1、第二十四讲平面向量的基本定理及坐标表示1共 44 页回归课本2共 44 页1.平面向量基本定理及坐标表示(1)平面向量基本定理定理:如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数1、2,使a=1e1+2e2.其中,不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.3共 44 页(2)平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量正交分解.(3)平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中,分别取与x轴y轴方向相同的两个单位向量e1,e2作为基底.对于平面内的一个向量a,有且只有一对实数a1、a2,使a=a1e1+a2e2.把有序
2、数对(a1,a2)叫做向量a的坐标,记作a=(a1,a2),其中a1叫a在x轴上的坐标,a2叫a在y轴上的坐标.4共 44 页设=a1e1+a2e2,则向量的坐标(a1,a2)就是终点A的坐标,即若=(a1,a2),则A点坐标为(a1,a2),反之亦成立(O是坐标原点).5共 44 页2.平面向量的坐标运算(1)加法减法数乘运算向量aba+ba-ba坐标(x1,y1)(x2,y2)(x1+x2,y1+y2)(x1-x2,y1-y2)(x1,y1)6共 44 页(2)向量坐标的求法已知A(x1,y1),B(x2,y2),则=(x2-x1,y2-y1),即一个向量的坐标等于该向量终点的坐标减去始点
3、的坐标.(3)平面向量共线的坐标表示设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b0,则a与b共线a=bx1y2-x2y1=0.7共 44 页考点陪练8共 44 页1.下列各组向量中,可以作为基底的是()A.e1=(0,0),e2=(1,-2)B.e1=(-1,2),e2=(5,7)C.e1=(3,5),e2=(6,10)D.e1=(2,-3),e2=9共 44 页解析:根据基底的定义知,非零且不共线的两个向量才可以作为平面内的一组基底.A中显然e1e2;C中e2=2e1,所以e1e2;D中e1=4e2,所以e1e2.答案:B10共 44 页2.已知a=(-2,3),b=(1,5),则3a+
4、b等于()A.(-5,14)B.(5,14)C.(7,4)D.(5,9)解析:3a+b=3(-2,3)+(1,5)=(-6,9)+(1,5)=(-5,14).答案:A11共 44 页3.设a=(1,-2),b=(-3,4),c=(3,2),则(a+2b)c=()A.(-15,12)B.0C.-3D.-11解析:a+2b=(1,-2)+2(-3,4)=(-5,6),(a+2b)c=-3.答案:C12共 44 页13共 44 页答案:214共 44 页类型一平面向量基本定理的应用解题准备:已知e1,e2是平面的一组基底,如果向量a,e1,e2共面,那么有且只有一对实数1,2,使a=1e1+2e2.
5、反之,如果有且只有一对实数1,2,使a=1e1+2e2,那么a,e1,e2共面.这是平面向量基本定理的一个主要考查点,也是高考本部分知识考查的重点内容.15共 44 页16共 44 页17共 44 页18共 44 页反思感悟(1)本题先利用平面向量基本定理设出未知向量,然后利用共线向量的条件列出方程组,通过待定系数法从而确定参数的值.(2)由平面向量基本定理知:平面内的任一向量都可用两个不共线的向量惟一表示,根据向量的加法和减法法则及几何性质即可解题.19共 44 页类型二平面向量的坐标运算解题准备:向量的坐标运算,使得向量的线性运算都可用坐标来进行,实现了向量运算完全代数化,将数与形紧密结合
6、起来,就可以使很多几何问题的解答转化为我们熟知的数量运算.20共 44 页21共 44 页22共 44 页反思感悟由ABC三点坐标易求得坐标,再根据向量坐标的定义就可以求出MN的坐标.向量的坐标是向量的另一种表示形式,它只与起点终点相对位置有关,三者中给出任意两个,可求第三个.在求解时,应将向量坐标看作一“整体”,运用方程的思想求解.向量的坐标运算是向量中最常用也是最基本的运算,必须灵活应用.23共 44 页类型三平面向量共线的坐标表示解题准备:两平面向量共线的充要条件有两种形式:若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab的充要条件是x1y2-x2y1=0;若ab(a0),则b=a.24
