1、第6讲 复数1.2024河南信阳开学考试ii2i3i2 025（C）A.2 025B.1iC.iD.i解析因为i21，i3i，i41，i5i，i61，i1i10，所以ii2i3i2 025i，故选C.2.2024贵阳模拟复数z满足（12i）z3i，则z（A）A.2B.3C.2D.5解析解法一因为（12i）z3i，所以z3i1+2i（3i)(12i）（1+2i)(12i）1575i，所以z（15）2（75）22，故选A.解法二因为（12i）z3i，所以z3i1+2i，所以z3i1+2i3i1+2i1052，故选A.3.2023高三名校联考已知a+2iibi（a，bR），其中i是虚数单位，则ab（
2、B）A.3B.1C.1D.3解析解法一因为a+2iibi，所以（a+2i）ii22aibi，所以a=1，b=2，即a1，b=2，所以ab1，故选B.解法二因为a+2iibi，所以a2i（bi）i，即a2ibi1，所以a1，b=2，所以ab1，故选B.4.2024安徽六校联考复数z在复平面内对应的点为（3，1），则1izi（A）A.1535iB.3535iC.1515iD.1515i解析由复数的几何意义可知，z3i，所以z2，所以1izi1i2+i（1i)(2i）（2+i)(2i）1535i.故选A.5.2024江西四校联考设a，bR且b0，若复数（abi）3是实数，则（A）A.b23a2B.a
3、23b2C.b29a2D.a29b2解析因为（abi）3a33a2bi3ab2b3i（a33ab2）（3a2bb3）i为实数，（提示：完全立方和公式为（ab）3a33a2b3ab2b3）所以3a2bb30.又因为b0，所以3a2b2，故选A.6.角度创新设复数z1，z2在复平面内对应的点关于虚轴对称，z112i，i为虚数单位，则z1z2（B）A.12iB.5C.5D.5i解析因为z1，z2在复平面内对应的点关于虚轴对称，z112i，所以z212i，所以z1z2（12i）（12i）5，故选B.7.2023长沙重点中学模拟设复数z满足zz2i，z2，复数z所对应的点位于第一象限，则1z（B）A.1
4、+3i2B.3i4C.1+3i2D.3i4解析设zabi（aR，bR），则zabi，所以zz2bi2i，则b1，所以za2b2a2+12，解得a3.又因为复数z所对应的点位于第一象限，所以a3，所以z3i，所以1z13i3i（3i)(3i）3i4，故选B.8.角度创新若3+4iz是纯虚数，则复数z可以是（D）A.34iB.34iC.43iD.43i解析解法一因为复数3+4iz是纯虚数，所以设3+4izmi（mR且m0），则z3+4imi（3+4i)(i）mi（i）43im，显然当m1时，z43i，故选D.解法二设zabi（a，bR），则3+4iz（3+4i)(abi）（abi)(abi）（3a
5、+4b）（4a3b）ia2b2，因为3+4iz是纯虚数，所以3a+4b=0，4a3b0，所以ab43，结合选项知，选D.9.开放题已知复数z4+ai1+i，且z在复平面内对应的点在第四象限，则a的一个整数值可以为0（答案不唯一）.解析z4+ai1+i（4+ai)(1i）（1+i)(1i）（4+ai)(1i）2a+42（a4）i2，因为z在复平面内对应的点在第四象限，所以a+420，a420，解得4a4，又aZ，所以a可取3，2，1，0，1，2，3.10.2023广西联考设复数zxyi，其中x，y是实数，i是虚数单位，若y1ixi，则复数z的共轭复数在复平面内对应的点位于（D）A.第一象限B.第
6、二象限 C.第三象限D.第四象限解析因为y1ixi，所以y（xi）（1i）xxii1，所以yx+1，1x=0，解得y=2，x=1，所以z12i，所以z12i，所以z在复平面内对应的点为（1，2），位于第四象限，故选D.11.2023广东六校联考设复数z1232i，其中i是虚数单位，z是z的共轭复数，下列判断中错误的是（B）A.zz1B.z2zC.z是方程x2x10的一个根D.满足znR的最小正整数n为3解析对于A，zz（1232i）（1232i）1，故A正确；对于B，z2（1232i）21232i，z1232i，z2z，故B错误；对于C，（1232i）2（1232i）11232i1232i10
7、，则z是方程x2x10的一个根，故C正确；对于D，z1232i，z21232i，z3z2z（1232i）（1232i）1，故D正确，故选B.12.多选18世纪末，韦塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义.例如，zOZ，即复数z的模的几何意义为z在复平面内对应的点Z到原点O的距离.下列说法正确的是（BCD）A.若z1，则z1或ziB.若在复平面内，复数65i，34i分别对应向量OA与OB（O为坐标原点），则向量BA对应的复数为9iC.在复平面内，复数z对应的点为Z（1，1），则z对应的点位于第三象限D.若复数z满足1z2，则复数z在复平面内对应的点所构成的图形的面积为
8、解析对于A，令z1232i，满足z1，故A错误；对于B，由题知BAOAOB，即在复平面内，BA对应的复数为65i（34i）9i，故B正确；对于C，点Z（1，1），z在复平面内对应点（1，1），位于第三象限，故C正确；对于D，设zabi，a，bR，复数z满足1z2，1a2b22，复数z在复平面内对应的点所构成的图形面积为（2）212，故D正确.故选BCD.13.2024四川成都二中开学考试已知复数z满足z1zi（i为虚数单位），在复平面内，记z02i对应的点为点Z0，z对应的点为点Z，则点Z0与点Z之间距离的最小值为322.解析解法一设zxyi（x，yR），由z1zi，得（x1）2y2x2（y1
9、）2，即yx，所以点Z0（2，1）与点Z（x，y）之间的距离d（x2）2（y1）22x22x+52（x12）292322，当且仅当x12时取等号.解法二由z1zi及复数的几何意义知，点Z在点（1，0）与点（0，1）连线的垂直平分线上，即点Z的轨迹方程为yx.点Z0与点Z之间距离的最小值即点Z0（2，1）到直线yx的距离，即2+12322.14.1748年，瑞士著名数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式eixcos xisinx，该公式被称为欧拉公式，它在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.设复数ze4i，根据欧拉公式可知，z1i表示的复数的虚部为（C）A
10、.22B.22iC.22D.22i解析解法一由题意知ze4icos4isin42222i，根据复数的运算法则知z1i2222i1i22i，所以z1i的虚部为22，故选C.解法二根据公式eixcos xisinx知，1i2cos（4）isin（4）2e4i，因为ze4i，所以z1ie4i2e4i22e2i22（cos2isin2）22i，所以z1i的虚部为22，故选C.15.与数列综合已知复数数列an满足a12i，an1iani1，nN*，i为虚数单位，则a101i.解析解法一因为a12i，an1iani1，nN*，所以a22iii11i，a3（1i）ii10，a40ii11i，a5（1i）ii12i，可知数列an是以4为周期的周期数列，所以a10a422a21i. 解法二由an1iani1，可得an1ii（ani），又a1ii0，所以数列ani是以i为首项，i为公比的等比数列，所以aniin，则aniin，所以a10ii10ii21i.
