1、课时素养评价二十平面图形的面积 (20分钟50分)一、选择题(每小题5分，共20分)1.如图所示，曲线y=x2-1，x=2，x=0，y=0围成的阴影部分的面积为()A.|x2-1|dxB.(1-x2)dxC.(x2-1)dxD.(x2-1)dx+(1-x2)dx【解析】选A.由曲线y=|x2-1|的对称性知，所求阴影部分的面积与如下图形的面积相等，即|x2-1|dx.2.由曲线y2=2x，y=x-4所围成的图形的面积为()A.6B.C.18D.-18【解析】选C.如图，由得交点坐标为(2，-2)，(8，4).所以S=dy=18.3.由曲线f(x)=与y轴及直线y=m(m0)围成的图形的面积为，
2、则m的值为()A.2B.3C.1D.8【解析】选A.S=(m-)dx=m3-m3=，解得m=2.4.已知函数f(x)的部分图像如图所示，向图中的矩形区域随机投入100粒豆子，记下落入阴影区域的豆子数，通过10次这样的试验，算得落入阴影区域的豆子的平均数约为33，由此可估计的值约为()A.B.C.D.【解析】选A.由题意设阴影部分的面积为S，则=，所以S=.二、填空题(每小题5分，共10分)5.如图，在边长为e(e为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为_.【解析】由题意知，所给题图中两阴影部分面积相等，故阴影部分面积为S=2(e-ex)dx=2(ex-ex)=2e-
3、e-(0-1)=2.又该正方形面积为e2，故由几何概型的概率公式可得所求概率为.答案：6.若函数f(x)=则f(x)与x轴围成封闭图形的面积为_.【解析】函数f(x)=则f(x)与x轴围成的封闭图形如图，其面积为：11+cos xdx=+sin x=.答案：三、解答题(每小题10分，共20分)7.已知曲线C1：y=x2与C2：y2=x在第一象限内的交点为P.(1)求过点P且与曲线C1相切的直线方程l.(2)求l与曲线C2所围图形的面积S.【解题指南】(1)求出P点坐标，设出切点坐标，根据导数的几何意义列出方程求出切点坐标和切线斜率，代入点斜式方程.(2)求出l与C2的交点坐标，使用定积分求出封
4、闭图形的面积.【解析】(1)解方程组得x=y=1，所以P(1，1).设f(x)=x2，则f(x)=2x，设l与C1的切点为(x0，)，则切线斜率为k=f(x0)=2x0，所以l的方程为y-=2x0(x-x0)，把P(1，1)代入l的方程得，x0=1，所以切线l方程为2x-y-1=0.(2)解方程组得或所以S=dy=.8.过抛物线C：y=x2上的点P(1，1)处作曲线C的切线PT，求曲线C，切线PT及y轴所围成的平面图形的面积S.【解析】如图，切线PT的斜率k=y=2x，将x=1代入得k=2.所以PT的方程为y-1=2(x-1)，即y=2x-1.所以S=x2-(2x-1)dx=.(15分钟30分
5、)1.(5分)求由曲线y=-，直线y=-x+2及y轴所围成的图形的面积错误的为()A.(2-x+)dxB.dxC.(2-y-y2)dyD.(4-y2)dy【解析】选C.曲线y=-，直线y=-x+2及y轴所围成的图形如图中阴影部分所示：则阴影部分的面积可表示为(2-x+)dx，可知A正确；根据对称性可知(2-x)dx=(x-2)dx，所以阴影部分的面积可表示为0-(-)dx=dx，可知B正确；同理，根据对称性可知，阴影部分的面积可表示为(4-y2)dy，可知D正确.2.(5分)已知函数f(x)=-x3+ax2+bx(a，bR)的图像如图所示，它与x轴在原点处相切，且x轴与函数图像所围区域(图中阴
6、影部分)的面积为，则a的值为()A.1B.2C.-1D.-2【解析】选C.因为函数f(x)=-x3+ax2+bx(a，bR)的图像如题图所示，它与x轴在原点处相切，所以f(x)=-3x2+2ax+b，且f(0)=b=0，则f(x)=-x3+ax2，因为x轴与函数图像所围区域的面积为，所以由f(x)=-x3+ax2=0，解得x=0或x=a，由题干图像可知a0，则根据积分的几何意义可得-(-x3+ax2)dx=-=a4=，即a4=1，解得a=-1或a=1(舍去).3.(5分)已知二次函数y=f(x)的图像如图所示，则它与x轴所围成的面积为_.【解析】根据f(x)的图像可设f(x)=a(x+1)(x
7、-1)(a0).因为f(x)的图像过点(0，1)，所以-a=1，即a=-1.所以f(x)=-(x+1)(x-1)=1-x2.所以S=(1-x2)dx=2(1-x2)dx=2=2=.答案：4.(5分)计算：dx=_.【解析】由定积分的几何意义知，dx表示圆(x-1)2+y2=4和x=1，x=3，y=0围成的图形的面积，所以dx=4=.答案：5.(10分)如图，过点A(6，4)作曲线f(x)=的切线l.(1)求切线l的方程；(2)求切线l，x轴及曲线f(x)=所围成的封闭图形的面积S.【解析】(1)f(x)定义域为2，+)，f(x)=，所以切线l的斜率k=f(6)=，所以切线l的方程为y-4=(x
8、-6)，即x-2y+2=0.(2)令f(x)=0得x=2，把y=0代入x-2y+2=0得x=-2，所以封闭图形的面积S=dx-dx=-(4x-8=.【加练固】已知曲线C：y=2x3-3x2-2x+1，点P，求曲线C的过点P的切线l与曲线C围成的图形的面积.【解析】设切线l与曲线C相切于点M(x0，y0)，由于y=6x2-6x-2，所以解得x0=0，所以切线l的斜率k=-2，方程为y=-2，即y=-2x+1.因此得或故切线l与曲线C围成图形的面积为S=|2x3-3x2-2x+1-(-2x+1)|dx=|2x3-3x2|dx=，即所求面积为.已知y=f(x)是二次函数，方程f(x)=0有两个相等的实根，且f(x)=2x+2.(1)求f(x)的解析式；(2)求曲线y=f(x)与曲线y=-x2-4x+1所围成的图形的面积S.【解析】(1)设f(x)=ax2+bx+c(a0)，由题意可得所以a=1，b=2，c=1，所以f(x)=x2+2x+1.(2)由x=-3或x=0，所以S=(-x2-4x+1)-(x2+2x+1)dx=9.