7、共 44 页【典例3】平面内给定三个向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1),回答下列问题:(1)求3a+b-2c;(2)求满足a=mb+nc的实数m,n;(3)若(a+kc)(2b-a),求k;(4)若(d-c)(a+b),且|d-c|=1,求d.25共 44 页分析(1)直接用向量加减法的坐标运算公式.(2)借助于向量相等的条件,建立关于m,n的方程组.(3)利用向量共线的充要条件,建立关于实数k的充要条件.(4)利用(d-c)(a+b)及|d-c|=1建立关于x,y的方程组.26共 44 页解(1)3a+b-2c=3(3,2)+(-1,2)-2(4,1)=(9,6)+(-1,
8、2)-(8,2)=(9-1-8,6+2-2)=(0,6).(2)a=mb+nc,(3,2)=m(-1,2)+n(4,1)=(-m+4n,2m+n),27共 44 页(3)(a+kc)(2b-a),又a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2),2(3+4k)-(-5)(2+k)=0,k=(4)设d=(x,y),d-c=(x-4,y-1),a+b=(2,4).又(d-c)(a+b)且|d-c|=1,28共 44 页29共 44 页反思感悟向量的坐标表示实际上就是向量的代数表示.在引入向量的坐标表示后,可以使向量的运算完全化为代数运算.这样就可以将“形”和“数”紧密结合在一起.因此,很多
9、几何问题,特别是共线共点等较难问题的证明,通过建立坐标系,设出点的坐标就可转化为坐标运算来解决.如:要证平行,只需相关向量共线,要证垂直,只需相关向量数量积等于0.30共 44 页错源一遗漏零向量【典例1】若a=(3,2-m)与b=(m,-m)平行,求m的值.错解因为b=(m,-m)=m(1,-1),令c=(1,-1),bc,又ab,所以ac,即3(-1)-1(2-m)=0,解得m=5.31共 44 页剖析零向量与任一向量平行,当m=0时,b为零向量,也与a平行.正解由ab,得-3m-m(2-m)=0,即m2-5m=0,解得m=5或m=0,所以m的值为0或5.评析零向量与任一向量都是平行(共线
10、)向量,这是在解题中常常容易被忽视的.32共 44 页错源二忽视平面向量基本定理的使用条件致误剖析本题可以根据向量共线的充要条件列出等式解决,但在得出等式后根据平面向量基本定理列式解决时,容易忽视平面向量基本定理的使用条件,出现漏解,漏掉了当a,b共线时,t可为任意实数这个解.33共 44 页正解由题设知,=d-c=2b-3a,=e-c=(t-3)a+tb,C,D,E三点在一条直线上的充要条件是存在实数k,使得即(t-3)a+tb=-3ka+2kb,整理得(t-3+3k)a=(2k-t)b.34共 44 页若a,b共线,则t可为任意实数;若a,b不共线,则有解之得综上,a,b共线时,t可为任意
11、实数;a,b不共线时35共 44 页评析平面向量基本定理如果e1,e2是一平面内的两个不共线向量,那么对该平面内的任一向量a,有且只有一对实数12,使a=1e1+2e2,特别地,当a=0时,1=2=0,本题在a,b不共线时,就是根据这个定理得出的方程组.在平面向量的知识体系里,平面向量基本定理是基石,共线向量定理是重要工具,在复习这部分时要充分注意这两个定理在解决问题中的作用,在使用平面向量基本定理时要注意其使用是两个基向量不共线.36共 44 页技法一基向量法【典例1】在下图中,对于平行四边形ABCD,点M是AB的中点,点N在BD上,且.求证:M、N、C三点共线.37共 44 页38共 44 页39共 44 页技法二方程的思想40共 44 页41共 44 页方法与技巧重视平面向量基本定理的应用,同时体现了方程的思想,用对应系数相等建立方程组.42共 44 页技法三函数的思想【典例3】已知a=(-3,2),b=(2,1),求|a+tb|(tR)的最小值及相应的t值.43共 44 页方法与技巧实质上是利用配方法求|a+tb|的最小值.44共 44 页
