1、岳阳县一中2021年上学期高一期考数学试卷一、选择题：（共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 已知为虚数单位，则复平面上对应的点在（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2. 若为单位向量，当向量，的夹角等于时，向量在向量上的投影向量为（ ）A. B. C. D. 3. 设，记，则，的大小关系为（ ）A. B. C. D. 4. 从分别写有“1，2，3，4，5”的5张卡片中，随机抽取一张不放回，再随机抽取一张，则抽得的两张卡片上的数字一个是奇数一个是偶数的概率是（ ）A. B. C. D. 5. 在中，若，则外接圆的直径为（ ）A. B. C
2、. 12D. 246. 九章算术中所述“羡除”，是指如图所示五面体，其中，“羡除”形似“楔体”.“广”是指“羡除”的三条平行侧棱之长，、“深”是指一条侧棱到另两条侧棱所在平面的距离、“袤”是指这两条侧棱所在平行直线之间的距离（如图）.已知，则此“羡除”的体积为（ ）A. 2B. 3C. D. 7. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）A. 的图象关于点对称B. 在上的值域为C. 若，则，D. 将的图象向右平移个单位得的图象8. 已知球的半径，三棱锥内接于球，平面，且，则三棱锥的体积为（ ）A. B. C. D. 二、选择题：（共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，
3、有选错的得0分，部分选对的得2分）9. 某集团公可经过五年的产业结构调整优化产业结构使集团营业收入不断增长，公司今年的年收入比五年前翻了两番.为了更好地分析各工厂的产值变化情况，统计前后产值占比情况，得到如图所示的饼图：则下列结论正确的是（ ）A. 产业结构调整后生物制药的收入增幅最快B. 产业结构调整后食品加工的收入是超过调整前金融产业的收入C. 产业结构调整后机械加工的收入是五年前的总收入D. 产业结构调整后金融产业收入相比调整前金融产业收入略有降低10. 已知平面向量，都是单位向量，且，则的值可能为（ ）A. 0B. 1C. -1D. 211. 已知函数，下面说法正确的有（ ）A. 的图
4、像关于原点对称B. 的图像关于轴对称C. 的值域为D. ，且，12. 如图，直角梯形中，是边中点，将沿翻折，得到四棱锥，在翻折的程中，下列说法正确的是（ ）A. 面B. C. 三棱锥体积的最大值是D. 点到面距离的最大值是三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 某校的书法绘画，乐器演奏，武术爱好三个兴趣小组的人数分别为600，400，300，若用分层抽样方法抽取名学生参加某项活动，已知从武术小组中抽取了6名学生，则的值为_.14. 甲乙两人进行兵乓球比赛，采取“5局3胜制”，每场比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且每场比赛的结果相互独立，则恰好4局决出胜负的概率为_.15.
5、若函数在上有零点，则实数的取值范围为_.16. 已知四面体中，二面角的大小为，且，则四面体体积的最大值是_.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知，.（1）若，求的坐标；（2）若与的夹角为，求.18. 设函数，其中.已知.（）求；（）将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求在上的最小值.19. 如图，直四棱柱的底面是菱形，、分别是、的中点.（1）证明：平面；（2）求点到平面的距离.20. 某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取
6、了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：，并整理得到如下频率分布直方图：（）从总体的400名学生中随机抽取一人估计其分数小于70的概率；（）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间内的人数；（）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分量不小于70的男女生人数相等，试估计总体中男生和女生人数的比例.21. 的内角，的对边分别为，已知的面积为.（1）求；（2）若，求的周长.22. 为了响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，王韦达同李大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业，经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为2万元，每生产万件，需另投入可变成本
