1、突破2 数列中的构造问题1.数列an满足a11，anan1anan+1n（n+1）（nN*），则nan的最小值是（C）A.0B.12C.1D.2解析由anan1anan+1n（n+1）（nN*），易知an0，两边同时除以anan1，得1an+11an1n（n+1）1n1n+1，所以当n2时，1an（1an1an1）（1an11an2）（1a21a1）1a1（1n11n）（1n21n1）（1213）（112）121n，当n1时，a11，满足上式，故nann22n11（1n1）2+1，所以当n1时，nan取得最小值1.故选C.2.多选/2023云南玉溪一中7月模拟已知数列an满足a11，an1an
2、1+3an（nN*），则（BCD）A.1an为等比数列B.an13n2C.an为递减数列D.1an的前n项和Tn3n2n2解析因为1an+11+3anan1an3，所以1an是以1为首项，3为公差的等差数列，故选项A错误；因为1an13（n1）3n2，所以an13n2，故选项B正确；因为函数y3x2在1，）上单调递增，且3x20，所以函数y13x2在1，）上单调递减，所以数列an为递减数列，故选项C正确；1an的前n项和Tnn（3n1）23n2n2，故选项D正确.故选BCD.3.2024河南焦作统考已知数列an满足an13an2，a3a222，则满足an160的最小正整数n5.解析由a3=3a
3、2+2，a3a2=22，解得a2=5，a3=17，又a23a12，所以a11.又由an13an2，可得an113（an1），所以an1是首项为a112，公比为3的等比数列，所以an23n11，易知an是递增数列，又a4227153，a52811161，所以满足an160的最小正整数n5.4.2023合肥六中三模已知在数列an中，a15，a22，an2an13an2（n3），则数列an的通项公式为an743n1134（1）n1.解析an2an13an2（n3），anan13（an1an2）（n3），又a1a27，an1an是首项为7，公比为3的等比数列，则an1an73n1，又an3an1（an
4、13an2）（n3），a23a113，an13an是首项为13，公比为1的等比数列，则an13an（13）（1）n1，由得，4an73n113（1）n1，an743n1134（1）n1.5.2023厦门双十中学三模改编已知数列an满足a11，an+1210an（an0），则an的通项公式为an10（110）（12）n1.解析已知an+1210an，等式两边取以10为底的对数可得2lg an1lg an1，即lg an1112（lg an1），所以数列lg an1是以lg a111为首项，12为公比的等比数列，所以lg an1（1）（12）n1（12）n1，即lg an1（12）n1，即an10
5、（110）（12）n1.6.2023山东威海三模已知数列an中，a156，an113an（12）n1，则an的通项公式为an32n23n.解析解法一（待定系数法）令an1（12）n113an（12）n，即an113an3（12）n1，由对应项系数相等得3，设bnan3（12）n，则b1a13（12）123，bn113bn，则数列bn是以23为首项，13为公比的等比数列，则bn23（13）n1，所以an32n23n.解法二（变形转化待定系数法）将an113an（12）n1两边同时乘以2n1，得2n1an123（2nan）1.令cn2nan，则cn123cn1，可得cn1323（cn3），所以数列
6、cn3是首项为c13256343，公比为23的等比数列，所以cn343（23）n1，即cn32（23）n，所以ancn2n32n23n.解法三（累加法）将an113an（12）n1两边同时除以（13）n1，得3n1an13nan（32）n1.令tn3nan，则tn1tn（32）n1，所以当n2时，tntn1（32）n，t3t2（32）3，t2t1（32）2.将以上各式相加，得tnt1（32）2（32）3（32）n（n2）.又t13a135652132，所以tn132（32）2（32）n2（32）n12（n2），当n1时也符合上式，故tn2（32）n12，所以antn3n32n23n.7.202
7、4名师原创设数列an的前n项和为Sn，满足2Snan12n11（nN*），且a1，a25，a3成等差数列.（1）求a1的值；（2）求数列an的通项公式.解析（1）2Snan12n11，令n2得2S2a3231，即2a12a2a37.因为a1，a25，a3成等差数列，所以2（a25）a1a3，即a32（a25）a1，将代入可得2a12a22（a25）a17，解得a11，故a1的值为1.（2）因为2Snan12n11，当n2时，2Sn1an2n1，两式作差可得an13an2n，所以an12n13（an2n），n2，（原式难以配凑时，不妨先将原等式变形为an+12n+132an2n12，再令an+1
8、2n+132（an2n），求得1，构造出新的等比数列再继续求解）易知a25，所以an2n（a222）3n2（54）3n23n，即an3n2n，n2，将n1代入an3n2n得a131211，符合题意.故数列an的通项公式为an3n2n.8.2024浙江宁波模拟已知数列an满足a11，且对任意正整数m，n都有amnanam2mn.（1）求数列an的通项公式；（2）求数列（1）nan的前n项和Sn.解析（1）对任意正整数m，n都有amnanam2mn，取m1，得an1an12n，所以an1an2n1.当n2时，ana1（a2a1）（a3a2）（anan1）1352n1n（1+2n1）2n2，当n1时，a11，符合上式，所以ann2.（2）当n为偶数时，Sn（1222）（3242）（n1）2n23711（2n1）n2（3+2n1）2n（n+1）2n2n2；当n为奇数时，SnSn1（1）nanSn1an（n1）n2n2n2n2.综上所述，Snn2n2，n为偶数，n2n2，n为奇数.
