1、课时素养评价 二十一平面向量数量积的坐标表示 (20分钟35分)1.（2020新高考全国卷）已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则的取值范围是（ ）A.（-2，6）B.（-6，2）C.（-2，4）D.（-4，6）【解析】选A.设P(x,y)，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0,0)，B(2,0)，=(2,0)，所以=2x，由题意可得点C的横坐标为3，点F的横坐标为1，所以1x0,则|a|=1,解得:=或=-(舍去),所以与向量方向相同的单位向量为a=.4.若向量a=(1,2),b=(1,-1),则2a+b与a-b的夹角等于()A.-B.C.D.【解析】选C.2a+b=2(1,2
2、)+(1,-1)=(3,3),a-b=(1,2)-(1,-1)=(0,3),(2a+b)(a-b)=9,|2a+b|=3,|a-b|=3,设所求两向量夹角为,则cos =,所以=.5.(2019全国卷)已知向量a=(2,2),b=(-8,6)的夹角为,则cos =.【解析】cos =-.答案:-6.已知向量a=(-1,2),b=(4,0).(1)求向量a与b夹角的余弦值.(2)若2a+b与a+b垂直,求的值.【解析】(1)因为a=(-1,2),b=(4,0),设a,b夹角为,所以cos =-.(2)2a+b=(2,4),a+b=(4-1,2),因为(2a+b)(a+b),所以(2a+b)(a+
3、b)=2(4-1)+8=0,解得=-. (30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.若向量a=(1,-2),b=(3,4),则a在b方向上的射影是()A.1B.-1C.D.-【解析】选B.由题意,得a在b方向上的射影是|a|cos =-1.2.已知a=(1,-1),b=(-1,2),则(2a+b)a=()A.-1B.0C.1D.2【解析】选C.由题意可得a2=2,ab=-3,所以(2a+b)a=2a2+ab=4-3=1.3.已知边长为2的正方形ABCD中,E为AD的中点,连接BE,则=()A.-2B.-1C.1D.2【解析】选B.以A为原点,AB为x轴,AD为y轴,建立直角坐标系,
4、则A(0,0),B(2,0),E(0,1),=(-2,1),=(0,-1),=-1.4.已知向量a=(1,0),b=(t,2t),t为实数,则|a-b|的最小值是()A.1B.C.D.【解析】选B.依题意a-b=(1-t,-2t),故|a-b|=,当t=-=时,取得最小值为.5.设向量a=(k,2),b=(1,-1),则下列叙述错误的是()A.若k-2时,则a与b的夹角为钝角B.|a|的最小值为2C.与b共线的单位向量只有一个为D.若|a|=2|b|,则k=2或-2【解析】选C.对于A选项,若a与b的夹角为钝角,则ab0且a与b不共线,则,解得k0,然后排除同向的情况即可.【解析】因为向量a与
5、向量b的夹角是锐角,所以cos =0,所以ab=2m+60,得m-3,又当a与b同向时,=,所以m=12.所以m-3且m12.答案:m-3且m12三、解答题(每小题10分,共20分)9.设向量a=(,-1),b=,k,t是两个不同时为零的实数.若向量x=a+(t-3)b与y=-ka+tb垂直.(1)求k关于t的函数关系式.(2)求函数k=f(t)的最小值.【解析】(1)因为a=(,-1),b=,所以ab=0,且|a|=2,|b|=1.又xy,所以xy=0,即a+(t-3)b(-ka+tb)=0,所以-ka2-k(t-3)ab+tab+t(t-3)b2=0,因为|a|=2,|b|=1,ab=0,
6、所以-4k+t2-3t=0,即k=(t2-3t).(2)由(1)知,k=(t2-3t)=-,即函数的最小值为-.10.已知平面向量a=(3,4),b=(9,x),c=(4,y),且ab,ac.(1)求b和c.(2)若m=2a-b,n=a+c,求向量m与向量n的夹角的大小.【解析】(1)因为a=(3,4),b=(9,x),c=(4,y),且ab,ac,所以,解得,因此,b=(9,12),c=(4,-3).(2)因为m=2a-b=2(3,4)-(9,12)=(-3,-4),n=a+c=(3,4)+(4,-3)=(7,1),则mn=-37-41=-25,所以|m|=5,|n|=5,设m与n的夹角为,
7、所以cos =-,因为0,则=.因此,向量m与向量n的夹角为.1.已知向量a=(2,1),b=(-1,k),a(2a-b)=0,则k等于()A.-12 B.-6 C.6 D.12【解析】选D.2a-b=(5,2-k).a(2a-b)=10+2-k=0.解得k=12.2.已知点A(1,0),B(0,1),C(2sin ,cos ).(1)若|=|,求tan 的值.(2)若(+2)=1,其中O为坐标原点,求sin +cos 的值.【解析】(1)因为A(1,0),B(0,1),C(2sin ,cos ),所以=(2sin -1,cos ),=(2sin ,cos -1),因为|=|,所以=,化简得2
8、sin =cos ,因为cos 0(若cos =0,则sin =1,上式不成立),所以tan =.(2)因为=(1,0),=(0,1),=(2sin ,cos ),所以+2=(1,2),因为(+2)=1,所以2sin +2cos =1,所以sin +cos =.【补偿训练】在平面直角坐标系xOy中,点A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1).(1)设实数t满足(-t),求t的值.(2)若以线段AB,AC为邻边作平行四边形ABDC,求向量与所夹角的余弦值.【解析】(1)由题设知=(-2,-1),=(3,5),-t=(3+2t,5+t),由(-t)得(-t)=0,即(3+2t,5+t)(-2,-1)=0,所以t=-.(2)由题设知=(-1,1),则=+=(2,6),=-=(4,4),故|=2,|=4,设向量与所夹角为,故所求余弦值cos =.
