1、锐角三角函数与特殊角 一、选择题 1（2018山东枣庄3 分）如图，在矩形 ABCD 中，点 E 是边 BC 的中点，AEBD，垂足为 F，则 tanBDE的值是（）A B C D【分析】证明BEFDAF，得出 EF=AF，EF=AE，由矩形的对称性得：AE=DE，得出 EF=DE，设 EF=x，则 DE=3x，由勾股定理求出 DF=2x，再由三角函数定义即可得出答案【解答】解：四边形 ABCD 是矩形，AD=BC，ADBC，点 E 是边 BC 的中点，BE=BC=AD，BEFDAF，=，EF=AF，EF=AE，点 E 是边 BC 的中点，由矩形的对称性得：AE=DE，EF=DE，设 EF=x
2、，则 DE=3x，DF=2x，tanBDE=；故选：A【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，三角函数等知识；熟练掌握矩形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键 2（2018山东淄博4 分）一辆小车沿着如图所示的斜坡向上行驶了 100 米，其铅直高度上升了 15 米在用科学计算器求坡角 的度数时，具体按键顺序是（）A B C D【考点】T9：解直角三角形的应用坡度坡角问题；T6：计算器三角函数【分析】先利用正弦的定义得到 sinA=0.15，然后利用计算器求锐角 【解答】解：sinA=0.15，所以用科学计算器求这条斜道倾斜角的度数时，按键顺序为 故选：A 【点评】本题考查了计算
3、器三角函数：正确使用计算器，一般情况下，三角函数值直接可以求出，已知三角函数值求角需要用第二功能键 3.（2018湖北省孝感3 分）如图，在 RtABC 中，C=90，AB=10，AC=8，则 sinA 等于（）A B C D【分析】先根据勾股定理求得 BC=6，再由正弦函数的定义求解可得【解答】解：在 RtABC 中，AB=10、AC=8，BC=6，sinA=，故选：A【点评】本题主要考查锐角三角函数的定义，解题的关键是掌握勾股定理及正弦函数的定义 4（2018山东青岛3 分）计算：21+2cos30=2 【分析】根据特殊角的三角函数值和有理数的乘法和加法可以解答本题【解答】解：21+2co
4、s30=2，故答案为：2【点评】本题考查实数的运算、负整数指数幂、特殊角的三角函数值，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法 5（2018天津3 分）的值等于（）A.B.C.1 D.【答案】B【解析】分析：根据特殊角的三角函数值直接求解即可 详解：cos30=故选：B 点睛：本题考查特殊角的三角函数值的记忆情况特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，要熟练掌握 6（2018重庆(A)4 分）如图，旗杆及升旗台的剖面和教学楼的剖面在同一平面上，旗杆与地面垂直，在教学楼底部 E 点处测得旗杆顶端的仰角58AED，升旗台底部到教学楼底部的距离7DE 米，升旗台坡面 CD 的坡度1:0.75i，坡长2C
5、D 米，若旗杆底部到坡面 CD 的水平距离1BC 米，则旗杆 AB 的高度约为（参考数据：sin580.85，cos580.53，tan581.6）A12.6 米 B13.1 米 C14.7 米 D16.3 米 【考点】三角函数的综合运用【解析】延长 AB 交地面与点 H.作 CMDE.易得CM=1.6.DM=1.2,58tanHEAH6.172.11AH1.136.172.14,72.14ABAH【点评】此题考查三角函数的综合运用，解题关键是从图中提取相关信息，特别是直角三角形的三边关系，属于中等题 7（2018广东深圳3 分）如图，一把直尺，的直角三角板和光盘如图摆放，为 角与直尺交点，,
6、则光盘的直径是()A.3 B.C.D.【答案】D 【考点】切线的性质，锐角三角函数的定义，切线长定理 【解 析】【解 答】解：设 光 盘 切 直 角 三 角 形 斜 边 于 点C，连 接OC、OB、OA（如图）,DAC=60,BAC=120.又AB、AC 为圆 O 的切线，AC=AB，BAO=CAO=60,在 RtAOB 中，AB=3,tanBAO=,OB=ABtan60=3，光盘的直径为 6.故答案为：D.【分析】设光盘切直角三角形斜边于点 C，连接 OC、OB、OA（如图）,根据邻补角定义得BAC=120，又由切线长定理 AC=AB，BAO=CAO=60；在 RtAOB 中，根据正切定义得
