1、第3讲匀速圆周运动匀速圆周运动、角速度、线速度、向心加速度 (考纲要求)1匀速圆周运动(1)定义：做圆周运动的物体，若在相等的时间内通过的圆弧长相等，就是匀速圆周运动(2)特点：加速度大小不变，方向始终指向圆心，是变加速运动(3)条件：合外力大小不变、方向始终与速度方向垂直且指向圆心2描述圆周运动的物理量描述圆周运动的物理量主要有线速度、角速度、周期、频率、转速、向心加速度、向心力等，现比较如下表：定义、意义公式、单位线速度 描述圆周运动的物体运动快慢的物理量(v) 是矢量，方向和半径垂直，和圆周相切 v单位：m/s角速度 描述物体绕圆心转动快慢的物理量()中学不研究其方向 单位：rad/s续
2、表周期和转速 周期是物体沿圆周运动一周的时间(T)转速是物体单位时间转过的圈数(n)，也叫频率(f) T单位：sn的单位：r/s、r/min，f的单位：Hz向心加速度描述速度方向变化快慢的物理量(a) 方向指向圆心 ar2单位：m/s2匀速圆周运动的向心力(考纲要求)1.作用效果产生向心加速度，只改变速度的方向，不改变速度的大小2大小Fmm2rmmv42mf2r.3方向始终沿半径方向指向圆心，时刻在改变，即向心力是一个变力4来源向心力可以由一个力提供，也可以由几个力的合力提供，还可以由一个力的分力提供.离心现象(考纲要求)1.定义：做圆周运动的物体，在所受合外力突然消失或不足以提供圆周运动所需
3、向心力的情况下，就做逐渐远离圆心的运动2本质：做圆周运动的物体，由于本身的惯性，总有沿着圆周切线方向飞出去的倾向图5313受力特点当Fmr2时，物体做匀速圆周运动；当F0时，物体沿切线方向飞出；当Fmr2时，物体逐渐远离圆心，F为实际提供的向心力，如图531所示1关于质点做匀速圆周运动的下列说法正确的是()A由a知，a与r成反比B由a2r知，a与r成正比C由知，与r成反比D由2n知，与转速n成正比解析由a知，只有在v一定时，a才与r成反比，如果v不一定，则a与r不成反比，同理，只有当一定时，a才与r成正比；v一定时，与r成反比；因2是定值，故与n成正比答案D2.图532如图532所示是一个玩具
4、陀螺A、B和C是陀螺上的三个点当陀螺绕垂直于地面的轴线以角速度稳定旋转时，下列表述正确的是()AA、B和C三点的线速度大小相等BA、B和C三点的角速度相等CA、B的角速度比C的大DC的线速度比A、B的大解析A、B和C均是同一陀螺上的点，它们做圆周运动的角速度都为陀螺旋转的角速度，B对、C错三点的运动半径关系rArBrC，据vr可知，三点的线速度关系vAvBvC，A、D错答案B3一质点做匀速圆周运动，其线速度大小为4 m/s，转动周期为2 s，则下列说法错误的是()A角速度为0.5 rad/s B转速为0.5 r/sC轨迹半径为 m D加速度大小为4 m/s2解析角速度为 rad/s，A错误；转
5、速为n0.5 r/s，B正确；半径r m，C正确；向心加速度大小为an4 m/s2，D正确答案A4.图533如图533所示，水平转台上放着一枚硬币，当转台匀速转动时，硬币没有滑动，关于这种情况下硬币的受力情况，下列说法正确的是()A受重力和台面的支持力B受重力、台面的支持力和向心力C受重力、台面的支持力、向心力和静摩擦力D受重力、台面的支持力和静摩擦力解析重力与支持力平衡，静摩擦力提供向心力，方向指向转轴答案D5.图534如图534是摩托车比赛转弯时的情形，转弯处路面常是外高内低，摩托车转弯有一个最大安全速度，若超过此速度，摩托车将发生滑动对于摩托车滑动的问题，下列论述正确的是()A摩托车一直
6、受到沿半径方向向外的离心力作用B摩托车所受外力的合力小于所需的向心力C摩托车将沿其线速度的方向沿直线滑去D摩托车将沿其半径方向沿直线滑去解析本题考查圆周运动的规律和离心现象摩托车只受重力、地面支持力和地面的摩擦力作用，没有离心力，A项错误；摩托车正确转弯时可看作是做匀速圆周运动，所受的合力等于向心力，如果向外滑动，说明合力小于需要的向心力，B项正确；摩托车将在沿线速度方向与半径向外的方向之间做离心曲线运动，C、D项错误答案B考点一在传动装置中各物理量之间的关系在分析传动装置的物理量时，要抓住不等量和相等量的关系，表现为：(1)同一转轴的各点角速度相同，而线速度vr与半径r成正比，向心加速度大小
