1、2019备战中考数学（冀教版）巩固复习-第十七章特殊三角形（含解析）一、单选题1.在下列长度的各组线段中，能组成直角三角形的是（） A.5，6，7B.1，5，9C.5，12，13D.7，15，242.在ABC中，下列哪个点与ABC的任意两个顶点，围成的三角形都是等腰三角形（ ） A.三条中线的交点B.三条高线的交点C.三条角平分线的交点D.三条垂直平分线的交点3.如图，ABC中，AB=AC，D为BC的中点，以下结论：ABDACD；ADBC；B=C；AD是ABC的角平分线其中正确的有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个4.有两棵树，一棵高10m，另一棵高4m，两树相距8m一只小鸟从一棵树的树梢
2、飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（） A.8mB.10mC.12mD.14m5.下列各组长度的线段能组成直角三角形的是（ ） A.a=2，b=3，c=4B.a=4，b=4，c=5C.a=5，b=6，c=7D.a=5，b=12，c=136.如图所示：求黑色部分（长方形）的面积为( )A.24B.30C.48D.187.如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，点P在x轴上，若以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有（ ）A.2个B.3个C.4个D.5个8.对假命题“任何一个角的补角都不小于这个角”举反例，正确的反例是（ ） A.=60，的补角=120，B.=90，的补角=9
3、0，=C.=100，的补角=80，D.两个角互为邻补角9.如图，在ABC中，A=36，AB=AC，BD、CE分别为ABC的角平分线，BD、CE相交于O，则图中等腰三角形有（ ） A.5个B.6个C.7个D.12个10.下列几组数中，是勾股数的是（） A.1， B.15，8，17C.13，14，15D.， ， 1二、填空题11.一直角三角形两条边长分别是12和5，则第三边长为_ 12.如图，RtABC中，ACB=90，AB=6，D是AB的中点，则CD=_13.已知ABC中，AC=BC，A=80，则B=_ 14.如图，梯形ABCD中，ADBC，ABC与DCB的平分线相交于点H，过H作AD的平行线交
4、AB于E，交CD于F若BE=3，CF=2，则EF=_15.如图，在等腰ABC中，AB=AC=BD，BAD=70，DAC=_ 16.ABC中，AC=15，AB=13，BC=14，则BC边上的高AD=_ 17.如图，已知八边形ABCDEFGH中4个正方形的面积分别为25，144，48，121个平方单位，PR=13（单位），则该八边形的面积=_平方单位18.观察以下几组勾股数,并寻找规律：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41，请你写出有以上规律的第组勾股数:_ 19.如图，分别以RtABC的三边为边长，在三角形外作三个正方形，若正方形P的面积等于89，Q的面积等于25，则正方形
5、R的边长是_ 20.等腰三角形的一个外角是100，则这个等腰三角形的底角为_ 三、解答题21.如图是美国总统Garfield于1896年给出的一种验证勾股定理的办法，你能利用它证明勾股定理吗？请写出你的证明过程（提示：如图三个三角形均是直角三角形） 四、综合题22.如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A、B两个基地前去拦截，六分钟后同时到达C地将其拦截已知甲巡逻艇每小时航行120海里，乙巡逻艇每小时航行50海里，乙巡逻艇的航向为北偏西40 （1）求甲巡逻艇的航行方向； （2）成功拦截后，甲、乙两艘巡逻艇同时沿原方向返回且速度不变，三分钟后
6、甲、乙两艘巡逻艇相距多少海里？ 23.如图，在ABC中，AB=AC，点E在CA延长线上，EPBC于点P，交AB于点F （1）求证：E=AFE； （2）若AF=2，BF=5，ABC的周长为m，求m的取值范围 24.如图，正方形网格中的ABC，若小方格边长为1，（1）判断ABC的形状，说明理由 （2）求A到BC的距离 25.如图，在ABC中，AB=10，BC=12，BC边上的中线AD=8 （1）证明：ABC为等腰三角形； （2）点H在线段AC上，试求AH+BH+CH的最小值 答案解析部分一、单选题1.【答案】C 【考点】勾股定理的逆定理 【解析】【分析】欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只
