1、第十章计数原理、概率、随机变量及其分布第七节 离散型随机变量及其分布列最新考纲考情分析1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，认识分布列对于刻画随机现象的重要性，会求某些取有限个离散型随机变量的分布列2理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用.1.以考查离散型随机变量的分布列及分布列性质的应用为主，常与期望、方差一起考查，另外超几何分布也是考查的热点2题型主要是解答题，解题时要求有较强的分析问题、解决问题的能力，要求会依据题设确定离散型随机变量的值及其相应概率.课时作业01知识梳理 诊断自测02考点探究 明晰规律01 知识梳理 诊断自测 课前热身 稳固根基 知识点一 离散型随
2、机变量随着试验结果变化而变化的变量称为，常用字母 X，Y，表示所有取值可以一一列出的随机变量，称为随机变量离散型随机变量知识点二 离散型随机变量的分布列及其性质1一般地，若离散型随机变量 X 可能取的不同值为 x1，x2，xi，xn，X 取每一个值 xi(i1,2，n)的概率 P(Xxi)pi，则以表格的形式表示如下：Xx1x2xixnPp1p2pipn将上表称为离散型随机变量 X 的，简称为 X 的，有时为了表达简单，也用等式表示 X 的分布列概率分布列分布列P(Xxi)pi，i1,2，n2离散型随机变量的分布列的性质：(1)；(2).pi0(i1,2，n)i1npi1知识点三 常见离散型随
3、机变量的分布列1两点分布：若随机变量 X 服从两点分布，则其分布列为X01Pp其中 p称为成功概率1pP(X1)2超几何分布：在含有 M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其中恰有 X 件次品，则事件Xk发生的概率 P(Xk)CkMCnkNMCnN，k0,1,2，m，即X01mPC0MCn0NMCnNC1MCn1NMCnNCmMCnmNMCnN其中 m，且 nN，MN，n，M，NN*.如果随机变量 X 的分布列具有上表的形式，则称随机变量 X 服从超几何分布minM，n1思考辨析判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)随机试验的结果与随机变量是一种映射关系，即每一个试验结果都有唯一的
4、随机变量的值与之对应()(2)离散型随机变量的分布列中，各个概率之和可以小于 1.()(3)离散型随机变量的所有取值有时无法一一列出()(4)从 4 名男演员和 3 名女演员中选出 4 人，其中女演员的人数 X服从超几何分布()2小题热身(1)10 件产品中有 3 件次品，从中任取 2 件，可作为随机变量的是()A取到产品的件数 B取到正品的概率C取到次品的件数 D取到次品的概率解析：对于 A 中取到产品的件数是一个常量不是变量，B，D 也是一个定值，而 C 中取到次品的件数可能是 0,1,2，是随机变量C(2)已知 8 件产品中有 2 件次品，从中任取 3 件，取到次品的件数为随机变量，那么
5、 的取值为()A0,1B1,2C0,1,2D0,1,2,3C解析：因为 8 件产品中有 2 件次品，所以表示次品件数 的取值为 0,1,2.(3)设随机变量 X 的分布列如下：X12345P112161316p则 p 为()A.16 B.13 C.14 D.112C解析：由分布列的性质，112161316p1，p13414.(4)设某项试验的成功率是失败率的 2 倍，用随机变量 X 去描述 1次试验的成功次数，则 P(X0).13解析：由已知得 X 的所有可能取值为 0,1，且 P(X1)2P(X0)，由 P(X1)P(X0)1，得 P(X0)13.(5)从装有 3 个红球、2 个白球的袋中随
6、机取出 2 个球设其中有 个红球，则随机变量 的概率分布为.012P0.10.60.3解析：可取 0,1,2.又 P(0)C22C250.1，P(1)C13C12C25 0.6，P(2)C23C250.3.的分布列为012P0.10.60.302 考点探究 明晰规律 课堂升华 强技提能 考点一 离散型随机变量分布列的性质【例 1】(1)设 X 是一个离散型随机变量，其分布列为X101P1323qq2则 q 的值为()A1 B.32 336C.32 336D.32 336C(2)离散型随机变量 X 的概率分布规律为 P(Xn)ann1(n1,2,3,4)，其中 a 是常数，则 P12X52的值为
7、()A.23 B.34 C.45 D.56D【解析】(1)由分布列的性质知23q0，q20，1323qq21，解得 q32 336.(2)由112 123 134 145 a1，知45a1，得 a54.故 P12X52 P(X1)P(X2)56.方法技巧 离散型随机变量的分布列的性质的应用(1)利用“总概率之和为 1”可以求相关参数的取值范围或值；(2)利用“离散型随机变量在一范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率；(3)可以根据性质判断所得分布列结果是否正确 设离散型随机变量 X 的分布列为X01234P0.20.10.10.3m求 2X1 的分布列解：由分布列
8、的性质，知 0.20.10.10.3m1，解得 m0.3.列表X012342X113579所以 2X1 的分布列为2X113579P0.20.10.10.30.3考点二 求离散型随机变量的分布列【例 2】已知 2 件次品和 3 件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出 2 件次品或者检测出 3 件正品时检测结束(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；(2)已知每检测一件产品需要费用 100 元，设 X 表示直到检测出 2件次品或者检测出 3 件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求 X 的分布列【解】(1)记“第一次检测出的是次
