1、第 4 讲 平面向量应用举例A 级 基础演练(时间：30 分钟 满分：55 分)一、选择题(每小题 5 分，共 20 分)1已知 a(1，sin2x)，b(2，sin 2x)，其中 x(0，)若|ab|a|b|，则 tan x 的值等于()A1 B1 C.3D.22解析 由|ab|a|b|知，ab.所以 sin 2x2sin2x，即 2sin xcos x2sin2x，而 x(0，)，所以 sin xcos x，即 x4，故 tan x1.答案 A2(2013九江模拟)若|a|2sin 15，|b|4cos 15，a 与 b 的夹角为 30，则 ab 的值是()A.32B.3C2 3D.12解
2、析 ab|a|b|cos 308sin 15cos 15 32 4sin 30 32 3.答案 B3.(2012哈尔滨模拟)函数 ytan4x2的部分图象如图所示，则(OA OB)AB()A4 B6C1 D2解析 由条件可得 B(3,1)，A(2,0)，(OA OB)AB(OA OB)(OB OA)OB 2OA 21046.答案 B4在ABC 中，BAC60，AB2，AC1，E，F 为边 BC 的三等分点，则AEAF()A.53B.54C.109D.158解析 法一 依题意，不妨设BE12E C，BF2FC，则有AEAB12(ACAE)，即AE23AB13AC；AFAB2(ACAF)，即AF1
3、3AB23AC.所以AEAF23AB13AC 13AB23AC19(2ABAC)(AB2AC)19(2AB 22AC 25ABAC)19(222212521cos 60)53，选 A.法二 由BAC60，AB2，AC1 可得ACB90，如图建立直角坐标系，则 A(0,1)，E2 33，0，F 33，0，AEAF2 33，1 33，1 2 33 33(1)(1)23153，选 A.答案 A二、填空题(每小题 5 分，共 10 分)5(2013温州适应性测试)在平行四边形 ABCD 中，已知 AB2，AD1，BAD60，E 为 CD 的中点，则AEBD _.解析 AE BD AD 12DC(BA
4、BC)(AD 12DC)(AD DC)AD 212DC AD 12DC 211212cos 6012432.答案 326(2013东北三校一模)设ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若(3bc)cos Aacos C，SABC 2，则BAAC_.解析 依题意得(3sin Bsin C)cos Asin Acos C，即 3sin Bcos Asin Acos Csin Ccos Asin(AC)sin B0，于是有 cos A13，sin A 1cos2A2 23，又 SABC12bcsin A12bc2 23 2，所以bc3，BAACbccos(A)bccos A3131
5、.答案 1三、解答题(共 25 分)7(12 分)(2012北京海淀模拟)在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若ABACBABCk(kR)(1)判断ABC 的形状；(2)若 c 2，求 k 的值解(1)ABACcbcos A，BABCcacos B，又ABACBABC，bccos Aaccos B，sin Bcos Asin Acos B，即 sin Acos Bsin Bcos A0，sin(AB)0，AB，AB，即ABC 为等腰三角形(2)由(1)知，ABACbccos Abcb2c2a22bcc22k，c 2，k1.8(13 分)已知 A，B，C 的坐标分别为 A(3
6、,0)，B(0,3)，C(cos，sin)，2，32.(1)若|AC|BC|，求角 的值；(2)若ACBC1，求2sin2sin 21tan 的值解(1)AC(cos 3，sin)，BC(cos，sin 3)，AC 2(cos 3)2sin2106cos，BC 2cos2(sin 3)2106sin，由|AC|BC|，可得AC 2BC 2，即 106cos 106sin，得 sin cos.又 2，32，54.(2)由ACBC1，得(cos 3)cos sin(sin 3)1，sin cos 23.又2sin2sin 21tan 2sin22sin cos 1sin cos 2sin cos.
7、由式两边分别平方，得 12sin cos 49，2sin cos 59.2sin2sin 21tan 59.B 级 能力突破(时间：30 分钟 满分：45 分)一、选择题(每小题 5 分，共 10 分)1在ABC 中，a，b，c 分别为角 A，B，C 所对应的三角形的边长，若 4aBC2bCA3cAB0，则 cos B()A1124B.1124C.2936D2936解析 由 4aBC2bCA3cAB0，得4aBC3cAB2bCA2b(BABC)2bAB2bBC，所以 4a3c2b.由余弦定理得 cos Ba2c2b22acb24 49b2b22b223b1124.答案 A2(2013郑州三模)
8、ABC 的外接圆圆心为 O，半径为 2，OA ABAC0，且|OA|AB|，则CA在CB方向上的投影为()A1 B2 C.3D3解析 如图，由题意可设 D 为 BC 的中点，由OA ABAC0，得OA 2AD 0，即AO 2AD，A，O，D 共线且|AO|2|AD|，又 O为ABC 的外心，AO 为 BC 的中垂线，|AC|AB|OA|2，|AD|1，|CD|3，CA在CB方向上的投影为 3.答案 C二、填空题(每小题 5 分，共 10 分)3已知向量 a(x1,2)，b(4，y)，若 ab，则 9x3y 的最小值为_解析 若 ab，则 4(x1)2y0，即 2xy2.9x3y32x3y2 3
9、2xy2 326.当且仅当 x12，y1 时取得最小值答案 64(2013山西大学附中月考)已知|a|2|b|0，且关于 x 的函数 f(x)13x312|a|x2abx 在 R 上有极值，则 a 与 b 的夹角范围为_解析 由题意得：f(x)x2|a|xab 必有可变号零点，即|a|24ab0，即 4|b|28|b|2cosa，b0，即1cosa，b12.所以 a 与 b 的夹角范围为3，.答案 3，三、解答题(共 25 分)5(12 分)在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，向量 m(2sin B，3)，ncos 2B，2cos2B21 且 mn.(1)求锐角 B 的大
10、小；(2)如果 b2，求 SABC 的最大值解(1)mn，2sin B2cos2B21 3cos 2B，sin 2B 3cos 2B，即 tan 2B 3.又 B 为锐角，2B(0，)，2B23，B3.(2)B3，b2，由余弦定理 cos Ba2c2b22ac，得 a2c2ac40.又 a2c22ac，代入上式，得 ac4(当且仅当 ac2 时等号成立)SABC12acsin B 34 ac 3(当且仅当 ac2 时等号成立)，即 SABC 的最大值为 3.6(13 分)(2012南通模拟)已知向量 m3sin x4，1，ncos x4，cos2 x4.(1)若 mn1，求 cos23 x 的
11、值；(2)记 f(x)mn，在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，且满足(2ac)cos Bbcos C，求函数 f(A)的取值范围解(1)mn 3sin x4cos x4cos2 x4 32 sin x21cos x22sinx26 12，mn1，sinx26 12.cosx3 12sin2x26 12，cos23 x cosx3 12.(2)(2ac)cos Bbcos C，由正弦定理得(2sin Asin C)cos Bsin Bcos C，2sin Acos Bsin Ccos Bsin Bcos C.2sin Acos Bsin(BC)ABC，sin(BC)sin A0.cos B12，0B，B3，0A23.6A262，sinA26 12，1.又f(x)sinx26 12，f(A)sinA26 12.故函数 f(A)的取值范围是1，32.特别提醒：教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见创新设计高考总复习光盘中内容.
