1、商水一高20142015学年度高二下学期期中考试高二数学（理）试题第卷选择题（共60分）一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的.)1设a是实数，且是实数，则a()A.B1 C1 D22设4名学生报名参加同一时间安排的3项课外活动方案有a种，这4名学生在运动会上共同争夺100米、跳远、铅球3项比赛的冠军的可能结果有b种，则(a，b)为()A(34,34) B(43,34) C(34,43) D(43,43)3在曲线yx21的图象上取一点(1,2)及附近一点(1x，2y)，则为 ()Ax2 Bx2 Cx2D2x4正弦函数是奇函数，
2、f(x)sin(x21)是正弦函数，因此f(x)sin(x21)是奇函数，以上推理( )A结论正确B大前提不正确 C全不正确D小前提不正确5下列函数求导运算正确的个数为()(3x)3xlog3e； (log2x)； (ex)ex；()x； (xex)ex1.A1 B2 C3 D46设a，b是两个实数，给出下列条件：ab1；ab2；ab2；a2b22；ab1.其中能推出：“a，b中至少有一个大于1”的条件是()A B C D7函数f(x)x22axa在区间(，1)上有最小值，则函数g(x)在区间(1，)上一定()A有最小值 B有最大值 C是减函数 D是增函数8如图，圆O：x2y22内的正弦曲线y
3、sinx与x轴围成的区域记为M(图中阴影部分)，随机往圆O内投一个点A，则点A落在区域M内的概率是()A. B. C. D. 9对于在R上可导的任意函数f(x)，若满足(xa)f(x)0，则必有()Af(x)f(a) Bf(x)f(a) Cf(x)f(a) Df(x)f(a)10将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为()A18 B24 C30 D3611我们知道，在边长为a的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值a，类比上述结论，在边长为a的正四面体内任一点到其四个面的距离之和为定值( )A.aBaC.aDa12已
4、知函数f(x)x3ax2bxc，x表示的曲线过原点，且在x1处的切线斜率均为1，给出以下结论：f(x)的解析式为f(x)x34x，x；f(x)的极值点有且仅有一个；f(x)的最大值与最小值之和等于0.其中正确的结论有()A0个 B1个 C2个 D3个第卷（非选择题 共90分）二、填空题：(本大题共4小题， 每小题5分，共20分)13若f(x)xsin xcos x，则f(3)，f()，f(2)的大小关系为_14对于大于1的自然数m的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：23，33，43，仿此，若m3的“分裂数”中有一个数是59，则m的值为_15用5种不同颜色给右图中的4个区域涂色，每个区域涂1
5、种颜色，相邻区域不能同色，求不同的涂色方法共有多少种？ 142316.下面有4个命题：当x0时，2x的最小值为2；若双曲线1(a0，b0)的一条渐近线方程为yx，且其一个焦点与抛物线y28x的焦点重合，则双曲线的离心率为2；将函数ysin2x的图象向右平移个单位，可以得到函数ysin(2x)的图象；在RtABC中，ACBC，ACa，BCb，则ABC的外接圆半径r；类比到空间，若三棱锥SABC的三条侧棱SA、SB、SC两两互相垂直，且长度分别为a、b、c，则三棱锥SABC的外接球的半径R.其中错误命题的序号为_三、解答题：（本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤）17.
6、 (本题10分)设有抛物线C：yx2x4，过原点O作C的切线ykx，使切点P在第一象限，求切线方程18(本题12分)某造船公司年造船量是20艘，已知造船x艘的产值函数为R(x)3700x45x210x3(单位：万元)，成本函数为C(x)460x5000(单位：万元)，又在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf(x)的定义为Mf(x)f(x1)f(x)(1)求利润函数P(x)及边际利润函数MP(x)；(提示：利润产值成本)(2)问年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？(3)求边际利润函数MP(x)的单调递减区间，并说明单调递减在本题中的实际意义是什么？19(本题12分)设数列an的前n项
7、和为Sn，且方程x2anxan0有一根为Sn1(nN*)(1)求a1，a2；(2)猜想数列Sn的通项公式，并给出证明20(本题12分)已知函数f(x)在x1处取得极值2.(1)求函数f(x)的表达式；(2)当m满足什么条件时，函数f(x)在区间(m,2m1)上单调递增？21(本题12分)已知二次函数f(x)ax2bxc，直线l1：x2，直线l2：yt28t(其中0t2，t为常数)，若直线l1，l2与函数f(x)的图象以及l1、l2、y轴与函数f(x)的图象所围成的封闭图形(阴影部分)如图所示(1)求a、b、c的值；(2)求阴影面积S关于t的函数S(t)的解析式 22(本题12分)已知函数f(x
