1、浙江省嘉兴 2022高三学年第一学期期中考试数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知集合，2，3，则AB，C，3，D，2，2已知，则ABCD3设、是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列为命题为假命题的是A若，则B若，则C若，则D若，则4已知，则“”是“恒成立”的A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件5若是圆上任一点，则点到直线距离的值不可能等于A4B6CD86已知数列的前项和为，且满足，则ABCD7若函数在处取得极值2，则ABC0D28若，且，则的最小值为A2BCD二、选择题：（多选）本题
2、共4个小题，每小题5分，共20分。在每一小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有错选了得0分。9已知平面直角坐标系中四点，为坐标原点，则下列叙述正确的是 A B若，则C当时，三点共线 D若与的夹角为锐角，则10直线与抛物线相交于，若，则 A直线斜率为定值B直线经过定点C面积最小值为4D11在棱长为1的正方体中，点是的中点，点，在底面四边形内（包括边界），平面，点到平面的距离等于它到点的距离，则 A点的轨迹的长度为B点的轨迹的长度为C长度的最小值为D长度的最小值为12若对任意，不等式恒成立，则实数可能为 ABCD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
3、13函数在区间上的值域是 14已知的展开式中的系数是20，则实数 15在四面体中，且，异面直线，所成角为，则该四面体外接球的表面积为 16设点，在椭圆上，点，在直线上，则的最小值为 四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17在锐角中，内角，所对的边分别为，已知，（1）求角的大小；（2）求的取值范围18已知数列中，点对任意的，都有，数列满足，其中为的前项和（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和19已知正三棱柱中，是棱上一点（1）若，求直线与平面所成角的正弦值；（2）若是中点，求点到平面的距离20根据中国海洋生态环境状况公报，从2017年到2021年全国直排
4、海污染物中各年份的氨氮总量（单位：千吨）与年份的散点图如下：记年份代码为，2，3，4，对数据处理后得：60.51.52107617（1）根据散点图判断，模型与模型哪一个适宜作为关于的回归方程？（给出判断即可，不必说明理由）（2）根据（1）的判断结果，建立关于的回归方程，并预测2022年全国直排海污染物中的氨氮总量（计算结果精确到整数)参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，21已知双曲线，为坐标原点，离心率，点在双曲线上（1）求双曲线的方程；（2）若直线与双曲线的左、右两支分别交于点，且，求的最小值22已知函数（1）若，求曲线在点，（1）处的切线方程；（2）若有两个极值点，且
5、不等式恒成立，求实数的取值范围数学参考答案与试题解析一选择题（共8小题）1已知集合，2，3，则AB，C，3，D，2，【解答】解：由集合，2，3，故选：2已知，则ABCD【解答】解：，故选：3设、是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列为假命题的是A若，则B若，则C若，则D若，则【解答】解：若，则与平行于的所有直线垂直，又，则，故为真命题；若，过的平面与交于，可得，又，过的平面与交于，可得，则，则，而，可得，则，故为真命题；若，则或，故为假命题；若，则，又，则，故为真命题故选：4已知，则“”是“恒成立”的A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【解答】解：函数的值域为，
6、则当时，不恒成立，要使恒成立，则，故是恒成立的必要不充分条件，故选：5若是圆上任一点，则点到直线距离的值不可能等于A4B6CD8【解答】解：因为直线恒过定点点，当直线与 垂直时，点到直线距离最大，等于，又因为圆心坐标为：，半径为1，所以距离最大为，当直线与圆有交点时距离最小为0，所以点到直线距离的范围是：，故选：6已知数列的前项和为，且满足，则ABCD【解答】解：数列的前项和为，且满足，所以，可得，可得，则故选：7若函数在处取得极值2，则ABC0D2【解答】解：，又函数在处取得极值2，则（1），且（1），所以，故选：8若，且，则的最小值为A2BCD【解答】解：（法一）可变形为，所以，当且仅当即
7、，时取等号，（法二）原式可得，则，当且仅当，即时取“”故选：二多选题（共4小题）9已知平面直角坐标系中四点，为坐标原点，则下列叙述正确的是A B若，则C当时，三点共线 D若与的夹角为锐角，则【解答】解：对于，故正确；对于，解得，故正确；对于，时，与不共线，即，三点共线，故错误；对于，与的夹角为锐角，即，当时，即，所以且，故错误故选：10直线与抛物线相交于，若，则A直线斜率为定值B直线经过定点C面积最小值为4D【解答】解：可设直线的方程为，与抛物线联立，可得，则，因为，所以，解得，则直线恒过定点，且；的面积为，当时，取得最小值4故选：11在棱长为1的正方体中，点是的中点，点，在底面四边形内（包括
