变量法，即保持其中一个量不变来讨论另外两个量的关系，用到的公式有vr，ar2vr。命题法2圆周运动的动力学分析典例2如图所示，半径为R的半球形陶罐，固定在可以绕竖直轴旋转的水平转台上，转台转轴与过陶罐球心O的对称轴OO重合。转台以一定角速度匀速旋转，一质量为m的小物块落入陶罐内，经
19、过一段时间后，小物块随陶罐一起转动且相对罐壁静止，它和O点的连线与OO之间的夹角为60。重力加速度大小为g。(1)若0，小物块受到的摩擦力恰好为零，求0；(2)若(1k)0，且0k1，求小物块受到的摩擦力大小和方向。答案(1) (2)当(1k)0时，摩擦力方向沿陶罐壁切线向下，大小为fmg；当(1k)0时，摩擦力方向沿陶罐壁切线向上，大小为fmg解析(1)小物块在水平面内做匀速圆周运动，当小物块受到的摩擦力恰好等于零时，小物块所受的重力和陶罐的支持力的合力提供圆周运动的向心力，有mgtanmRsin，代入数据得0。(2)当(1k)0时，小物块受到的摩擦力沿陶罐壁切线向下，设摩擦力的大小为f，陶
20、罐壁对小物块的支持力为FN，沿水平和竖直方向建立坐标系，则水平方向有FNsinfcosm2Rsin，竖直方向有FNcosfsinmg0。代入数据解得fmg。同理，当(1k)0时，小物块受到的摩擦力沿陶罐壁切线向上，则水平方向有FNsinfcosm2Rsin，竖直方向有FNcosfsinmg0。代入数据解得fmg。【解题法】解决动力学问题要注意的三个方面(1)几何关系的分析：目的是确定圆周运动的圆心、半径等。(2)运动分析：目的是确定圆周运动的线速度、角速度。(3)受力分析：目的是利用力的合成与分解知识，表示出物体做圆周运动时，外界所提供的向心力。命题法3圆周运动的典型问题典例3(多选)杂技表演
21、“飞车走壁”的演员骑着摩托车飞驶在光滑的圆台形筒壁上，筒的轴线垂直于水平面，筒固定不动，演员和摩托车的总质量为m，先后在A、B两处紧贴着内壁分别在图中虚线所示的水平面内做匀速圆周运动，则()AA处的线速度大于B处的线速度BA处的角速度小于B处的角速度CA处对筒的压力大于B处对筒的压力DA处的向心力等于B处的向心力答案ABD解析 第一步四确定：研究对象为演员和摩托车看成一个系统；其轨道平面均是水平的；其轨道的圆心均在筒的轴线上；其向心力均在各自的水平轨道平面内指向各自圆心。第二步受力分析：系统在A、B处的受力如图所示。第三步列方程：由于系统的向心力都来自重力mg和支持力FN的合力F合(或支持力F
22、N在指向圆心方向的分力)，由图得F合mgtan。FA向心FB向心mgtan，比较线速度时，选用F向心分析得：r大，v一定大，选项A正确；比较角速度时，选用F向心m2r分析得：r大，一定小，选项B正确；由图得知，A、B处的支持力FN都是等于，选项C错误；A、B处的向心力相等，选项D正确。【解题法】解决圆周运动问题的主要步骤(1)审清题意，确定研究对象。明确物体做圆周运动的平面很关键。(2)分析物体的运动情况，即物体的线速度、角速度、周期、轨道平面、圆心、半径等。(3)分析物体的受力情况，画出受力示意图，确定向心力的来源。(4)据牛顿运动定律及向心力公式列方程。(5)求解、讨论。命题法4圆周运动的
23、综合问题典例4如图所示，半径为、质量为m的小球用两根不可伸长的轻绳a、b连接，两轻绳的另一端系在一根竖直杆的A、B两点上，A、B两点相距为l，当两轻绳伸直后，A、B两点到球心的距离均为l。当竖直杆以自己为轴转动并达到稳定时(轻绳a、b与杆在同一竖直平面内)。求：(1)竖直杆角速度为多大时，小球恰好离开竖直杆；(2)轻绳a的张力Fa与竖直杆转动的角速度之间的关系。答案见解析解析(1)小球恰好离开竖直杆时，小球与竖直杆间的作用力为零，设此时轻绳a与竖直杆间的夹角为，由题意可知sin，r沿半径：Fasinm2r垂直半径：Facosmg联立解得2。(2)由(1)可知02时，Famg若角速度再增大，小球
24、将离开竖直杆，在轻绳b恰伸直前，设轻绳a与竖直杆的夹角为，此时小球做圆周运动的半径为rlsin沿半径：Fasinm2r垂直半径：Facosmg联立解得Fam2l当轻绳b恰伸直时，60，此时 故有当2 ，b绳将出现弹力D若b绳突然被剪断，则a绳的弹力一定发生变化答案AC解析对小球受力分析可得a绳的弹力在竖直方向的分力平衡了小球的重力，解得Ta，为定值，A正确，B错误。当Tacosm2l 时，b绳的弹力为零，若角速度大于该值，则b绳将出现弹力，C正确。由于绳b可能没有弹力，故绳b突然被剪断，则a绳的弹力可能不变，D错误。7如图所示，在半径为R的半圆形碗的光滑表面上，一质量为m的小球以转速n转每秒在