7、ar2与半径r成正比(2)当皮带不打滑时，用皮带连接的两轮边沿上的各点线速度大小相等，由可知，与r成反比，由a可知，a与r成反比【典例1】 如图535所示是自行车图535传动结构的示意图，其中是半径为r1的大齿轮，是半径为r2的小齿轮，是半径为r3的后轮，假设脚踏板的转速为n，则自行车前进的速度为()A. B. C. D. 解析自行车前进速度即为轮的线速度，由同一个轮上的角速度相等，同一皮带传动的两轮边缘的线速度相等可得：1r12r2，32，再有12n，v3r3，所以v.答案C【变式1】 如图536所示为某一皮带传图536动装置主动轮的半径为r1，从动轮的半径为r2.已知主动轮做顺时针转动，转
8、速为n，转动过程中皮带不打滑下列说法正确的是()从动轮做顺时针转动从动轮做逆时针转动从动轮的转速为n从动轮的转速为nA B C D解析因为主动轮顺时针转动，从动轮通过皮带的摩擦力带动转动，所以从动轮逆时针转动，错误，正确；由于通过皮带传动，皮带与轮边缘接触处的速度相等，所以由2nr12n2r2，得从动轮的转速为n2，正确、错误答案D考点二匀速圆周运动的实例分析(小专题)【典例2】 图537“飞车走壁”是一种传统的杂技艺术，演员骑车在倾角很大的桶面上做圆周运动而不掉下来如图537所示，已知桶壁的倾角为，车和人的总质量为m，做圆周运动的半径为r.若使演员骑车做圆周运动时不受桶壁的摩擦力，下列说法正
9、确的是()A人和车的速度为B人和车的速度为C桶面对车的弹力为mgtan D桶面对车的弹力为思路导图解析对人和车进行受力分析如图所示根据直角三角形的边角关系和向心力公式可列方程：Ncos mg，mgtan m.解得v，N.答案A解决圆周运动问题的主要步骤(1)审清题意，确定研究对象；(2)分析物体的运动情况，即物体的线速度、角速度、周期、轨道平面、圆心、半径等；(3)分析物体的受力情况，画出受力示意图，确定向心力的来源；(4)根据牛顿运动定律及向心力公式列方程【变式2】 (2011天津联考)铁路转弯处的弯道半径r是根据地形决定的弯道处要求外轨比内轨高，其内、外轨高度差h的设计不仅与r有关还与火车
10、在弯道上的行驶速度v有关下列说法正确的是()速率v一定时，r越小，要求h越大速率v一定时，r越大，要求h越大半径r一定时，v越小，要求h越大半径r一定时，v越大，要求h越大A B C D解析火车转弯时，圆周平面在水平面内，火车以设计速率行驶时，向心力刚好由重力G与轨道支持力N的合力来提供，如图所示，则有mgtan ，且tan sin ，其中L为轨间距，是定值，有mg，通过分析可知正确答案C【变式3】 在高速公路的拐弯处，通常路面都是外高内低如图538所示，在某路段汽车向左拐弯，司机左侧的路面比右侧的路面低一些汽车的运动可看作是做半径为R的圆周运动设内外路面高度差为h，路基的水平宽度为d，路面的
11、宽度为L.已知重力加速度为g.要使车轮与路面之间的横向摩擦力(即垂直于前进方向)等于零，则汽车转弯时的车速应等于()图538A. B. C. D. 解析考查向心力公式汽车做匀速圆周运动，向心力由重力与斜面对汽车的支持力的合力提供，且向心力的方向水平，向心力大小F向mgtan ，根据牛顿第二定律：F向m，tan ，解得汽车转弯时的车速v ，B对答案B7.竖直平面内圆周运动的绳、杆模型(1)模型概述在竖直平面内做圆周运动的物体，按运动至轨道最高点时的受力情况可分为两类一是无支撑(如球与绳连接，沿内轨道的“过山车”等)，称为“绳(环)约束模型”，二是有支撑(如球与杆连接，在弯管内的运动等)，称为“杆
12、(管道)约束模型”(2)临界问题分析物体在竖直平面内做的圆周运动是一种典型的变速曲线运动，该类运动常有临界问题，并伴有“最大”“最小”“刚好”等词语，现就两种模型分析比较如下：轻绳模型轻杆模型常见类型过最高点的临界条件由mgm得v临由小球能运动即可得v临0讨论分析(1)过最高点时，v，Nmgm，绳、轨道对球产生弹力N(2)不能过最高点v，在到达最高点前小球已经脱离了圆轨道(1)当v0时，Nmg，N为支持力，沿半径背离圆心(2)当0v时，Nmgm，N背向圆心，随v的增大而减小(3)当v时，N0(4)当v时，Nmgm，N指向圆心并随v的增大而增大【典例】 如图539所示，图539质量为60 kg的