8、)x2alnx.(1)当a2时，求函数f(x)的单调区间和极值；(2)若g(x)f(x)在依题意得，区域M的面积等于2sinxdx2cosx4，圆O的面积等于23，因此点A落在区域M内的概率是，选B.B9.【解析】由(xa)f(x)0知，当xa时，f(x)0；当xa时，f(x)0.当xa时，函数f(x)取得最小值，则f(x)f(a)【答案】A10.【解析】间接法：四名学生中有两名学生分在一个班的种数是C，顺序有A种，而甲、乙被分在同一个班的有A种所以种数是CAA30.【答案】C11.【解析】正四面体内任一点与四个面组成四个三棱锥，它们的体积之和为正四面体的体积，设点到四个面的距离分别为h1，h
9、2，h3，h4，每个面的面积为a2，正四面体的体积为a3，则有a2(h1h2h3h4)a3，得h1h2h3h4a.【答案】A12.解析：选C.f(0)0，c0，f(x)3x22axb.，即.解得a0，b4，f(x)x34x，f(x)3x24.令f(x)0，得x，极值点有两个f(x)为奇函数，f(x)maxf(x)min0.正确，故选C.二、填空题：13.【解析】由f(x)f(x)知，函数f(x)为偶函数，因此f(3)f(3)又f(x)sin xxcos xsin xxcos x，当x(0，)时，f(x)0，x(，)时，f(x)0，f(x)在区间(，)上是减函数，f()f(2)f(3)f(3)【
10、答案】f(3)f(2)f()14.依题意得这些数的立方中的分解数依次是3,5,7,9，且相应的加数的个数与对应的底数相同，易知从2开始的前n个正整数的立方共用去数列2n1中的项数是1，数列2n1(nN*)中的第项是n(n1)1.注意到78159891，因此m8.815.解：分两类：1,3不同色，则有5432120种涂法(按1234的顺序涂)；1,3同色，则有541360种涂法(顺序同上)故共有180种涂法 18016.【解析】对于，2x取得最小值为2的条件是x0，这与x0相矛盾；对于，将函数ysin2x的图象向右平移个单位，可以得到函数ysin2(x)sin(2x)的图象；易证成立；对于，可将
11、该三棱锥补成长方体，其外接球的直径恰好是长方体的体对角线【答案】三、解答题：17.【解】设点P的坐标为(x1，y1)，则y1kx1y1xx14代入得x(k)x140.P为切点，(k)2160得k或k.6分当k时，x12，y117.当k时，x12，y11.P在第一象限，所求的斜率k.故所求切线方程为yx. .10分18.解：(1)P(x)R(x)C(x)10x345x23240x5000(xN*，且1x20)；MP(x)P(x1)P(x)30x260x3275(xN*，且1x19).4分 (2)P(x)30x290x324030(x12)(x9)，1x20，xN*，P(x)0时，x12，当1x0
12、，当12x20，且xN*时，P(x)0，x12时，P(x)有最大值 即年造船量安排12艘时，可使公司造船的年利润最大.8分(3)MP(x)30x260x327530(x1)23305.所以当x1时，MP(x)单调递减，所以单调减区间为，且xN*.MP(x)是减函数的实际意义是：随着产量的增加，每艘船的利润与前一艘船的利润相比，在减少.12分19.【解】(1)当n1时，方程x2a1xa10有一根为S11a11，(a11)2a1(a11)a10，解得a1.当n2时，方程x2a2xa20有一根为S21a1a21a2，(a2)2a2(a2)a20，解得a2.4分(2)由题意知(Sn1)2an(Sn1)
13、an0，当n2时，anSnSn1，代入上式整理得SnSn12Sn10，解得Sn.由(1)得S1a1，S2a1a2.猜想Sn(nN*).8分下面用数学归纳法证明这个结论 当n1时，结论成立假设nk(kN*，k1)时结论成立，即Sk，当nk1时，Sk1.即当nk1时结论成立由知Sn对任意的正整数n都成立.6分20.解：(1)因为f(x)，而函数f(x)在x1处取得极值2，所以即解得所以f(x)即为所求.6分(2)由(1)知f(x).令f(x)0得x11，x21，则f(x)的增减性如下表：x(，1)(1,1)(1，)f(x)f(x)可知，f(x)的单调增区间是，所以所以当m(1,0时，函数f(x)在
14、区间(m,2m1)上单调递增.12分21.【解】(1)由图形可知二次函数的图象过点(0,0)，(8,0)，并且f(x)的最大值为16，则解得函数f(x)的解析式为f(x)x28x. .6分(2)由得x28xt(t8)0，x1t，x28t，0t2，直线l2与f(x)的图象的交点坐标为(t，t28t)由定积分的几何意义知：S(t)dxdxt310t216t.12分22.解：(1)易知函数f(x)的定义域为(0，)当a2时，f(x)x22lnx，f(x)2x.当x变化时，f(x)和f(x)的变化情况如下表：x(0,1)1(1，)f(x)0f(x)递减极小值递增由上表可知，函数f(x)的单调递减区间是(0,1)，单调递增区间是(1，)，极小值是f(1)1. .6分(2)由g(x)x2alnx，得g(x)2x.若函数g(x)为1，)上的单调增函数，则g(x)0在1，)上恒成立，即不等式2x0在1，)上恒成立也即a2x2在1，)上恒成立令(x)2x2，则(x)4x.当x1，)时，(x)4x0，(x)2x2在1，)上为减函数，(x)max(1)0.a0，即a的取值范围为0，).12分
