1、静宁一中2021届高三级第三次模拟试题（卷）数学（理科）一、选择题1. 若复数（1+bi）(2+i)是纯虚数（i是虚数单位，b为实数），则b=A. 2B. C. -D. -2【答案】A【解析】考查复数的运算和相关基本概念的理解(1+bi)(2+i)=2-b+(1+2b)i，而复数(1+bi)(2+i)是纯虚数，那么由2-b=0且1+2b0得b=2，故选A2. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由对数函数、指数函数不等式求集合、，利用集合的交运算求.【详解】由已知，得：，故选：C3. 已知命题“x0R，”是假命题，则实数a的取值范围为（ ）A. (，0)B. 0
2、，4C. 4，)D. (0，4)【答案】D【解析】【分析】由题意结合特称命题的否定可得“xR，”是真命题，再由一元二次不等式恒成立的条件即可得解.【详解】因为命题“x0R，”是假命题，所以其否定“xR，”是真命题，则，解得.故选：D.【点睛】本题考查了特称命题真假性及一元二次不等式恒成立的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.4. 若、满足约束条件，则的最小值为（ ）.A. 0B. -1C. -2D. -3【答案】C【解析】【分析】画出可行域,再根据线性规划的方法求解即可.【详解】作出满足约束条件,表示的平面区域,得到如图的及其内部,其中,将直线进行平移,当经过点时目标函数达到最小值.故选：C
3、【点睛】本题主要考查了线性规划求最值的方法,属于基础题.5. 已知点M是ABC的边BC的中点，点E在边AC上，且，则向量=（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题意结合向量的加法法则可得：本题选择B选项.点睛：(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决6. 已知数列中，（且），则数列通项公式为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由已知得，进而确定数列的通项公式，即可求.【详解】由，知：且(
4、)，而，是首项、公比都为3的等比数列，即，故选：C【点睛】思路点睛：1、构造辅助数列：且，可得的通项公式；2、求通项公式：由辅助数列通项公式直接写出.7. 设等比数列的前项和为，若，则（ ）A. 31B. 32C. 63D. 64【答案】C【解析】【分析】根据等比数列前项和的性质列方程，解方程求得.【详解】因为为等比数列的前项和，所以，成等比数列，所以，即，解得.故选：C8. 已知函数是定义在上的偶函数，且当时，则函数的大致图象为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】先作出当 时， 的图象，显然图象经过点（再作此图象关于 轴对称的图像，可得函数 在上的大致图象，如图C所示，故选C9.
5、 已知函数，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】求出函数的最大值，结合已知条件可得出，进而可求得实数的取值范围.【详解】，当时，；当时，.所以，.若对任意的，不等式恒成立，则，所以，解得.因此，实数的取值范围是.故选：B.【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：（1），；（2），；（3），；（4），.10. 一观览车的主架示意图如图所示，其中O为轮轴的中心，距地面32m(即OM长)，巨轮的半径长为30m，AMBP2m，巨轮逆时针旋转且每12分钟转动一圈.若点M为吊舱P的初始位置，经过t
6、分钟，该吊舱P距离地面的高度为h(t)m，则h(t)等于（ ）A. 30sin30B. 30sin30C. 30sin32D. 30sin【答案】B【解析】【分析】过点O作地面平行线作为x轴，过点O作x轴的垂线作为y轴，过点B作x轴的垂线BN交x轴于N点，如图，先求出放置的角速度，得放置角度，但要注意三角函数定义中角是，可分类讨论得，由hOABN得高度【详解】过点O作地面的平行线作为x轴，过点O作x轴的垂线作为y轴，过点B作x轴的垂线BN交x轴于N点，如图，点A在圆O上逆时针运动的角速度是，所以t分钟转过的弧度数为t.设t，当时，BON，hOABN3030sin，当0时，上述关系式也适合.故h
7、3030sin30sin30.故选：B【点睛】本题考查三角函数的应用，掌握正弦函数的定义是解题关键11. 定义运算：，将函数的图像向左平移个单位，所得图像对应的函数为偶函数，则的最小值是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用，化简，再利用对称轴即可得出.【详解】，将函数化为再向左平移个单位即为：又为偶函数，由三角函数图像的性质可得,即是函数对称轴，即，即，又，所以的最小值是，故选：C.【点睛】此题属于新定义题型，关键是弄清楚新定义的运算方法，属于简单题.12. 已知函数为奇函数，即，则数列的前项和为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由已知可得出，可推
8、导出，利用倒序相加法可求得数列的前项和.【详解】由于函数为奇函数，则，即，所以，因此，数列的前项和为.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题考查数列的倒序相加法，解本题的关键在于利用奇函数的性质推导出，进而得出，根据此规律结合倒序相加法求解.二、填空题13. 已知向量的夹角为，则_.【答案】【解析】【分析】由平面向量数量积定义求得，利用，结合平面向量数量积的运算律可求得结果.【详解】，.故答案为：.14. 已知函数（且）的图象恒过定点，若点在直线上，则的最小值为_.【答案】【解析】试题分析：由题知函数恒过点,可得，.考点：基本不等式.15. 函数的最大值为 .【答案】【解析】试题分析：=，因为，所
