1、3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示课时目标1.理解空间向量基本定理，并能用基本定理解决一些几何问题.2.理解基底、基向量及向量的线性组合的概念.3.掌握空间向量的坐标表示，能在适当的坐标系中写出向量的坐标1空间向量基本定理(1)设i、j、k是空间三个两两垂直的向量，且有公共起点O，那么，对于空间任一向量p，存在一个_，使得_，我们称_，_，_为向量p在i、j、k上的分向量(2)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c_，那么对空间任一向量p，存在有序实数组x，y，z，使得_(3)如果三个向量a，b，c不共面，那么所有空间向量组成的集合就是_这个集合可看作是由向量a，b，c生成的，我们把a
2、，b，c叫做空间的一个_，a，b，c都叫做_空间中任何三个_的向量都可构成空间的一个基底2空间向量的坐标表示若e1、e2、e3是有公共起点O的三个两两垂直的单位向量，我们称它们为_，以e1、e2、e3的公共起点O为原点，分别以e1、e2、e3的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz，那么，对于空间任意一个向量p，由空间向量基本定理可知，存在有序实数组x，y，z，使得pxe1ye2ze3，把x，y，z称作向量p在单位正交基底e1，e2，e3下的坐标，记作_一、选择题1在以下3个命题中，真命题的个数是()三个非零向量a，b，c不能构成空间的一个基底，则a，b，c共面；若两个非零向
3、量a，b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a，b共线；若a，b是两个不共线向量，而cab(，R且0)，则a，b，c构成空间的一个基底A0B1C2D32.已知O、A、B、C为空间不共面的四点，且向量a，向量b，则与a、b不能构成空间基底的是()A. B C. D.或3以下四个命题中，正确的是()A.若，则P、A、B三点共线B设向量a，b，c是空间一个基底，则ab，bc，ca构成空间的另一个基底C|(ab)c|a|b|c|D. ABC是直角三角形的充要条件04.设OABC是四面体，G1是ABC的重心，G是OG1上的一点，且OG3G,G1若xyz，则(x，y，z)为()A(，) B(，)C(
4、，) D(，)5已知点A在基底a，b，c下的坐标为(8,6,4)，其中aij，bjk，cki，则点A在基底i，j，k下的坐标是()A(12,14,10) B(10,12,14)C(14,12,10) D(4,3,2)6.已知空间四边形OABC中a，b，c，点M在OA上，且OM2MA，N为BC的中点，则等于()A.abc BabcC.abc D.abc二、填空题7设i，j，k是空间向量的一个单位正交基底，则向量a3i2jk，b2i4j2k的坐标分别是_8.已知空间四边形ABCD中，a2c，5a6b8c，对角线AC、BD的中点分别为E、F，则_.9.已知正方体ABCDA1B1C1D1中，点O为AC
5、1与BD1的交点，xyz，则xyz_.三、解答题10.四棱锥POABC的底面为一矩形，PO平面OABC，设a，b，c，E、F分别是PC和PB的中点，用a，b，c表示、.11.已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M、N分别是AB、PC的中点，并且PA=AD,求、的坐标能力提升12甲、乙、丙三名工人搬运石头，分别作用于石头的力为F1，F2，F3，若i、j、k是空间中的三个不共面的基向量，F1i2j3k，F22i3jk，F33i4j5k，则这三名工人的合力Fxiyjzk，求x、y、z.13.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是BB1、D1B1的中点，求证：EF平面B1AC.1空
6、间的一个基底是空间任意三个不共面的向量，空间的基底可以有无穷多个一个基底是不共面的三个向量构成的一个向量组，一个基向量指一个基底的某一个向量2. xxyz，当且仅当xyz1时，P、A、B、C四点共面3对于基底a，b，c除了应知道a，b，c不共面，还应明确：(1)空间任意三个不共面向量都可以作为空间向量的一个基底，基底选定以后，空间的所有向量均可由基底惟一表示(2)由于0可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以，三个向量不共面，就隐含着它们都不是0.答案知识梳理1(1)有序实数组x，y，zpxiyjzkxiyjzk(2)不共面pxaybzc(3)p|pxaybzc，x，y，zR
7、基底基向量不共面2单位正交基底p(x，y，z)作业设计1C命题，是真命题，命题是假命题2C(ab)，与a、b共面，a，b，不能构成空间基底3BA中若，则P、A、B三点共线，故A错；B中，假设存在实数k1，k2，使cak1(ab)k2(bc)k1a(k1k2)bk2c，则有方程组无解，即向量ab，bc，ca不共面，故B正确C中，ab|a|b|cosa，b|a|b|，故C错D中，由0ABC是直角三角形，但ABC是直角三角形，可能角B等于90，则有0.故D错4A因为()()()()，而xyz，所以x，y，z.5A设点A在基底a，b，c下对应的向量为p，则p8a6b4c8i8j6j6k4k4i12i1
8、4j10k，故点A在基底i，j，k下的坐标为(12,14,10)6B()abc.7(3,2，1)，(2,4,2)83a3b5c解析，又，两式相加得2()()E为AC中点，故0，同理0，2(a2c)(5a6b8c)6a6b10c，3a3b5c.9.解析()故xyz，xyz.10解()(cba)abc.aa()abc.()ac(cb)abc.a.11解PAADAB，且PA平面ABCD，ADAB，可设e1，e2，e3.以e1、e2、e3为坐标向量建立空间直角坐标系Axyz，如图所示()e2e3(e3e1e2)e1e3，e2(0,1,0)12解由题意，得FF1F2F3(i2j3k)(2i3jk)(3i4j5k)2ij7k.又因为Fxiyjzk，所以x2，y1，z7.13证明设a，c，b，则()()()(abc)，ab.(abc)(ab)(b2a2ababcacb)(|b|2|a|2)0.，即EFAB1.同理，EFB1C.又AB1B1CB1，EF平面B1AC.