7、要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可【解答】A、因为52+6272 ， 所以不能组成直角三角形；B、因为12+52=92 ， 所以不能组成直角三角形；C、因为52+122132 ， 所以不能组成直角三角形；D、因为72+152242 ， 所以不能组成直角三角形故选C【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可2.【答案】D 【考点】等腰三角形的判定 【解析】【解答】解：因为垂直平分线的交点到两边距离相等，所以能围成等腰三角形， 故选D【分析】根据垂直平分线的性质和等腰三角形的判定解答即可3.【答案】D 【考点】等
8、腰三角形的性质 【解析】【解答】解：AB=AC，B=C，正确，D为BC的中点，ADBC，BAD=CAD，正确，在ABD和ACD中ABDACD（SSS），正确，正确的有4个，故选D【分析】由“三线合一”可知正确，由等边对等角可知正确，且容易证明ABDACD，可得出答案4.【答案】B 【考点】勾股定理的应用 【解析】【解答】解：如图，设大树高为AB=10m，小树高为CD=4m，过C点作CEAB于E，则四边形EBDC是矩形，连接AC，EB=4m，EC=8m，AE=ABEB=104=6m，在RtAEC中，AC=10m故选B【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路
9、程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出5.【答案】D 【考点】勾股定理的逆定理 【解析】【解答】解：A、22+3242 ， 根据勾股定理的逆定理不是直角三角形，故此选项错误； B、42+4252 ， 根据勾股定理的逆定理不是直角三角形，故此选项错误；C、52+6272 ， 根据勾股定理的逆定理不是直角三角形，故此选项错误；D、52+122=132 ， 根据勾股定理的逆定理是直角三角形，故此选项正确故选：D【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形如果没有这种关系，这个三角形就不是直角三角形6.【答案】B 【考点】勾股定理的应用 【解析
10、】【分析】先根据勾股定理求出直角三角形的斜边，而直角三角形的斜边即为长方形的长，再根据长方形的面积公式即可求得结果。【解答】由题意得，长方形的长为，则黑色部分（长方形)的面积为10x3=30，故选B.【点评】本题属于基础应用题，只需学生熟知勾股定理，即可完成7.【答案】C 【考点】等腰三角形的判定与性质 【解析】【解答】解：以O为圆心，以OA为半径画弧交x轴于点P和P，此时三角形是等腰三角形，即2个；以A为圆心，以OA为半径画弧交x轴于点P（O除外），此时三角形是等腰三角形，即1个；作OA的垂直平分线交x轴于一点P1 ， 则AP=OP，此时三角形是等腰三角形，即1个；2+1+1=4，答案为：C
11、【分析】等腰三角形的分类讨论可分别以三个顶点为顶角顶点，具体作图可以分三类：（1）以O为圆心，以OA为半径画弧交x轴于点P和P；（2）以A为圆心，以OA为半径画弧交x轴于点P；（3）作OA的垂直平分线交x轴于一点P1，再根据等腰三角形的性质可求出OP的长，转化为坐标.8.【答案】C 【考点】反证法 【解析】【解答】解：举反例应该是证明原命题不正确，即要举出不符合叙述的情况； A、的补角，符合假命题的结论，故A错误；B、的补角=，符合假命题的结论，故B错误；C、的补角，与假命题结论相反，故C正确；D、由于无法说明两角具体的大小关系，故D错误故选C【分析】熟记反证法的步骤，然后进行判断即可9.【答
12、案】D 【考点】等腰三角形的判定与性质 【解析】【解答】解：在等腰ABC中，A=36， ABC=ACB=72，BD、CE平分ABC、ACB，ABD=DBC=ACE=BCE=36，BEC=CDB=72，EDBC，CED=BDE=36，图中相等的角有：A=ABD=ACE=ECB=DBC=CED=BDE=36，ABC=ACB=BEC=CDB=B0E=COD=AED=ADE=72，因此是等腰三角形的有：ABC、ADE、ABD、ACE；BDE、BCE、BE0；CDB、CDE、CDO；EDO、BOC；共12个，故选D【分析】根据已知条件，求出各角的度数，然后根据相等角来判断等腰三角形的个数10.【答案】B