7、 tanBAO=,代入数值即可得半径 OB 长，由直径是半径的 2 倍即可得出答案.二.填空题 1.（2018广东广州3 分）如图，旗杆高 AB=8m，某一时刻，旗杆影子长 BC=16m，则 tanC=_。【答案】【考点】锐角三角函数的定义 【解析】【解答】解：在 RtABC 中，高 AB=8m，BC=16m，tanC=.故答案为：.【分析】在 RtABC 中，根据锐角三角函数正切定义即可得出答案.2（2018浙江宁波4 分）如图，某高速公路建设中需要测量某条江的宽度 AB，飞机上的测量人员在 C 处测得 A，B 两点的俯角分别为 45和 30若飞机离地面的高度 CH 为 1200 米，且点
8、H，A，B 在同一水平直线上，则这条江的宽度 AB 为 1200（1）米（结果保留根号）【考点】仰角、俯角【分析】在 RtACH 和 RtHCB 中，利用锐角三角函数，用 CH 表示出 AH、BH 的长，然后计算出 AB 的长【解答】解：由于 CDHB，CAH=ACD=45，B=BCD=30 在 RtACH 中，CAH=45 AH=CH=1200 米，在 RtHCB，tanB=HB=1200（米）AB=HBHA=12001200=1200（1）米 故答案为：1200（1）【点评】本题考查了锐角三角函数的仰角、俯角问题题目难度不大，解决本题的关键是用含 CH 的式子表示出 AH 和 BH 3（2
9、018四川宜宾3 分）如图，AB 是半圆的直径，AC 是一条弦，D 是 AC 的中点，DEAB 于点 E 且 DE交 AC 于点 F，DB 交 AC 于点 G，若=，则=【考点】S9：相似三角形的判定与性质；M2：垂径定理【分析】由 AB 是直径，推出ADG=GCB=90，因为AGD=CGB，推出 cosCGB=cosAGD，可得=，设 EF=3k，AE=4k，则 AF=DF=FG=5k，DE=8k，想办法求出 DG、AG 即可解决问题；【解答】解：连接 AD，BC AB 是半圆的直径，ADB=90，又 DEAB，ADE=ABD，D 是 的中点，DAC=ABD，ADE=DAC，FA=FD；AD
10、E=DBC，ADE+EDB=90，DBC+CGB=90，EDB=CGB，又DGF=CGB，EDB=DGF，FA=FG，=，设 EF=3k，AE=4k，则 AF=DF=FG=5k，DE=8k，在 RtADE 中，AD=4k，AB 是直径，ADG=GCB=90，AGD=CGB，cosCGB=cosAGD，=，在 RtADG 中，DG=2k，=，故答案为：【点评】本题考查的是圆的有关性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型 4（2018湖北荆门3 分）计算：22|tan303|+20180=【分析】直接利用二次根式的性质结合绝对值的性
11、质以及特殊角的三角函数值分别化简得出答案【解答】解：原式=2|3|+1=2+1=故答案为：【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键 5（2018甘肃白银，定西，武威3 分）计算：_【答案】0【解析】【分析】按照实数的运算顺序进行运算即可.【解答】原式 故答案为：0.【点评】本题考查实数的运算，主要考查负整数指数幂，特殊角的三角函数值以及二次根式，熟练掌握各个知识点是解题的关键.分式有意义的条件是分母不为零.6（2018山东泰安3 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB=6，BC=10，将矩形 ABCD 沿 BE 折叠，点 A 落在 A处，若 EA的延长线恰好过点 C，则 sinAB
12、E 的值为 【分析】先利用勾股定理求出 AC，进而利用勾股定理建立方程求出 AE，即可求出 BE，最后用三角函数即可得出结论【解答】解：由折叠知，AE=AE，AB=AB=6，BAE=90，BAC=90，在 RtACB 中，AC=8，设 AE=x，则 AE=x，DE=10 x，CE=AC+AE=8+x，在 RtCDE 中，根据勾股定理得，（10 x）2+36=（8+x）2，x=2，AE=2，在 RtABE 中，根据勾股定理得，BE=2，sinABE=，故答案为：【点评】此题主要考查了折叠的性质，勾股定理，锐角三角函数，充分利用勾股定理求出线段 AE 是解本题的关键 7（2018山东滨州5 分）在
