1、课时作业4距离问题时间：45分钟基础巩固类一、选择题1.如图所示，为了测量某湖泊两侧A，B间的距离，李宁同学首先选定了与A，B不共线的一点C，然后给出了三种测量方案：(ABC的角A，B，C所对的边分别记为a，b，c)：测量A，B，b测量a，b，C测量A，B，a则一定能确定A，B间距离的所有方案的个数为(A)A3 B2C1 D0解析：对于，利用内角和定理先求出CAB，再利用正弦定理解出C，对于，直接利用余弦定理cosC即可解出C，对于，先利用内角和定理求出CAB，再利用正弦定理解出C.故选A.2如图，甲、乙二人同时从A点出发，甲沿着正东方向走，乙沿着北偏东30方向走，当乙走了2千米到达B点时，两
2、人距离恰好为千米，那么这时甲走的距离是(D)A2千米 B2千米C.千米 D1千米解析：假设甲走到了C，则在ABC中，由余弦定理得BC2AB2AC22ABACcos60，即()222AC222AC，解得AC1.故选D.3.如图，已知两座灯塔A和B与海洋观测站C的距离都等于a km，灯塔A在观测站C的北偏东20，灯塔B在观测站C的南偏东40，则灯塔A与灯塔B的距离为(B)Aa kmB.a kmC.a kmD2a km解析：如题图，ACB120，ACBCa.由余弦定理得AB2AC2BC22ACBCcosACB，AB2a2a22a2cos1203a2.ABa.4.如图，某炮兵阵地位于A点，两观察所分别
3、位于C，D两点已知ACD为正三角形，且DC km，当目标出现在B点时，测得CDB45，BCD75，则炮兵阵地与目标的距离是(C)A1.1 kmB2.2 kmC2.9 km D3.5 km解析：CBD180BCDCDB60.在BCD中，由正弦定理，得BD(km)在ABD中，ADB4560105，由余弦定理，得AB2AD2BD22ADBDcos1053252.AB2.9 (km)炮兵阵地与目标的距离约为2.9 km.5某人在地上画了一个角BDA60，他从角的顶点D出发，沿角的一边DA行走10米后，拐弯往另一方向行走14米正好到达BDA的另一边BD上的一点N，则N与D之间的距离为(C)A14米 B1
4、5米C16米 D17米解析：如图，设CD10，则CN14，D60.在CDN中，由余弦定理得cosD，解得DN16(负值舍去)故选C.6.如图，货轮在海上以40 km/h的速度沿着方位角(从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角)为140的方向航行，为了确定船的位置，船在B点观测灯塔A的方位角为110，航行 h到达C点，观测灯塔A的方位角是65，则货轮到达C点时，与灯塔A的距离是(B)A10 km B10 kmC15 km D15 km解析：在ABC中，BC4020(km)，ABC14011030，ACB(180140)65105，A180(30105)45.由正弦定理，得AC10 (km)二、填
5、空题7已知A船在灯塔C北偏东80处，且A到C的距离为2 km，B船在灯塔C北偏西40处，A，B两船的距离为3 km，则B到C的距离为(1) km.解析：如图所示，在ABC中，ACB4080120，AB3 km，AC2 km.设BCa km.由余弦定理，得cos120，解得a1或a1(舍去)，即B到C的距离为(1)km.8一船以每小时15 km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东60，行驶4 h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15，这时船与灯塔的距离为30 km.解析：如图，在ABC中，AC41560，BAC30，ACB105，ABC45.BC30 (km)9台风中心从A地以每小时
6、20 km的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险区，城市B在A的正东40 km处，B城市处于危险区内的持续时间为1小时解析：设t小时时，B城市恰好处于危险区，则由余弦定理，得(20t)2402220t40cos45302，即4t28t70，t1t22，t1t2.故|t1t2|1.三、解答题10.为了测量两山顶M、N间的距离，飞机沿水平方向在A、B两点进行测量，A、B、M、N在同一个铅垂平面内如图，飞机能测量的数据有俯角和A、B间的距离，请设计一个方案，包括：指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出)；用文字和公式写出计算M、N间距离的步骤解：需要测量的数据有A到M、N的俯
7、角1、1，B到M、N的俯角2、2；A、B的距离d(如图所示)第一步：计算AM.由正弦定理AM；第二步：计算AN.由正弦定理AN；第三步：计算MN.由余弦定理MN.11.如图，某炮兵阵地位于地面A处，两观察所分别位于地面C处和D处，已知CD6 000 m，ACD45，ADC75，目标出现于地面B处，测得BCD30，BDC15，求炮兵阵地与目标的距离解：由ACD45，ADC75，得CAD60.在ACD中，由正弦定理，得，则ADCD.在BCD中，可得CBD135，由正弦定理，得BDCD.又ADBADCBDC751590，连接AB，则在ABD中，ABCD6 0001 000 (m)故炮兵阵地与目标的距
8、离为1 000 m.能力提升类12在某次测量中，在A处测得同一平面方向的B点的仰角是50，且到A的距离为2，C点的俯角为70，且到A的距离为3(点B、C在点A所在铅垂线的同侧)，则B，C间的距离为(D)A. B.C. D.解析：在ABC中，BAC120，AB2，AC3.BC2AB2AC22ABACcosBAC49223cos12019.BC.13如图所示为起重机装置示意图支杆BC10 m，吊杆AC15 m，吊索AB5 m，起吊的货物与岸的距离AD为(B)A30 m B. mC15 m D45 m解析：在ABC中，由余弦定理可得cosACB，所以ACB120，ACD18012060.然后由正弦定
9、理，可得ADACsin60 (m)故选B.14某人在汽车站M的北偏西20方向上的A处，观察到点C处有一辆汽车沿公路向M站行驶公路的走向是汽车站M的北偏东40.开始时，汽车到A的距离为31千米，汽车前进20千米后，到A的距离缩短了10千米此时汽车离汽车站的距离是15千米解析：由题设，画出示意图，如图设汽车前进20千米后到达B处在ABC中，AC31千米，BC20千米，AB21千米，由余弦定理，得cosC，则sinC，所以sinMACsin(120C)sin120cosCcos120sinC.在MAC中，由正弦定理，得MC35(千米)从而有MBMCBC15千米，所以此时汽车离汽车站的距离是15千米1
10、5.如图，已知海岛B在海岛A的北偏东45方向上，A，B相距10海里，小船甲从海岛B以2海里/小时的速度沿直线向海岛A移动，同时小船乙从海岛A出发沿北偏西15方向也以2海里/小时的速度移动(1)经过1小时后，甲、乙两小船相距多少海里？(2)在航行过程中，小船甲是否可能处于小船乙的正东方向？若可能，请求出所需时间，若不可能，请说明理由解：(1)经过1小时后，甲船到达M点，乙船到达N点，AM1028，AN2，MAN60，所以MN2AM2AN22AMANcos6064428252.所以MN2.所以经过1小时后，甲、乙两小船相距2海里(2)设经过t(0t5)小时小船甲处于小船乙的正东方向，则甲船与A距离为AE(102t)海里，乙船与A距离为AF2t海里，EAF60，EFA75，FEA45，则由正弦定理得，即，则t5.答：经过小时小船甲处于小船乙的正东方向