25、水平面内做匀速圆周运动，该平面离碗底的距离h为()AR B.C.R D.答案A解析小球靠重力和支持力的合力提供向心力，如图所示，小球做圆周运动的半径为rRsin。根据受力图可知tan，而向心力F向m2Rsin，解得cos。所以hRRcosRRR，选项A正确。8一转动装置如图所示，四根轻杆OA、OC、AB和CB与两小球及一小环通过铰链连接，轻杆长均为l，球和环的质量均为m，O端固定在竖直的轻质转轴上。套在转轴上的轻质弹簧连接在O与小环之间，原长为L。装置静止时，弹簧长为L。转动该装置并缓慢增大转速，小环缓慢上升。弹簧始终在弹性限度内，忽略一切摩擦和空气阻力，重力加速度为g。求：(1)弹簧的劲度系
26、数k；(2)AB杆中弹力为零时，装置转动的角速度0；(3)弹簧长度从L缓慢缩短为L的过程中，外界对转动装置所做的功W。答案(1)(2) (3)mgL解析(1)装置静止时，设OA、AB杆中的弹力分别为F1、T1、OA杆与转轴的夹角为1。小环受到弹簧的弹力F弹1k小环受力平衡，F弹1mg2T1cos1小球受力平衡，F1cos1T1cos1mgF1sin1T1sin1解得k(2)设OA、AB杆中的弹力分别为F2、T2，OA杆与转轴的夹角为2，弹簧长度为x。小环受到弹簧的弹力F弹2k(xL)小环受力平衡F弹2mg得xL对小球F2cos2mgF2sin2mlsin2且cos2解得0 (3)弹簧长度为L时
27、，设OA、AB杆中的弹力分别为F3、T3 ，OA杆与弹簧的夹角为3。小环受到弹簧的弹力F弹3kL小环受力平衡2T3cos3mgF弹3且cos3对小球F3cos3T3cos3mgF3sin3T3sin3mlsin3解得3 整个过程弹簧弹性势能变化为零，则弹力做的功为零，由动能定理Wmg2mg2m(3lsin3)2解得WmgL1模型概述在竖直平面内做圆周运动的物体，运动至轨道最高点时的受力情况可分为两类。一是无支撑(如球与绳连接，沿内轨道的“过山车”等)，称为“轻绳模型”；二是有支撑(如球与杆连接，小球在弯管内运动等)，称为“轻杆模型”。2模型特点(1)物体在竖直平面内做变速圆周运动。(2)“轻绳
28、模型”在轨道最高点无支撑，“轻杆模型”在轨道最高点有支撑。3模型的比较与对照这两类模型常伴有“最大”“最小”“刚好”等词语，是典型的涉及临界(极值)的问题，现对两种模型分析比较如下：【典例】长L0.5 m质量可忽略的细杆，其一端可绕O点在竖直平面内无摩擦地转动，另一端固定着一个小球A。A的质量为m2 kg，如图所示，求在下列两种情况下，球在最高点时杆对小球的作用力：(1)A在最低点的速率为 m/s；(2)A在最低点的速率为6 m/s。解析设小球在最高点速度为v，对小球A由最低点到最高点过程，取圆周的最低点为参考平面，由机械能守恒定律得mv2mg2Lmv在最高点，假设细杆对A的弹力F向下，则A的
29、受力图如图所示。以A为研究对象，由牛顿第二定律得mgFm 所以Fm(1)当v0 m/s时，由式得v1 m/sF2 N16 N负值说明F的实际方向与假设向下的方向相反，即杆给A向上16 N的支持力。(2)当v06 m/s时，由式得v4 m/s F2 N44 N正值说明杆对A施加的是向下44 N的拉力。答案 (1)16 N方向向上 (2)44 N方向向下心得体会曲线运动是动力学中综合性较强的部分，是中学阶段研究的较为复杂的运动，而在高考命题中，又往往与实际应用及生产、生活、科技相联系，一部分同学不能建立起正确的物理情景，妨碍了解题。质量为m的飞机以恒定速率v在空中水平盘旋(如图所示)，其做匀速圆周运动的半径为R，重力加速度为g，则此时空气对飞机的作用力大小为()AmBmgCm Dm错解一错解二错因分析本题错误的原因：一是不能正确建立飞机运动的模型(实质上是圆锥摆模型)。二是不能正确分析物体的受力，找不对向心力的来源。正解 飞机在空中水平盘旋时在水平面内做匀速圆周运动，受到重力和空气的作用力两个力的作用，其合力提供向心力Fnm。飞机受力情况示意如图所示，根据勾股定理得：Fm。答案为C。答案C心得体会