13、ABC 中，C=90，若 tanA=，则 sinB=【分析】直接根据题意表示出三角形的各边，进而利用锐角三角函数关系得出答案【解答】解：如图所示：C=90，tanA=，设 BC=x，则 AC=2x，故 AB=x，则 sinB=故答案为：【点评】此题主要考查了锐角三角函数关系，正确表示各边长是解题关键 8(2018 四川省眉山市 1 分)如图，在边长为 1 的小正方形网格中，点 A、B、C、D 都在这些小正方形的顶点上，AB、CD 相交于点 O，则 tanAOD=_.【答案】2 【考点】相似三角形的判定与性质，解直角三角形 【解析】【解答】解：连接 BE 交 CF 于点 G（如图），四边形 BC
14、EF 是边长为 1 的正方形，BE=CF=，BECF，BG=EG=CG=FG=,又BFAC，BFOACO，,CO=3FO，FO=OG=CG=，在 RtBGO 中，tanBOG=2,又AOD=BOG,tanAOD=2.故答案为:2.【分析】连接BE交CF于点G（如图），根据勾股定理得BE=CF=，再由正方形的性质得BECF，BG=EG=CG=FG=,又根据相似三角形的判定得BFOACO，由相似三角形的性质得,从而得 FO=OG=CG=，在 RtBGO 中根据正切的定义得 tanBOG=2,根据对顶角相等从而得出答案 三.解答题(要求同上一)1（2018江苏扬州12 分）问题呈现 如图 1，在边长
15、为 1 的正方形网格中，连接格点 D，N 和 E，C，DN 和 EC 相交于点 P，求 tanCPN 的值 方法归纳 求一个锐角的三角函数值，我们往往需要找出（或构造出）一个直角三角形观察发现问题中CPN 不在直角三角形中，我们常常利用网格画平行线等方法解决此类问题，比如连接格点 M，N，可得 MNEC，则DNM=CPN，连接 DM，那么CPN 就变换到 RtDMN 中 问题解决（1）直接写出图 1 中 tanCPN 的值为 2；（2）如图 2，在边长为 1 的正方形网格中，AN 与 CM 相交于点 P，求 cosCPN 的值；思维拓展（3）如图 3，ABBC，AB=4BC，点 M 在 AB
16、上，且 AM=BC，延长 CB 到 N，使 BN=2BC，连接 AN 交 CM 的延长线于点 P，用上述方法构造网格求CPN 的度数 【分析】（1）连接格点 M，N，可得 MNEC，则DNM=CPN，连接 DM，那么CPN 就变换到 RtDMN 中（2）如图 2 中，取格点 D，连接 CD，DM那么CPN 就变换到等腰 RtDMC 中（3）利用网格，构造等腰直角三角形解决问题即可；【解答】解：（1）如图 1 中，ECMN，CPN=DNM，tanCPN=tanDNM，DMN=90，tanCPN=tanDNM=2，故答案为 2 （2）如图 2 中，取格点 D，连接 CD，DM CDAN，CPN=D
17、CM，DCM 是等腰直角三角形，DCM=D=45，cosCPN=cosDCM=（3）如图 3 中，如图取格点 M，连接 AN、MN PCMN，CPN=ANM，AM=MN，AMN=90，ANM=MAN=45，CPN=45【点评】本题考查三角形综合题、平行线的性质、勾股定理、直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题 2（2018北京5 分）计算：04sin 45(2)18|1|【解析】解：原式2413 21222 【考点】实数的运算（2018株洲市）计算：【答案】-1【解析】分析：本题涉及绝对值、负整数指数幂、特殊角的三角函
18、数值 3 个考点在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果 详解：原式=2-3=-1.点睛：本题主要考查了实数的综合运算能力解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值等考点的运算 3.计算：【答案】解：原式=4-1+2-+2，=4-1+2-+，=5.【考点】实数的运算 【解析】【分析】根据零指数幂，绝对值的非负性，特殊角的三角函数值，化简计算即可.4（2018 年江苏省泰州市12 分）（1）计算：0+2cos30|2|（）2；（2）化简：（2）【分析】（1）先计算零指数幂、代入三角函数值，去绝对值符号、计算负整数指数幂，再计算乘法和加减