7、万元，在年产量不足8万件时，（万元）；在年产量不小于8万件时，（万元）.每件产品售价为7元，假设小王生产的商品当年全部售完.（1）写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式（注：年利润年销售收入固定成本可变成本）；（2）年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？岳阳县一中2021年上学期高一期考数学试卷题号123456789101112答案AADBBADCABCABDACABD1.【详解】因为，所以，故选：A.2.【详解】向量在向量上的投影数量为，故选：A.3.【详解】因为，则，即，故选：D.4.【详解】根据题意可知，所有抽取结果如下：，共20种结果，故抽得
8、的两张卡片上的数字一个是奇数一个是偶数的概率为.故选：B.5.【详解】，所以外接圆的直径.故选：B.6.【详解】如图设，过点作，垂足分别为，.过点作，垂足分别为，.则将几何体分为，三部分，其中，为四棱锥，为直三棱柱.设，则，所以该几何体的体积为，故选：A.7.【详解】.令，则，故，故A项错误.当时，故B项错误，因为的周期，所以若，则，故C项错误，将的图象向右平移个单位得的图象，故D项正确.故选：D.8.【详解】设的外接圆圆心为，半径为，连接，则，即，解得.所以，所以，所以，所以.故选：C.9.【详解】公司今年的年收入比五年前翻了两番，设五年前年收入为，则今年的年收入为，根据饼形图得五年前金融产
9、业产值为，机械加工产业产值为，食品加工产业产值为，生物制药产业产值为，今年金融产业产值为，机械加工产业产值为，食品加工产业产值为，生物制药产业产值为，由以上数据计算得到产业结构调整后生物制约的收入增幅最快，故选项A正确；产业结构调整后食品加工产业收入的调整前金融产业收入的，故选项B正确；产业结构调整后机械加工的收入是五年前的总收入，故选项C正确；产业结构调整后金融产业收入相比调整前金融产业收入略有升高，故选项D错误.故选：ABC.10.【详解】因为平面向量，都是单位向量，且，所以不妨设，则，因为，所以，当时，取最大值为，当时，取最小值为，故选：ABD.11.【详解】对于选项A，定义域为，则，则
10、是奇函数，图象关于原点对称，故A正确；对于选项B，计算，故的图象不关于轴对称，故B错误；对于选项C，令，易知，故的值域为，故C正确；对于选项D，令，函数在上单调递增，且在上单调递增，根据复合函数的单调性，可知在上单调递增，故，且，不成立，故D错误.故选：AC.12.【详解】在梯形中中，翻折过程中，平面，平面，即B正确；在翻折过程中，当平面时，三棱锥体积最大，所以该三棱锥体积的最大值为，故C错误；作于，作于，连接，由平面，可得，且平面，平面，平面，又，且平面，平面，平面，平面平面.在中，作于，平面平面，平面，由题易知平面，可知即为点到面的距离，设，则，即，在中，易知函数在上单调递增，当时，取得最
11、大值.点到面距离的最大值是.故D正确.故选：ABD.13.【详解】因为书法绘画，乐器演奏，武术爱好三个兴趣小组的人数分别为600，400，300，所以得到武术小组占总人数的比值为，解得.故答案为：26.14.【详解】“5局3胜制”的比赛，恰好4局决出胜负的事件是第四局胜者必胜，前三局胜者胜2局输一局的事件，它是胜者为甲的事件与胜者为乙的事件的和，它们互斥，故答案为：.15.【详解】由，则，令，因为，在上都递减，所以在上是单调递减函数，且，可得.故答案为：.16.【详解】在中，因为，由余弦定理可得：，所以，当且仅当时，等号成立；所以，因此；又二面角的大小为，且，所以点到平面的距离的最大值为，因此
12、四面体体积的最大值是.故答案为：.17.【详解】解：（1），与共线的单位向量为.，或.（2），.18.【解析】（）因为，所以.由题设知，所以，.故，又，所以.（）由（）得所以.因为，所以，当，即时，取得最小值.19.【解析】证明：（1）连结，分别是，的中点，又为的中点，由题设知，四边形是平行四边形，又平面，平面.解：（2）过作的垂线，垂足为，由已知可得，平面，故，平面，故的长即为到平面的距离，由已知可得，故，点到平面的距离为.20.【解析】（）根据频率分布直方图可知，样本中分数不小于70的频率为，所以样本中分数小于70的频率为.所以从总体的400名学生中随机抽取一人，其分数小于70的概率估计为
13、0.4.（）根据题意，样本中分数不小于50的频率为，分数在区间内的人数为.所以总体中分数在区间内的人数估计为.（）由题意可知，样本中分数不小于70的学生人数为，所以样本中分数不小于70的男生人数为.所以样本中的男生人数为，女生人数为，男生和女生人数的比例为.所以根据分层抽样原理，总体中男生和女生人数的比例估计为.21.【解析】（1）面积，且，由正弦定理得，由得.（2）由（1）知，又，又，由余弦定理得 由正弦定理得， 由得，即周长为.22.【详解】（1）当时，当时，所以.（2）当时，即时，最大；当时，因为，所以，所以，当且仅当时，所以，此时.即年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润是15万元.