13、 【考点】勾股数 【解析】【解答】解：A、1， 不都是整数，此选项不符合题意；B、152+82=172 ， 且15，8，17都是整数，此选项符合题意；C、132+142152 ， 此选项不符合题意；D、， ， 1不都是整数，此选项不符合题意故选B【分析】满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数，依此判断即可二、填空题11.【答案】13或 【考点】勾股定理 【解析】【解答】解：12和5均为直角边，则第三边为 =13 12为斜边，5为直角边，则第三边为 = 故答案为：13或 【分析】只给出了两条边而没有指明是直角边还是斜边，所以应该分两种情况进行分析一种是两边均为直角边；另一种是较长的边是斜边
14、，根据勾股定理可求得第三边12.【答案】3 【考点】直角三角形斜边上的中线 【解析】【解答】解：ACB=90，D为AB的中点，CD= AB= 6=3故答案为：3【分析】利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可解答。13.【答案】80 【考点】等腰三角形的性质 【解析】【解答】解：ABC中，AC=BC，A=80， B=A=80故答案为：80【分析】根据等腰三角形两底角相等即可得解14.【答案】5 【考点】等腰三角形的判定与性质 【解析】【解答】解：EFBC，HBC=EHB，又EBH=HBC，EBH=EHB，EH=BE=3，同理，HF=CF=2，EF=EH+HF=2+3=5故答案为：5【分析】
15、根据平行线的性质以及角平分线的定义可以证得EBH=EHB，则EH=BE，同理HF=CF，则EF的长可以求得15.【答案】30 【考点】等腰三角形的性质 【解析】【解答】解：AB=AD， ADB=BAD=70，B=1807070=40，AB=AC，B=C=40，BAC=1804040=100，DAC=BACBAD=10070=30，故答案为：30【分析】利用等边对等角得ADB=BAD=70，由三角形内角和得B=40，由等边对等角得：C=40，从而依次求BAC、DAC的度数16.【答案】12 【考点】勾股定理 【解析】【解答】解：设BD=x，则CD=14x， 在RtABD中，AD2+x2=132
16、， 在RtADC中，AD2=152（14x）2 ， 则有132x2=152（14x）2 ， 132x2=152196+28xx2 ， 解得x=5，在RtABD中，AD= =12故答案为：12【分析】AD为高，那么题中有两个直角三角形AD在这两个直角三角形中，设BD为未知数，可利用勾股定理都表示出AD长求得BD长，再根据勾股定理求得AD长17.【答案】428+66 【考点】勾股定理的逆定理 【解析】【解答】4个正方形的面积分别为25，144，48，121，边长分别为：5、12、4 、11，PR=13、PS=12、RS=5，PSSR，PQQR，S四边形PQRS= （PSSR+PQQR）=30+22
17、 ，显然SHSG+SCDQ=S四边形PQRS，如图作QIPS交于I，BJAP交AP的延长线于J，BP=PQ，BJP=QIP=90，APB+QPS=3609090=180，QPS=BPJ，RtPQIRtPBJ，QI=BJ，SAPB=SPSQ， 同理SEFR=SQSR，则SAPB+SEFR=S四边形PQRS，故八边形的面积=3（30+22 ）+144+48+121+25，=428+66 故答案为：428+66 【分析】由PR=13、PS=12、RS=5得出PSSR，PQQR，求出四边形PQRS的面积，作QIPS交于I，BJAP交AP的延长线于J，利用全等证出QI=BJ，推出SAPB+SEFR=S四