19、可得；（2）根据分式的混合运算顺序和运算法则计算可得【解答】解：（1）原式=1+2（2）4=1+2+4=25；（2）原式=（）=【点评】本题主要考查分式和实数的混合运算，解题的关键是掌握零指数幂、三角函数值、绝对值性质、负整数指数幂及分式的混合运算顺序和运算法则 5（2018新疆生产建设兵团6 分）计算：2sin45+（）1|2|【分析】直接利用二次根式的性质以及特殊角的三角函数值、绝对值的性质、负指数幂的性质进而化简得出答案【解答】解：原式=42+3（2）=4+32+=5【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键 6（2018新疆生产建设兵团12 分）如图，PA 与O 相切于点
20、A，过点 A 作 ABOP，垂足为 C，交O 于点 B连接 PB，AO，并延长 AO 交O 于点 D，与 PB 的延长线交于点 E（1）求证：PB 是O 的切线；（2）若 OC=3，AC=4，求 sinE 的值 【分析】（1）要证明是圆的切线，须证明过切点的半径垂直，所以连接 OBB，证明 OBPE 即可（2）要求 sinE，首先应找出直角三角形，然后利用直角三角函数求解即可而 sinE 既可放在直角三角形EAP 中，也可放在直角三角形 EBO 中，所以利用相似三角形的性质求出 EP 或 EO 的长即可解决问题【解答】（1）证明：连接 OBPOAB，AC=BC，PA=PB 在PAO 和PBO
21、中 PAO 和PBO OBP=OAP=90 PB 是O 的切线（2）连接 BD，则 BDPO，且 BD=2OC=6 在 RtACO 中，OC=3，AC=4 AO=5 在 RtACO 与 RtPAO 中，APO=APO，PAO=ACO=90 ACOPAO=PO=，PA=PB=PA=在EPO 与EBD 中，BDPO EPOEBD=，解得 EB=，PE=，sinE=【点评】本题考查了切线的判定以及相似三角形的判定和性质能够通过作辅助线将所求的角转移到相应的直角三角形中，是解答此题的关键 7（2018四川宜宾10 分）（1）计算：sin30+（2018）021+|4|；（2）化简：（1）【考点】6C：
22、分式的混合运算；2C：实数的运算；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂；T5：特殊角的三角函数值【分析】（1）利用特殊角的三角函数值、零指数幂和负整数指数的意义计算；（2）先把括号内通分，再把除法运算化为乘以运算，然后把 x21 分解因式后约分即可【解答】解：（1）原式=+1+4=5；（2）原式=x+1【点评】本题考查了分式的混合运算：分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的；最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式 8（2018四川宜宾10 分）如图，AB 为圆 O 的直径，C 为圆 O 上一点，D 为
23、 BC 延长线一点，且 BC=CD，CEAD 于点 E（1）求证：直线 EC 为圆 O 的切线；（2）设 BE 与圆 O 交于点 F，AF 的延长线与 CE 交于点 P，已知PCF=CBF，PC=5，PF=4，求 sinPEF 的值 【考点】ME：切线的判定与性质；M5：圆周角定理；T7：解直角三角形【分析】（1）说明 OC 是BDA 的中位线，利用中位线的性质，得到OCE=CED=90，从而得到 CE 是圆 O的切线（2）利用直径上的圆周角，得到PEF 是直角三角形，利用角相等，可得到PEFPEA、PCFPAC，从而得到 PC=PE=5然后求出 sinPEF 的值【解答】解：（1）证明：CE
24、AD 于点 E DEC=90，BC=CD，C 是 BD 的中点，又O 是 AB 的中点，OC 是BDA 的中位线，OCAD OCE=CED=90 OCCE，又点 C 在圆上，CE 是圆 O 的切线（2）连接 AC AB 是直径，点 F 在圆上 AFB=PFE=90=CEA EPF=EPA PEFPEA PE2=PFPA FBC=PCF=CAF 又CPF=CPA PCFPAC PC2=PFPA PE=PC 在直角PEF 中，sinPEF=【点评】本题考查了切线的判定、三角形的中位线定理、相似三角形的性质和判定等知识点利用三角形相似，说明 PE=PC 是解决本题的难点和关键 9（2018四川自贡8
