1、频率与概率【例1】对一批U盘进行抽检，结果如下表：抽出件数a50100200300400500次品件数b345589次品概率(1)计算表中次品的频率；(2)从这批U盘中任意抽取一个是次品的概率约是多少？(3)为保证买到次品的顾客能够及时更换，要销售2 000个U盘，至少需进货多少个U盘？思路点拨：(1)根据频数除以总数频率，分别求出即可；(2)根据(1)中所求即可得出任取1个U盘是次品的概率；(3)利用不等式得出x(10.02)2 000，求出即可解(1)表中次品频率从左到右依次为0.06,0.04，0.025，0.017,0.02,0.018.(2)当抽取件数a越来越大时，出现次品的频率在0
2、.02附近摆动，所以从这批U盘中任意抽取一个是次品的概率约是0.02.(3)设需要进货x个U盘，为保证其中有2 000个正品U盘，则x(10.02)2 000，因为x是正整数，所以x2 041，即至少需进货2 041个U盘频率是概率的近似值，而概率是一个理论值当做大量的重复试验时，试验次数越多，频率的值越接近概率值，故可用频率来估计概率1某射手在相同条件下进行射击，结果如下：射击次数n102050100200500击中靶心次数m8194492178455击中靶心的频率0.80.950.880.920.890.91(1)问该射手射击一次，击中靶心的概率约是多少？(2)假设该射手射击了300次，期
3、望击中靶心的次数是多少？(3)假如该射手射击了300次，前270次都击中靶心，那么后30次一定都击不中靶心吗？(4)假如该射手射击了10次，前9次已击中8次，那么第10次一定击中靶心吗？思路点拨：弄清频率与概率的含义及它们之间的关系是解题的关键解(1)由题意，得击中靶心的频率与0.9接近，故概率约为0.9.(2)击中靶心的次数大约为3000.9270(次)(3)由概率的意义，可知概率是个常数，不因试验次数的变化而变化后30次中，每次击中靶心的概率仍是0.9，所以不一定击中靶心(4)不一定2某教授为了测试贫困地区和发达地区的同龄儿童的智力，出了10道智力题，每题10分，然后做了统计，下表是统计结
4、果：贫困地区参加测试的人数3050100200500800得60分以上的人数162752104256402得60分以上的频率发达地区参加测试的人数3050100200500800得60分以上的人数172956111276440得60分以上的频率(1)利用计算器计算两地区参加测试的儿童中得60分以上的频率(结果保留到小数点后三位)；(2)估计两个地区参加测试的儿童得60分以上的概率思路点拨：由频数求出频率，再由频率估计概率解(1)贫因地区参加测试的人数3050100200500800得60分以上的人数162752104256402得60分以上的频率0.5330.5400.5200.5200.51
5、20.503发达地区参加测试的人数3050100200500800得60分以上的人数172956111276440得60分以上的频率0.5670.5800.5600.5550.5520.550(2)估计贫困地区和发达地区参加测试的儿童得60分以上的概率分别为0.503和0.550.古典概型【例2】某产品的三个质量指标分别为x，y，z，用综合指标Sxyz评价该产品的等级若S4，则该产品为一等品现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如下：产品编号A1A2A3A4A5质量指标(x，y，z)(1,1,2)(2,1,1)(2,2,2)(1,1,1)(1,2,1)产品编号A6A7A8
6、A9A10质量指标(x，y，z)(1,2,2)(2,1,1)(2,2,1)(1,1,1)(2,1,2)(1)利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率；(2)在该样本的一等品中，随机抽取2件产品，用产品编号列出所有可能的结果；设事件B为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S都等于4”，求事件B发生的概率思路点拨：(1)用综合指标Sxyz计算出10件产品的综合指标并列表表示，则样本的一等品率可求(2)直接用列举法列出在该样品的一等品中，随机抽取2件产品的所有可能结果列出在取出的2件产品中每件产品的综合指标S都等于4的所有情况，然后利用古典概型概率计算公式求解解(1)计算10件产品的综合指标
7、S，如下表：产品编号A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10S4463454535其中S4的有A1，A2，A4，A5，A7，A9，共6件，故该样本的一等品率为0.6，从而可估计该批产品的一等品率为0.6.(2)在该样本的一等品中，随机抽取2件产品的所有可能结果为A1，A2，A1，A4，A1，A5，A1，A7，A1，A9，A2，A4，A2，A5，A2，A7，A2，A9，A4，A5，A4，A7，A4，A9，A5，A7，A5，A9，A7，A9，共15种在该样本的一等品中，综合指标S等于4的产品编号分别为A1，A2，A5，A7，则事件B发生的所有可能结果为A1，A2，A1，A5，A1，A7，A2，A
8、5，A2，A7，A5，A7，共6种所以P(B).1当事件个数没有很明显的规律，并且涉及的基本事件又不是太多时，我们可借助树状图法直观地将其表示出来，这是进行列举的常用方法树状图可以清晰准确地列出所有的基本事件，并且画出一个树枝之后可猜想其余的情况2在求概率时，若事件可以表示成有序数对的形式，则可以把全体基本事件用平面直角坐标系中的点表示，即采用图表的形式可以准确地找出基本事件的个数故采用数形结合法求概率可以使解决问题的过程变得形象、直观，给问题的解决带来方便3甲、乙两人做出拳游戏(锤子、剪刀、布)求：(1)平局的概率；(2)甲赢的概率；(3)乙赢的概率思路点拨：首先列举出基本事件的总数，确定出