9、以当时，y取最大值，最大时为.【考点】二倍角公式和二次函数的性质.16. 若函数的图象总在直线的上方，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】根据图象关系，利用分离变量法将问题转化为恒成立问题，令，利用导数可求得，则.【详解】图象总在上方，恒成立，定义域为，恒成立，令，当时，；当时，在上单调递减，在上单调递增，即实数的取值范围为.故答案为：.【点睛】结论点睛：分离变量法是处理恒成立问题的基本方法，若恒成立，则；若恒成立，则.三、解答题17. 已知函数 的部分图象如图所示(1)求函数的单调递减区间;(2)已知ABC的内角分别是A、B、C，其中A为锐角，且 ，cosB，求sinC的值【答案】
10、(1)； (2).【解析】【分析】(1)先利用函数的图像求出三角函数的解析式，再求函数的单调减区间.(2)先化简得到，再求sinC的值.【详解】(1)由周期，得，所以， 当时，可得，因为，所以，故，令，所以，的单调递减区间为.(2)由(1)可知，即，又因为A为锐角，.【点睛】（1）本题主要考查三角函数的解析式的求法和三角函数的单调区间的求法，考查三角恒等变换求值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 一般利用复合函数的单调性原理求复合函数的单调区间，首先是对复合函数进行分解，接着是根据复合函数的单调性原理分析出分解出的函数的单调性，最后根据分解函数的单调性求出复合函数的单
11、调区间.18. 已知是各项均为正数的等比数列，是等差数列，且，.()求和的通项公式；()设，求数列的前项和.【答案】（）,;（）【解析】试题分析：（）设出数列的公比和数列的公差，由题意列出关于的方程组，求解方程组得到的值，则等差数列和等比数列的通项公式可求；（）由题意得，然后利用错位相减法注得数列的前项和试题解析：（）设的公比为q,的公差为d,由题意 ,由已知,有 消去d得 解得 ,所以的通项公式为, 的通项公式为（）由（）有 ,设的前n项和为 ,则两式相减得所以考点：等差数列与等比数列的综合【易错点睛】用错位相减法求和应注意的问题：（1）要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形（2
12、）在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式（3）在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于和不等于两种情况求解19. 的内角对的边为，向量与平行.（1）求角；（2）若，求的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）由向量与平行，得，再由正弦定理将其化为，可得角；（2）由正弦定理得，再利用角的范围求得的取值范围试题解析：（1）由于与平行，.（2），.考点：1、向量共线定理；2、正弦定理；3、三角恒等变换20. 已知为数列的前项和，且.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析
13、】（1）根据，可得数列是首项为，公比为的等比数列，再根据等比数列通项公式计算可得；（2）由（1）可得，再利用裂项相消法求和即可；【详解】（1）当时，当时，因为所以得，.所以数列是首项为，公比为的等比数列.由（1）得，.【点睛】数列求和的方法技巧(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和(2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和(3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和21. 设函数，.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）设函数，当时，证明.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由导数的几何意义求切点处的斜率，即可写出切
14、线方程.（2）由题意，令，利用导数研究的单调性，只要，结论即得证.详解】（1）当时，函数，则，又，则所求的切线方程为，整理：.（2）证明：当时，.设，其定义域为，则证明即可.，有，.又，函数在上单调递增.有唯一的实根，且.当时，；当时，故函数的最小值为.故得证.【点睛】思路点睛：1、构造函数：.2、问题转化：即在定义域内恒成立即可.3、讨论单调性：根据与0的大小关系确定区间单调性.4、求最值：由函数单调性确定最值，并确认是否成立即可.请考生在第22、23题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑.选修
15、4-4：坐标系与参数方程22. 已知直线（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设点的直角坐标为，直线与曲线C 的交点为，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【详解】试题分析：（1）在方程两边同乘以极径可得，再根据，代入整理即得曲线的直角坐标方程；（2）把直线的参数方程代入圆的直角坐标方程整理，根据韦达定理即可得到的值.试题解析：（1）等价于将代入既得曲线C的直角坐标方程为，（2）将代入得，设这个方程的两个实根分别为则由参数t 的几何意义既知，.考点：圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化及直线参数方程的
16、应用.选修4-5：不等式选讲23. 已知函数f(x)|xa|x2|.(1)当a3时，求不等式f(x)3的解集；(2)若f(x)|x4|解集包含1，2，求a的取值范围【答案】(1) x|x4或x1；(2) 3，0.【解析】试题分析：（1）解绝对值不等式首先分情况去掉绝对值不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集即得所求（2）原命题等价于-2-xa2-x在1，2上恒成立，由此求得求a的取值范围试题解析：（1）当a3时，f（x）当x2时，由f（x）3得2x53，解得x1；当2x3时，f（x）3无解；当x3时，由f（x）3得2x53，解得x4.所以f（x）3的解集为x|x1或x4 6分（2）f（x）|x4|x4|x2|xa|.当x1，2时，|x4|x2|xa| （4x）（2x）|xa|2ax2a，由条件得2a1且2a2，解得3a0，故满足条件的实数a的取值范围为3，0考点：绝对值不等式的解法；带绝对值的函数
