1、第十九讲三角恒等变换1共 55 页回归课本2共 55 页1.三角恒等变换主要包括角的变换函数名称的变换常数的变换幂的变换和式子结构的变换.3共 55 页4共 55 页5共 55 页3.万能公式6共 55 页4.积化和差公式(1)sincos=sin(+)+sin(-);(2)cossin=sin(+)-sin(-);(3)coscos=cos(+)+cos(-);(4)sinsin=-cos(+)-cos(-).7共 55 页5.和差化积公式(1)sin+sin=2sin(2)sin-sin=2cos(3)cos+cos=2cos(4)cos-cos=-2sin8共 55 页考点陪练9共 55
2、 页答案:B10共 55 页答案:A11共 55 页12共 55 页答案:C13共 55 页4.若f(sinx)=3-cos2x,则f(cosx)等于()A.3-cos2xB.3-sin2xC.3+cos2xD.3+sin2x解析:f(sinx)=2+2sin2x,f(x)=2+2x2.f(cosx)=2+2cos2x=3+cos2x.答案:C14共 55 页答案:215共 55 页类型一三角函数式的化简解题准备:化简三角函数式常有两种思路:一是角的变换(即将多种形式的角尽量统一减少角的个数);二是三角函数名称的变换(即尽量减少统一函数名称,如“切化弦”).具体问题中可双管齐下,整体变换.16
3、共 55 页17共 55 页18共 55 页反思感悟三角函数式的化简原则:尽量使函数种类最少,次数相对较低,项数最少,尽量使分母不含三角函数,尽量去掉根号或减少根号的层次,能求出具体值的应求出其值.19共 55 页类型二三角函数式的求值解题准备:三角函数式的求值三角函数的求值主要有三种类型,即给角求值给值求值给值求角.给角求值的关键是正确地选用公式,以便把非特殊角的三角函数相约或相消,从而化为特殊角的三角函数.20共 55 页给值求值的关键是找出已知式与欲求式之间的联系及函数的差异,一般可以适当变换已知式,求得另外函数式的值,以备应用.同时也要注意变换欲求式,便于将已知式求得的函数值代入,从而
4、达到解题的目的.给值求角关键是先求出该角的某一三角函数式的值,其次判断该角在对应区间的单调性,从而达到解题的目的.21共 55 页22共 55 页23共 55 页24共 55 页反思感悟给值求值问题是给出某个角(或两个角)的三角函数(式)的值,要求其他角的三角函数值.解决此类问题的关键是利用角的变换,把待求角用已知角表示出来,利用两角和差或倍角公式把待求角的三角函数值求出,如果条件所给的式子比较复杂,则需先将其化简.在三角函数求值过程中,同角三角函数关系式及两角和与差的三角函数公式是常用工具.25共 55 页类型三已知三角函数值求角解题准备:已知三角函数值求角,一般可分以下三个步骤:第一,定角
5、的范围,很多时候我们需要根据题中给出的三角函数值或中间结果中的三角函数值进一步缩小角的范围;第二,求角的某一个三角函数值(要求该三角函数应在角的范围内严格单调);第三,根据角的范围写出所求的角.其中在第二步中,具体选用哪个三角函数,一般可由条件中的函数确定,一般已知正切函数值,选正切函数;已知正余弦函数值,选正余弦函数;26共 55 页若角的范围是正余弦函数均可;若角的范围是(0,),一般选余弦函数;若角的范围是则一般选正弦函数等.27共 55 页28共 55 页答案A29共 55 页类型四三角函数式的证明解题准备:三角恒等式的证明主要有两种类型:绝对恒等式与条件恒等式.证明绝对恒等式要根据等
6、式两边的特征,化繁为简,左右归一,变更论证,通过三角恒等式变换,使等式的两边化异为同.条件恒等式的证明则要认真观察,比较已知条件与求证等式之间的联系,选择适当途径对条件等式进行变形,直到得到所证等式,或者将欲证等式及条件进行变式,创造机会代入条件,最终推导出所证等式.30共 55 页31共 55 页错源一合理运用公式的能力差32共 55 页错解由sin+cos=得(sin+cos)2=1+sin2=所以sin2=.因为0,所以022.由sin22+cos22=1得cos2=故选C.剖析由于选择了sin22+cos22=1,求cos2的值时符号不能确定,造成解题错误.33共 55 页正解由sin
7、+cos=得(sin+cos)2=1+sin2=所以sin2=.因为sin2=2sincos0,且0,所以0.因为(sin-cos)2=1-sin2=,所以sin-cos=34共 55 页由得:sin2-cos2=,即cos2=cos2-sin2=故选B.答案B35共 55 页错源二忽视角的范围【典例2】若、是锐角,且sin-sin=-,cos-cos=,求tan(-).36共 55 页37共 55 页38共 55 页39共 55 页技法三角恒等变换的六种意识一降幂意识主要针对sinx,cosx出现高次幂的情况,常常通过配方或者利用倍角公式进行求解.40共 55 页【典例1】当+=30时,求s
8、in2+cos2+cossin的值.41共 55 页二统一意识三角变换的实质归结到一点就是化异为同.解三角题时,应敏锐地观察题目中角名称运算等之间的差异,然后设法消除差异实现统一.42共 55 页【典例2】已知sin(2+)+2sin=0,且coscos(+)0,求证:tan=3tan(+).证明因为2+=+,=+-,所以sin(+)+2sin(+-)=0,即sin(+)cos+cos(+)sin+2sin(+)cos-2cos(+)sin=0,所以3sin(+)cos=cos(+)sin,又因为coscos(+)0,可两边同时除以coscos(+)即可得证.43共 55 页三整体意识如果所涉
9、及的三角问题中已知式和待求式的结构类似,则可用整体代换,即把已知式或待求式视为一个整体进行变形替换.44共 55 页【典例3】化简:cos2(+15)+cos2(-15)-cos2.解题切入点由于观察到此式中的角出现+15,-15与2,要达到角的统一,需将角+15,-15向角2进行转化,因此,可考虑二倍角的变形公式.45共 55 页46共 55 页四代换意识代换是解三角题经常用到的技巧,如特殊值与三角函数的代换1的代换等,恰当地进行代换有利于迅速解题,又如在一个函数式中同时出现sinxcosx与sinxcosx,可考虑设t=sinxcosx等.47共 55 页48共 55 页49共 55 页五消元意识消元法在解三角题中有着广泛的应用,如给角求值时,消去非特殊角;证明条件等式时,消去结论中不含的角或函数等.50共 55 页解题切入点此题各式间的差异较大,不仅角之间有差异,而且函数名及结构之间也存在较大的差异,为此,我们要重点抓住某一特征差异进行分析,以求突破.51共 55 页52共 55 页六配凑意识为利用公式而配因子,为利用已知角而凑角,这些都是解三角题的常用手段.53共 55 页54共 55 页55共 55 页