18、边形PQRS，再把各部分的面积相加即可得到答案本题主要考查了面积与等积变换，全等三角形的性质和判定，三角形的面积，勾股定理得逆定理等知识点，正确求出各部分的面积是解此题的关键题目较好但有一定难度.18.【答案】11，60， 61 【考点】勾股定理的逆定理 【解析】【解答】从上边可以 发现第 一个数是奇数，且逐步递 增2，故第5组第一个数是11，又发现第二、第三个数相差为1，故设第二个数为x ， 则第三个数为x+1，根据勾股定理得：112+x2=(x+1)2 ， 解得x=60，则得第组勾股数是11，60， 61【分析】勾股数有很多规律，学生能够根据题目发现特定规律并运用勾股定理正确求解，是探索数
19、学奥秘的一个有效途径19.【答案】8 【考点】勾股定理 【解析】【解答】解：AB2=89，BC2=25，C=90， AC2=8925=64，字母B所代表的正方形的边长= =8故答案为：8【分析】根据正方形的面积为边长的平方可知AB2和BC2的值，再根据勾股定理即可求出R所代表的正方形的边长20.【答案】50或80 【考点】等腰三角形的性质 【解析】【解答】解：若100的外角是此等腰三角形的顶角的邻角， 则此顶角为：180100=80，则其底角为： =50；若100的外角是此等腰三角形的底角的邻角，则此底角为：180100=80；故这个等腰三角形的底角为：50或80故答案为：50或80【分析】由
20、等腰三角形的一个外角是100，可分别从若100的外角是此等腰三角形的顶角的邻角与若100的外角是此等腰三角形的底角的邻角去分析求解，即可求得答案三、解答题21.【答案】证明： ， （a+b）（a+b）=2ab+c2 ， a2+2ab+b2=2ab+c2 ， a2+b2=c2 【考点】勾股定理的证明 【解析】【分析】此直角梯形的面积由三部分组成，利用直角梯形的面积等于三个直角三角形的面积之和列出方程并整理四、综合题22.【答案】（1）解：AC=120 =12（海里），BC=50 =5（海里）， AC2+BC2=AB2ABC是直角三角形CBA=50CAB=40甲的航向为北偏东50（2）解：甲巡逻船
21、航行3分钟的路程为：120 =6（海里） 乙巡逻船航行3分钟的路程为：50 =2.5（海里）3分钟后，甲、乙两艘巡逻船相距为： =6.5（海里） 【考点】勾股定理的逆定理，勾股定理的应用 【解析】【分析】（1）先用路程等于速度乘以时间计算出AC，BC的长，利用勾股定理的逆定理得出三角形ABC为直角三角形，再利用在直角三角形中两锐角互余求解；（2）分别求得甲、乙航行3分钟的路程，然后由勾股定理来求甲乙的距离23.【答案】（1）解：AB=AC，B=C，EPBC，C+E=90，B+BFP=90，E=BFP，又BFP=AFE，E=AFE（2）解：E=AFE，AF=AE，AEF是等腰三角形又AF=2，B
22、F=5，CA=AB=7，AE=2，CE=9；0BC14，14ABC的周长28，即14m28 【考点】等腰三角形的性质 【解析】【分析】（1）根据等边对等角得出B=C，再根据EPBC，得出C+E=90，B+BFP=90，从而得出D=BFP，再根据对顶角相等得出E=AFE；（2）根据等角对等边即可得出CE，然后由三角形的三边关系即可得到结论24.【答案】（1）解：ABC是直角三角形理由如下：在ABC中，AC=BC=AB=AC2+AB2=BC2 ， A=90，ABC是直角三角形；（2）解：设BC边上的高为hSABC=BCh=ABAC，h=【考点】勾股定理 【解析】【分析】（1）根据勾股定理分别求出A
23、B、BC、AC的长，再根据勾股定理的逆定理判断出三角形ABC的形状；（2）设BC边上的高为h根据ABC的面积不变列出方程BCh=ABAC，得出h=， 代入数值计算即可25.【答案】（1）解：AD是BC边上的中线， BD=DC=6在ABD中，BD2+AD2=62+82=102=AB2 ， ABD为直角三角形ADB=90ADBCADBC，BD=DC，AB=ACABC为等腰三角形（2）解：AH+BH+CH=AC+BH=10+BH， 当BH最小时，AH+BH+CH有最小值由垂线段的性质可知当BHAC时，BH有最小值 BHAC= BCAD，即 10BH= 128，解得：BH=9.6AH+BH+CH的最小值=10+9.6=19.6 【考点】等腰三角形的判定与性质 【解析】【分析】（1）由三角形的中线的定义可知BD=DC=6，然后依据勾股定理的逆定理可证明ABD为直角三角形，故此ADBC，则AD为BC的垂直平分线，依据线段垂直平分线的性质可知AB=AC；（2）由题意可得到CH+AC=AC=10，故此当BH最小时，AH+BH+CH有最小值，依据垂线段的性质可知当BHAC时，BH有最小值，在ABC中，依据面积法可求得BH的最小值
