1、高考资源网（） 您身边的高考专家2.3向量的坐标表示2.3.1平面向量基本定理学 习 目 标核 心 素 养(教师独具)1.理解平面向量基本定理的内容，了解向量的一组基底的含义(重点)2.在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量(重点)3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题(难点)通过学习本节内容提升学生的逻辑推理和数学运算核心素养.一、平面向量基本定理1定理：如果e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12e2.2基底：不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底思考1：如果e1，e2是两
2、个不共线的确定向量，那么与e1，e2在同一平面内的任一向量a能否用e1，e2表示？依据是什么？提示能依据是数乘向量和平行四边形法则思考2：如果e1，e2是共线向量，那么向量a能否用e1，e2表示？为什么？提示不一定，当a与e1共线时可以表示，否则不能表示二、平面向量的正交分解一个平面向量用一组基底e1，e2表示成a1e12e2的形式，我们称它为向量a的分解当e1，e2所在直线互相垂直时，这种分解也称为向量a的正交分解思考3：一个放在斜面上的物体所受的竖直向下的重力G，可分解为使物体沿斜面下滑的力F1和使物体垂直作用于斜面的力F2.类比力的分解，平面内任一向量能否用互相垂直的两向量表示？提示能，
3、互相垂直的两向量可以作为一组基底1思考辨析(1)同一平面内只有不共线的两个向量可以作为基底()(2)0能与另外一个向量a构成基底()(3)平面向量的基底不是唯一的()解析平面内任意一对不共线的向量都可以作为基底，故(2)是错误的(1)，(3)正确答案(1)(2)(3)2已知向量a与b是一组基底，实数x，y满足(3x4y)a(2x3y)b6a3b，则xy_.3由原式可得解得所以xy3.3如图，在ABC中，P为BC边上一点，且.(1)用，为基底表示_；(2)用，为基底表示_.(1)，.(2).对向量基底的理解【例1】如果e1，e2是平面内所有向量的一组基底，则下列说法正确的是()A若实数1，2，使
4、1e12e20，则120B空间任一向量a可以表示为a1e12e2，这里1，2为实数C对实数1，2，1e12e2不一定在该平面内D对平面内任一向量a，使a1e12e2的实数1，2有无数对思路点拨：根据有关概念及定理，逐一分析A平面内任一向量都可写成e1与e2的线性组合形式，而不是空间内任一向量，故B不正确；对任意实数1，2，向量1e12e2一定在平面内，故C不正确；而对平面内的任一向量a，实数1，2是唯一的，故D不正确考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否非零且不共线此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来1若向量a，b不共线，且c2ab，d3a
5、2b，试判断c，d能否作为基底解设存在实数使得cd，则2ab(3a2b)，即(23)a(21)b0.由于a，b不共线，从而23210，这样的是不存在的，从而c，d不共线，故c，d能作为基底用基底表示向量【例2】如图所示，在ABC中，点M是AB的中点，且，BN与CM相交于点E，设a，b，试用基底a，b表示向量.思路点拨：本题可过N作AB的平行线，交CM于D，利用平行线的性质结合向量的线性表示求解，也可利用三点共线的条件结合平面向量定理的唯一性求解解法一：由已知，在ABC中，且，已知BN与CM交于点E，过N作AB的平行线，交CM于D，如图所示在ACM中，所以，所以，()ab.法二：易得b，a，由N
6、，E，B三点共线知存在实数m，满足m(1m)mb(1m)a.由C，E，M三点共线知存在实数n，满足n(1n)na(1n)b.所以mb(1m)ana(1n)b.因为a，b为基底，所以解得所以ab.将两个不共线的向量作为基底表示其他向量，基本方法有两种：一种是运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直到用基底表示为止；另一种是通过列向量方程，利用基底表示向量的唯一性求解.2如图所示，已知ABCD的边BC，CD上的中点分别为K，L，且e1，e2，试用e1，e2表示，.解设a，b，则由得(2e1e2)，e2e1；e2e1.平面向量基本定理与向量共线定理的应用探究问题1平面内的任一向量都可以表示成
7、两个不共线向量的线性组合吗？提示：是的2若e1，e2不共线，且e1e20，则，满足什么关系？提示：0.【例3】如图，在ABC中，点M是BC的中点，N在AC上且AN2NC，AM与BN交于点P，求APPM的值思路点拨：选取基底，表示，设，由求，的值解设a，b，则(ab)，ab.A，P，M共线，设，(ab)同理设，ab.，a(ab)，ab.a与b不共线，APPM41.1充分挖掘题目中的有利条件，本题中两次使用三点共线，注意方程思想的应用2用基底表示向量也是用向量解决问题的基础，应根据条件灵活应用，熟练掌握3如图，平行四边形ABCD中，H为CD的中点，且AH与BD交于I，求AIIH的值解设a，b，则a
8、b，ab.设，ab，又b(ab)a(1)b，故1，.AIIH21.教师独具1本节课的重点是平面向量基本定理及其应用，难点是平面向量基本定理的应用2本节课要重点掌握以下两个问题(1)正确理解基底向量的概念(2)用平面向量基本定理解决相关问题1下列关于基底的说法正确的是()平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基底；基底中的向量可以是零向量；平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的ABCDA零向量与任意向量共线，故零向量不能作为基底中的向量，故错，正确2如图所示，ABC中，若D，E，F依次是AB的四等分点，则以e1，e2为基底时，_.e1e2e1，e2，e1e2.，(e1e2)，e2(e1e2)e1e2.3设一直线上三点A，B，P满足m(m1)，O是直线所在平面内一点，则用，表示为_由m，得m()，mm，.4已知梯形ABCD中，ABDC，且AB2CD，E，F分别是DC，AB的中点，设a，b，试以a，b为基底表示，.解如图所示，连结FD，DCAB，AB2CD，E，F分别是DC，AB的中点，DC綊FB，四边形DCBF为平行四边形b，ab，bba.- 9 - 版权所有高考资源网