9、品且第二次检测出的是正品”为事件 A，则 P(A)A12A13A25 310.(2)X 的可能取值为 200,300,400，则 P(X200)A22A25 110，P(X300)A33C12C13A22A35 310，P(X400)1P(X200)P(X300)1 110 31035.故 X 的分布列为X200300400P11031035方法技巧 离散型随机变量分布列的求解步骤有编号为 1,2,3，n 的 n 个学生，入座编号为 1,2,3，n 的 n个座位，每个学生规定坐一个座位，设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为 X，已知 X2 时，共有 6 种坐法(1)求 n 的值；(2
10、)求随机变量 X 的分布列解：(1)因为当 X2 时，有 C2n种坐法，所以 C2n6，即nn126，n2n120，解得 n4 或 n3(舍去)，所以 n4.(2)因为学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为X，由题意知 X 的可能取值是 0,2,3,4，所以 P(X0)1A44 124，P(X2)C241A44 62414，P(X3)C342A44 82413，P(X4)9A4438，所以随机变量 X 的分布列为X0234P124141338考点三 超几何分布【例 3】(2020湖北荆门高三调研)在测试中，客观题难度的计算公式为 PiRiN，其中 Pi 为第 i 题的难度，Ri 为答对该
11、题的人数，N 为参加测试的总人数现对某校高三年级 240 名学生进行一次测试，共 5道客观题测试前根据对学生的了解，预估了每道题的难度，如下表所示：题号12345考前预估难度 Pi0.90.80.70.60.4测试后，随机抽取了 20 名学生的答题数据进行统计，结果如下：题号12345答测答对人数161614144(1)根据题中数据，估计这 240 名学生中第 5 题的实测答对人数；(2)从抽样的 20 名学生中随机抽取 2 名学生，记这 2 名学生中答对第 5 题的人数为 X，求 X 的分布列；(3)试题的预估难度和实测难度之间会有偏差，设 Pi为第 i题的实测难度，并定义统计量 S1n(P
12、1P1)2(P2P2)2(PnPn)2，若 S0.05，则本次测试的难度预估合理，否则不合理，试检验本次测试对难度的预估是否理【解】(1)因为 20 人中答对第 5 题的人数为 4，因此第 5 题的实测难度为 4200.2，所以，估计 240 人中有 2400.248 人实测答对第 5 题(2)X 的所有可能取值是 0,1,2.P(X0)C216C2201219，P(X1)C116C14C220 3295，P(X2)C24C220 395.X 的分布列为X012P12193295395(3)将抽样的 20 名学生测试中第 i 题的实测难度作为 240 名学生测试中第 i 题的实测难度列表如下：
13、题号12345实测难度0.80.80.70.70.2S15(0.80.9)2(0.80.8)2(0.70.7)2(0.70.6)2(0.20.4)20.012.因为 S0.0120.05，所以，该次测试的难度预估是合理的方法技巧 超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数.超几何分布的特征是：1考察对象分两类；2已知各类对象的个数；3从中抽取若干个个体，考查某类个体数 X 的概率分布.超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型.(2020福州市模拟)某市某超市为了回馈新老顾客，决定在 2019 年元旦来临之际举行“庆元旦，迎新年”的抽奖派送礼
14、品活动为设计一套趣味性抽奖送礼品的活动方案，该超市面向该市某高中学生征集活动方案，该中学某班数学兴趣小组提供的方案获得了征用方案如下：将一个 444 的正方体各面均涂上红色，再把它分割成 64 个相同的小正方体经过搅拌后，从中任取两个小正方体，记它们的着色面数之和为，记抽奖一次中奖的礼品价值为.(1)求 P(3)(2)凡是元旦当天在该超市购买物品的顾客，均可参加抽奖记抽取的两个小正方体着色面数之和为 6，设为一等奖，获得价值 50 元的礼品；记抽取的两个小正方体着色面数之和为 5，设为二等奖，获得价值 30 元的礼品；记抽取的两个小正方体着色面数之和为 4，设为三等奖，获得价值 10 元的礼品
15、，其他情况不获奖求某顾客抽奖一次获得的礼品价值的分布列与数学期望解：(1)64 个小正方体中，三面着色的有 8 个，两面着色的有 24 个，一面着色的有 24 个，另外 8 个没有着色，P(3)C18C18C124C124C264 6402 0162063.(2)的所有可能取值为 0,1,2,3,4,5,6，的取值为 50,30,10,0，P(50)P(6)C28C264 282 016 172，P(30)P(5)C18C124C264 1922 016 221，P(10)P(4)C224C18C124C264 4682 0161356，P(0)1 172 2211356 83126.5030100P172221135683126E()50 282 01630 1922 01610 4682 01601 3282 01637063.温示提馨请 做：课时作业 72PPT文稿（点击进入）