13、体操运动员，做“单臂大回环”，用一只手抓住单杠，伸展身体，以单杠为轴做圆周运动此过程中，运动员到达最低点时手臂受的拉力至少约为(忽略空气阻力，g10 m/s2)()A600 N B2 400 NC3 000 N D3 600 N教你审题关键点：运动员以单杠为轴做圆周运动属于竖直面内圆周运动的杆模型牛顿第二定律和机械能守恒定律自己试一试解析运动员在最低点受的拉力至少为N，此时运动员的重心的速度为v，设运动员的重心到手的距离为R，由牛顿第二定律得：Nmgm又由机械能守恒定律得：mg2Rmv2由以上两式代入数据得：N5mg运动员的重力约为Gmg600 N所以N3 000 N，应选C.答案C一、对描述
14、圆周运动的基本物理量及匀速圆周运动的考查(中频考查)1(2009上海理综，43)图5310如图5310所示为一种早期的自行车，这种不带链条传动的自行车前轮的直径很大，这样的设计在当时主要是为了()A提高速度 B提高稳定性C骑行方便 D减小阻力解析这种老式不带链条的自行车，驱动轮在前轮，人蹬车的角速度一定的情况下，由vr可知，车轮半径越大，自行车的速度就越大，所以A正确答案A2(2010全国卷)如图5311甲是利用激光测转速的原理示意图，图中圆盘可绕固定轴转动，盘边缘侧面上有一小段涂有很薄的反光材料当盘转到某一位置时，接收器可以接收到反光涂层所反射的激光束，并将所收到的光信号转变成电信号，在示波
15、器显示屏上显示出来(如图5311乙所示)图5311(1)若图乙中示波器显示屏上横向的每大格(5小格)对应的时间为5.00102 s，则圆盘的转速为_转/s.(保留三位有效数字)(2)若测得圆盘直径为10.20 cm，则可求得圆盘侧面反光涂层的长度为_cm.(保留三位有效数字)解析(1)从图乙可知圆盘转一圈的时间在横坐标上显示22格，由题意知图乙中横坐标上每小格表示1.00102 s，所以圆盘转动的周期是0.22 s，则转速为4.55 转/s.(2)反光引起的电流图象在图乙中的横坐标上每次一小格，说明反光涂层的长度占圆盘周长的，为 cm1.46 cm.答案(1)4.55(2)1.46二、竖直面内
16、圆周运动与其他知识的综合考查(高频考查)3(2011安徽卷，17)一般的曲线运动可以分成很多小段，每小段都可以看成圆周运动的一部分，即把整条曲线用一系列不同半径的小圆弧来代替如图5312甲所示，曲线上的A点的曲率圆定义为：通过A点和曲线上紧邻A点两侧的两点作一圆，在极限情况下，这个圆就叫做A点的曲率圆，其半径叫做A点的曲率半径现将一物体沿与水平面成角的方向以速度v0抛出，如图5312乙所示则在其轨迹最高点P处的曲率半径是() 甲 乙图5312A. B.C. D.解析物体在最高点时速度沿水平方向，曲率圆的P点可看做该点对应的竖直平面内圆周运动的最高点，由牛顿第二定律及圆周运动规律知：mg，解得.
17、答案C4(2011福建卷，21)图5313如图5313所示为某种鱼饵自动投放器中的投饵管装置示意图，其下半部AB是一长为2R的竖直细管，上半部BC是半径为R的四分之一圆弧弯管，管口沿水平方向，AB管内有一原长为R、下端固定的轻质弹簧投饵时，每次总将弹簧长度压缩到0.5R后锁定，在弹簧上端放置一粒鱼饵，解除锁定，弹簧可将鱼饵弹射出去设质量为m的鱼饵到达管口C时，对管壁的作用力恰好为零不计鱼饵在运动过程中的机械能损失，且锁定和解除锁定时，均不改变弹簧的弹性势能已知重力加速度为g.求：(1)质量为m的鱼饵到达管口C时的速度大小v1；(2)弹簧压缩到0.5R时的弹性势能Ep；(3)已知地面与水面相距1
18、.5R，若使该投饵管绕AB管的中轴线OO在90角的范围内来回缓慢转动，每次弹射时只放置一粒鱼饵，鱼饵的质量在m到m之间变化，且均能落到水面持续投放足够长时间后，鱼饵能够落到水面的最大面积S是多少？解析(1)质量为m的鱼饵到达管口C时做圆周运动的向心力完全由重力提供，则mgm由式解得v1(2)弹簧的弹性势能全部转化为鱼饵的机械能，由机械能守恒定律有Epmg(1.5RR)mv12由式解得Ep3mgR(3)不考虑因缓慢转动装置对鱼饵速度大小的影响，质量为m的鱼饵离开管口C后做平抛运动，设经过t时间落到水面上，离OO的水平距离为x1，由平抛运动规律有45Rgt2x1v1tR由式解得x14R当鱼饵的质量为m时，设其到达管口C时速度大小为v2，由机械能守恒定律有Epmg(1.5RR)v22由式解得v22质量为m的鱼饵落到水面上时，设离OO的水平距离为x2，则x2v2tR由式解得x27R鱼饵能够落到水面的最大面积S(x22x12)R2(或8.25R2)答案(1)(2)3mgR(3)R2(或8.25R2)