25、 分）计算：|+（）12cos45【分析】本题涉及绝对值、负整数指数幂、特殊角的三角函数值 3 个考点在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果【解答】解：原式=+22=+2=2 故答案为 2【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值等考点的运算 10（2018湖北黄石7 分）计算：（）2+（2）0+cos60+|2|【分析】直接利用负指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、绝对值的性质、零指数幂的性质进而化简得出答案【解答】解：原式=+1+2=+1+2=4【点评】此题主
26、要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键 11.（2018广东深圳5 分）计算：.【答案】解：原式=2-2+1，=2-+1，=3.【考点】实数的运算 【解析】【分析】根据负整数指数幂，特殊角的三角函数值，绝对值的性质，零指数幂一一计算即可得出答案.12.（2018广东9 分）已知 RtOAB，OAB=90，ABO=30，斜边 OB=4，将 RtOAB 绕点 O 顺时针旋转 60，如题图 1，连接 BC（1）填空：OBC=60；（2）如图 1，连接 AC，作 OPAC，垂足为 P，求 OP 的长度；（3）如图 2，点 M，N 同时从点 O 出发，在OCB 边上运动，M 沿 OCB 路径匀速运动，
27、N 沿 OBC 路径匀速运动，当两点相遇时运动停止，已知点 M 的运动速度为 1.5 单位/秒，点 N 的运动速度为 1 单位/秒，设运动时间为 x 秒，OMN 的面积为 y，求当 x 为何值时 y 取得最大值？最大值为多少？【分析】（1）只要证明OBC 是等边三角形即可；（2）求出AOC 的面积，利用三角形的面积公式计算即可；（3）分三种情形讨论求解即可解决问题：当 0 x时，M 在 OC 上运动，N 在 OB 上运动，此时过点 N作 NEOC 且交 OC 于点 E当x4 时，M 在 BC 上运动，N 在 OB 上运动 当 4x4.8 时，M、N 都在 BC 上运动，作 OGBC 于 G【解
28、答】解：（1）由旋转性质可知：OB=OC，BOC=60，OBC 是等边三角形，OBC=60 故答案为 60（2）如图 1 中，OB=4，ABO=30，OA=OB=2，AB=OA=2，SAOC=OAAB=22=2，BOC 是等边三角形，OBC=60，ABC=ABO+OBC=90，AC=2，OP=（3）当 0 x时，M 在 OC 上运动，N 在 OB 上运动，此时过点 N 作 NEOC 且交 OC 于点 E 则 NE=ONsin60=x，SOMN=OMNE=1.5xx，y=x2 x=时，y 有最大值，最大值=当x4 时，M 在 BC 上运动，N 在 OB 上运动 作 MHOB 于 H则 BM=81
29、.5x，MH=BMsin60=（81.5x），y=ONMH=x2+2x 当 x=时，y 取最大值，y，当 4x4.8 时，M、N 都在 BC 上运动，作 OGBC 于 G MN=122.5x，OG=AB=2，y=MNOG=12x，当 x=4 时，y 有最大值，最大值=2，综上所述，y 有最大值，最大值为【点评】本题考查几何变换综合题、30 度的直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质、三角形的面积等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题 13（2018广西桂林6 分）计算：【答案】1【解析】分析：根据算术平方根、零指数幂、负整数指数幂和 cos45=得到原式=，然后进行乘法运算后合并即可 详解：原式=，=1 点睛：本题考查了实数的运算：先进行乘方或开方运算，再进行乘除运算，然后进行实数的加减运算也考查了零指数幂、负整数指数幂以及特殊角的三角函数值 14(2018 四川省眉山市 5 分)计算：（-2)+4cos30（）2.【答案】解：原式=，=-3.【考点】实数的运算 【解析】【分析】根据零指数幂，特殊角的三角函数值，二次根式化简，负整数指数幂一一化简计算即可得出答案.
