1、命题点3球与多面体的棱相切的问题例3 （1）2023全国卷甲在正方体ABCDA1B1C1D1中，AB4，O为AC1的中点，若该正方体的棱与球O的球面有公共点，则球O的半径的取值范围是22，23.解析由该正方体的棱与球O的球面有公共点，可知球O的半径应介于该正方体的棱切球（与各条棱均相切的球）半径和外接球半径之间（包含棱切球半径和外接球半径）.设该正方体的棱切球半径为r，因为AB4，所以2r24，所以r22；设该正方体的外接球半径为R，因为AB4，所以（2R）2424242，所以R23.所以球O的半径的取值范围是22，23.（2）2023广东省高州市二模已知球O与正四面体ABCD的各棱相切，且与
2、平面相切，若AB1，则正四面体ABCD表面上的点到平面距离的最大值为624.解析将正四面体ABCD补形成正方体，如图所示.因为球O与正四面体ABCD的各棱相切，所以球O即正方体的内切球，易知球心O为正方体体对角线的中点，如图所示.记正四面体ABCD表面上的点到球心O的距离为d，球O的半径为r，则正四面体ABCD表面上的点到平面距离的最大值为dr的最大值.设正方体棱长为a，则a2a21，解得a22，所以r24，易知dmaxOA123a264，所以正四面体ABCD表面上的点到平面距离的最大值为6424624.方法技巧破解此类球与多面体的棱相切问题的关键一是会转化，即能把所求的问题进行转化，例如，以
3、正四面体的相对棱的中点的连线为直径的球，常转化为与几何体的棱相切的问题，从而把空间问题平面化；二是会求球的半径，能在转化后的平面问题中，寻找相关的量，求出球的半径或直径.训练3 （1）多选/2024福州市一检已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面边长为2，球O与正四棱柱的上、下底面及侧棱都相切.P为平面CDD1内一点，且直线BP与球O相切，则（BCD）A.球O的表面积为4B.直线BD1与BP所成的角等于45C.该正四棱柱的侧面积为162D.侧面ABB1A1与球面的交线长为2解析如图1，设球O与正四棱柱的下底面相切于点O1，连接OO1，则OO1平面ABCD，连接O1A，OA，则OAO1为直线
4、OA与平面ABCD所成的角.因为球O与正四棱柱的上、下底面及侧棱都相切，所以球O的半径ROO1O1A2，所以球O的表面积S表428，该正四棱柱的侧面积为4222162，故选项A错误，C正确.依题意，BB1，BP均为球O的切线，BD1经过球心O，所以B1BD1PBD1.连接B1D1，则B1D122BB1，所以PBD1B1BD145，即直线BD1与BP所成的角为45，选项B正确.对于选项D，记棱AA1的中点为F，则球O与棱AA1的切点为F，故侧面ABB1A1与球面的交线为过点F的圆，记矩形ABB1A1的中心为E，则侧面ABB1A1与球面的截面圆的圆心为E，如图2，连接EF，截面圆的半径rEF12A
5、B1，所以截面圆的周长为2，即侧面ABB1A1与球面的交线长为2，选项D正确.综上，选BCD.图1图2（2）2023山西省朔州市大地学校高中部第四次月考正四面体的内切球、棱切球（与各条棱均相切的球）及外接球的半径之比为133.解析设正四面体SABC的棱长为1，外接球和内切球的半径分别为R，r，如图所示，设D为AB的中点，连接SD，CD，作SECD于点E，由正四面体的性质可知线段SE为正四面体SABC的高.在正三角形SAB中，SD1（12）232.同理，在正三角形ABC中，CD32，则DE13CD36，SABC1213234，所以SESD2DE2（32）2（36）263，则V四面体SABC13SABCSE133463212.由正四面体的性质知，其内切球、棱切球、外接球的球心重合，且球心O在线段SE上，则RrOSOESE63，V四面体SABC413SABCr41334r33r212，所以r612，故R64.连接OD，因为棱切球与棱AB相切，故其半径为ODr2DE2（612）2（36）224，故正四面体的内切球、棱切球及外接球的半径之比为6122464133.
