1、第二节 柯西不等式与排序不等式、数学归纳法证明不等式1.了解柯西不等式的几种形式，理解它们的几何意义，并会证明2会用参数配方法讨论柯西不等式的一般形式3会用向量递归方法讨论排序不等式4会用数学归纳法证明贝努利不等式5会用上述不等式证明一些简单问题1柯西不等式定理1：(二维形式的柯西不等式)若a，b，c，dR，则(a2b2)(c2d2)，当且仅当adbc时，等号成立定理2：(柯西不等式的向量形式)设，是两个向量，则|，当且仅当是零向量，或存在实数k，使k时，等号成立(acbd)2|定理4.(一般形式的柯西不等式)设a1，a2，a3，an，b1，b2，b3，bn是实数，则(a12a22an2)(b
2、12b22bn2)，当且仅当bi0(i1,2，n)或存在一个数k，使得aikbi(i1,2，n)时，等号成立(a1b1a2b2anbn)22排序不等式定 理：(排 序 不 等 式，又 称 排 序 定 理)设 a1a2an，b1b2bn为两组实数，c1，c2，cn是b1，b2，bn的任一排列，那么a1c1 a2c2 ancn，当且仅当a1a2an或b1b2bn时，反序和等于顺序和a1bna2bn1anb1a1b1a2b2anbn3数学归纳法当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时，可以用以下两个步骤：(1)证明当n时命题成立；(2)假设当 n(kN*，且 kn0)时 命 题
3、成 立，证 明 n时命题也成立在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对不小于n0的所有正整数都成立这种证明方法称为数学归纳法k1n0k1x，yR，且x2y210，则2xy的取值范围为_2若实数x，y，z满足x2y3za(a为常数)，则x2y2z2的最小值为_3已知x24y2kz236(其中k0)，且txyz的最大值是7，则k_.答案：94设x，yR，已知x2y252，则2x3y的取值范围为_解析：(x2y2)(2232)(2x3y)2，262x3y26.答案：26,26答案：8热点之一 柯西不等式的应用 柯西不等式是非常重要的不等式，灵活巧妙地运用它，可以使一些较困难的问题迎刃而解例1若3x4y
4、2，试求x2y2的最小值思维拓展利用柯西不等式求最值，实质上就是利用柯西不等式进行放缩，放缩不当则等号可能不成立，因此不能忘记检验等号成立的条件热点之二 排序不等式的应用 在利用排序不等式证明有关问题时，必须构造出两个合适的有序数组，排序不等式的应用是考查的重点思维拓展应用排序原理证明不等式的关键是找出两组有序数组，通常可以从函数单调性去寻找热点之三 用数学归纳法证明不等式用数学归纳法证明时，关键是利用nk的假设，且要注意两边的项数，用数学归纳法证明等式(或不等式)是高考考查的热点本部分内容主要以数学归纳法为主，常与数列、函数、不等式相结合，为高考的重点、热点，而排序不等式和柯西不等式为新课标中新增内容，在高考中还未出现过，但不排除以后考查的可能性(2009山东)等比数列an的前n项和为Sn.已知对任意的nN*，点(n，Sn)均在函数ybxr(b0且b1，b，r均为常数)的图象上(1)求r的值；(2)当b2时，记bn2(log2an1)(nN*)