8、边界），平面，点到平面的距离等于它到点的距离，则A点的轨迹的长度为B点的轨迹的长度为C长度的最小值为D长度的最小值为【解答】解：对于，对的中点，连接，则，平面，平面，又平面，平面，平面平面，又点在底面四边形内（包含边界），平面，点的轨迹为线段，点的轨迹的长度是，故错误；对于，连接，在底面上，解得，点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，如图，点的轨迹的长度为，故正确；对于，过点作于，交点的轨迹于，此时的长度就是长度的最小值， ，解得，长度的最小值为，故正确；对于，点到平面的距离等于它到点的距离，由正方体的特点得点到直线的距离等于点到平面的距离，点到直线的距离等于它到点的距离，根据抛物线的定义知点的轨
9、迹是以为焦点，以为准线的抛物线，以的中点为坐标原点，过点且垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系，如图，则， 0，直线的方程为，直线的方程为，则抛物线的方程为，设直线平行且与抛物线相切的直线的方程为，联立，整理得，解得，直线的方程为，则直线与直线的距离为，直线与直线的距离为，故正确故选：12若对任意，不等式恒成立，则实数可能为ABCD【解答】解：，即为，即，设，即有由的导数，因为，所以，在上递增，所以，即恒成立设，则，当时，递增；当时，递减，所以在处取得极小值，且为最小值，最小值为所以，故选：三填空题（共4小题）13函数在区间上的值域是，【解答】解：由于，所以，故，故即函数的值域为，故答案为：，
10、14已知的展开式中的系数是20，则实数【解答】解：的展开式中系数是，解得：故答案为：15在四面体中，且，异面直线，所成角为，则该四面体外接球的表面积为 或【解答】解：将四面体放到长方体中，则在长方体的后侧面内，异面直线，所成角为，或，即为图中或，设中点为，四面体的外接球的球心为，球的半径，则由对称性可知：球心在过且垂直于平面的垂线上，并且，建立如图的空间右手直角坐标系，设，1，又，0，0，0，或，解得或，或，该四面体外接球的表面积为或故答案为：或16设点，在椭圆上，点，在直线上，则的最小值为 2【解答】解：设，则，当且仅当，时取最小值，即时，；故的最小值为2，故答案为：2四解答题（共6小题）1
11、7在锐角中，内角，所对的边分别为，已知，（1）求角的大小；（2）求的取值范围【解答】解：（1），（2）由正弦定理得，当且仅当，18已知数列中，点对任意的，都有，数列满足，其中为的前项和（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和【解答】解：（1），可得，是公差为2的等差数列，；（2）由（1）可得，19如图，已知正三棱柱中，是棱上一点（1）若，求直线与平面所成角的大小；（2）若是中点，求点到平面的距离【解答】解：（1）在侧面内作，交棱于点因是正三棱柱，故平面，从而平面联结，则为所求线面角，另一方面，由且得，故在中，由余弦定理得，因为平面，而在平面内，所以于是，故直线与平面所成角的正弦值为（2）设所求
12、距离为，则而，故由题意得，故在中，由余弦定理得，从而，因此，故点到平面的距离20根据中国海洋生态环境状况公报，从2017年到2021年全国直排海污染物中各年份的氨氮总量（单位：千吨）与年份的散点图如下：记年份代码为，2，3，4，对数据处理后得：60.51.52107617（1）根据散点图判断，模型与模型哪一个适宜作为关于的回归方程？（给出判断即可，不必说明理由）（2）根据（1）的判断结果，建立关于的回归方程，并预测2022年全国直排海污染物中的氨氮总量（计算结果精确到整数)参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，【解答】解：（1）根据散点图的趋势，可知模型适宜作为关于的回归方
13、程（2）8，2，故关于的回归方程为，即关于的回归方程为，2022年对应的年份代码为，3，故预计2022年全国直排海污染物中的氨氮总量为3吨21已知双曲线，为坐标原点，离心率，点在双曲线上（1）求双曲线的方程；（2）如图，若直线与双曲线的左、右两支分别交于点，且，求的最小值【解答】解：（1）由离心率，点在双曲线上，可得，解得，可得；（2）由，可得，可设的方程为，的方程为，由解得，则，将上式中的换为，可得，所以，可令，则，所以，当即时，的最小值为2422已知函数（1）若，求曲线在点，（1）处的切线方程；（2）若有两个极值点，且不等式恒成立，求实数的取值范围【解答】解：（1）若，则，则切线的斜率为（1），又，所以曲线在点，（1）处的切线方程是，即；（2），由条件知，是方程的两个根，所以，则，所以设，分析可知的取值范围是，则，不等式恒成立，等价于恒成立，设，则恒成立，若，则，所以，在上单调递增，所以（1）恒成立，所以，符合题意；若，则在上单调递增，在上单调递减，所以当的取值范围是时，（1），不满足恒成立综上，实数的取值范围是，