9、所求事件包含的基本事件数，利用公式求概率解甲有3种不同的出拳方法，每一种出法是等可能的，乙同样有等可能的3种不同出法一次出拳游戏共有339种不同的结果，可以认为这9种结果是等可能的，所以一次游戏(试验)是古典概型，它的基本事件总数为9.平局的含义是两人出法相同例如都出了锤子甲赢的含义是甲出锤子且乙出剪刀，甲出剪刀且乙出布，甲出布且乙出锤子这3种情况乙赢的含义是乙出锤子且甲出剪刀，乙出剪刀且甲出布，乙出布且甲出锤子这3种情况设平局为事件A，甲赢为事件B，乙赢为事件C由图容易得到：(1)平局含3个基本事件(图中的)；(2)甲赢含3个基本事件(图中的)；(3)乙赢含3个基本事件(图中的)由古典概型的
10、概率计算公式，可得P(A)；P(B)；P(C).4先后随机投掷2枚均匀的正方体骰子，其中x表示第1枚骰子出现的点数，y表示第2枚骰子出现的点数(1)求点P(x，y)在直线yx1上的概率；(2)求点P(x，y)满足y24x的概率思路点拨：(1)是一个古典概型，基本事件总数为6636个，再验证满足条件的事件数；(2)也是一个古典概型，与(1)解法相同解(1)投掷每枚骰子出现的点数都有6种情况，所以基本事件总数为6636.记“点P(x，y)在直线yx1上”为事件A，A有5个基本事件：A(2,1)，(3,2)，(4,3)，(5,4)，(6,5)P(A).(2)记“点P(x，y)满足y24x”为事件B，
11、当x1时，y1；当x2时，y1,2；当x3时，y1,2,3；当x4时，y1,2,3；当x5时，y1,2,3,4；当x6时，y1,2,3,4.则事件B有17个基本事件P(B).互斥事件和对立事件的概率【例3】甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有5个不同题目，选择题3个，判断题2个，甲、乙两人各抽一题(1)甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题的概率是多少？(2)甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？思路点拨：本题利用分类思想，把甲、乙抽题情况先分为四类，即“甲抽选择题，乙抽判断题”“甲抽判断题，乙抽选择题“甲、乙都抽到选择题”“甲、乙都抽到判断题”这四个互斥事件，而在每个互斥事件中，
12、又按抽某个具体题目分类，从而写出了所有可能的基本事件，第(2)问利用对立事件求解更为方便解把3个选择题记为x1，x2，x3,2个判断题记为p1，p2.“甲抽到选择题，乙抽到判断题”的情况有：(x1，p1)，(x1，p2)，(x2，p1)，(x2，p2)，(x3，p1)，(x3，p2)，共6种；“甲抽到判断题，乙抽到选择题”的情况有：(p1，x1)，(p1，x2)，(p1，x3)，(p2，x1)，(p2，x2)，(p2，x3)，共6种；“甲、乙都抽到选择题”的情况有：(x1，x2)，(x1，x3)，(x2，x1)，(x2，x3)，(x3，x1)，(x3，x2)，共6种；“甲、乙都抽到判断题”的情
13、况有：(p1，p2)，(p2，p1)，共2种(1)“甲抽到选择题，乙抽到判断题”的概率是P1，“甲抽到判断题，乙抽到选择题”的概率是P2.故“甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题”的概率为PP1P2.(2)甲、乙两人都抽到判断题的概率是，故甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是1.1互斥事件的概率的加法公式P(AB)P(A)P(B)2对于一个较复杂的事件，一般将其分解成几个简单的事件，当这些事件彼此互斥时，原事件的概率就是这些简单事件的概率的和3当求解的问题中有“至多”“至少”“最少”等关键词语时，常常考虑其反面，通过求其反面，然后转化为所求问题5甲、乙两人举行比赛，比赛结果有胜、
14、负、平三种情况，甲胜的概率是30%，甲、乙平的概率是50%，那么(1)甲负的概率是多少？(2)甲不输的概率是多少？思路点拨：由题意，“甲胜”“甲、乙平”“甲负”这三个事件两两互斥，可利用互斥事件的概率公式求解解记“甲胜”为事件A，“甲、乙平”为事件B，“甲负”为事件C，则A，B，C两两互斥，且P(A)P(B)P(C)1.(1)P(C)1P(A)P(B)130%50%20%.(2)P(AB)P(A)P(B)30%50%80%.故甲负的概率是20%，甲不输的概率是80%.6由经验得，在某超市的付款处排队等候付款的人数及其概率如下：排队人数012345个人及以上概率0.20.140.40.10.10
15、.06求：(1)“至多有2个人排队”的概率；(2)“至少有2个人排队”的概率思路点拨：“至多有2个人排队”由“没有人排队”“有1个人排队”“有2个人排队”这三个互斥事件组成“至少有2个人排队”，可以研究它的对立事件“至多有1个人排队”“至多有1个人排队”包括“没有人排队”和“有1个人排队”两种情况解(1)设“没有人排队”为事件A，“有1个人排队”为事件B，“有2个人排队”为事件C，则P(A)0.2，P(B)0.14，P(C)0.4.由题意知，A，B，C彼此互斥，所以“至多有2个人排队”的概率为P(ABC)P(A)P(B)P(C)0.20.140.40.74，即“至多有2个人排队”的概率是0.74.(2)设“至少有2个人排队”为事件D，则为“至多有1个人排队”，即AB，因此P(D)1P()1P(AB)1P(A)P(B)10.20.140.66，即“至少有2个人排队”的概率是0.66.
