1、课时分层作业(九)椭圆的标准方程及性质的应用(建议用时：60分钟)一、选择题1若点P(a,1)在椭圆1的外部，则a的取值范围为()ABCDB由题意知1，即a2，解得a或a0且m3综上可知，m1且m3，故选B3椭圆1的左焦点为F1，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标是()A BC DA设椭圆的右焦点为F2，则原点O是线段F1F2的中点，从而OM綊PF2，则PF2F1F2，由题意知F2(3,0)，由1得y2，解得y，从而M的纵坐标为4椭圆mx2ny21(m0，n0且mn)与直线y1x交于M，N两点，过原点与线段MN中点所在直线的斜率为，则的值是()A BC DA联立方程
2、组可得得(mn)x22nxn10，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点P(x0，y0)，则x0，y01x01kOP故选A5已知点F1，F2是椭圆x22y22的左、右焦点，点P是该椭圆上的一个动点，那么|的最小值是()A0 B1C2 D2C设P(x0，y0)，则(1x0，y0)，(1x0，y0)，(2x0，2y0)，|22点P在椭圆上，0y1，当y1时，|取最小值2故选C二、填空题6过点M(1,1)作斜率为的直线与椭圆C：1(ab0)相交于A，B，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率为_设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则1，1，得，0又M(1,1)是线段AB的中点，所以x1x
3、22，y1y22，所以0，所以a22b2，所以e7过椭圆1的右焦点F作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则OAB的面积为_由已知可得直线方程为y2x2，联立方程组解得A(0，2)，B，SAOB|OF|yAyB|8若点O和点F分别为椭圆1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为_6由1可得F(1,0)设P(x，y)，2x2，则x2xy2x2x3x2x3(x2)22，当且仅当x2时，取得最大值6三、解答题9已知椭圆4x2y21及直线yxm(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程解(1)联立方程组消去y，整理得：5x2
4、2mxm210直线与椭圆有公共点，4m220(m21)2016m20，m(2)设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由(1)得|AB|x1x2|m，0m2，当m0时，|AB|取得最大值，此时直线方程为yx，即xy010已知椭圆C：1(ab0)的一个顶点为A(2,0)，离心率为，直线yk(x1)与椭圆C交于不同的两点M，N(1)求椭圆C的方程；(2)当AMN的面积为时，求k的值解(1)由题意得解得c，b，所以椭圆C的方程为1(2)由得(12k2)x24k2x2k240，设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则y1k(x11)，y2k(x21)，x1x2，x1x
5、2，所以|MN|x1x2|，又因为点A(2,0)到直线yk(x1)的距离d，所以AMN的面积为S|MN|d，由，化简得7k42k250，解得k11已知椭圆的长轴长为20，短轴长为16，则椭圆上的点到椭圆中心距离的取值范围是()A6,10 B6,8C8,10 D16,20C由题意知a10，b8，不妨设椭圆为1，椭圆上的点M(x0，y0)，由椭圆的范围知，|x0|a10，|y0|b8，点M到椭圆中心的距离d，又因为1，所以y6464x，则d，因为0x100，所以64x64100，所以8d10故选C2已知椭圆E：1(ab0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点若AB的中点坐标为(1，
6、1)，则E的方程为()A1B1C1 D1D因为直线AB过点F(3,0)和点(1，1)，所以直线AB的方程为y(x3)，代入椭圆方程1，消去y，得x2a2xa2a2b20，所以AB的中点的横坐标为1，即a22b2，又a2b2c2，所以bc3，a218，故选D3已知F1为椭圆C：y21的左焦点，直线l：yx1与椭圆C交于A，B两点，那么|F1A|F1B|的值为_设点A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1x2)，由消去y，得3x24x0A(0，1)，B|AB|，|F1A|F1B|4a|AB|44已知直线y3x2被椭圆1(ab0)截得的弦长为8，则下列直线中被椭圆截得的弦长也为8的有_(填序号)y3
7、x2；y3x1；y3x2；y3x2；y3x椭圆关于原点和坐标轴对称，从而与直线y3x2关于原点和坐标轴对称的直线被椭圆截得的弦长也为8，直线y3x2关于原点对称的直线为y3x2，关于x轴对称的直线为y3x2，关于y轴对称的直线为y3x2，故应填5已知椭圆方程为1(ab0)，过点A(a,0)，B(0，b)的直线倾斜角为，原点到该直线的距离为(1)求椭圆的方程；(2)斜率大于零的直线过D(1,0)与椭圆分别交于点E，F，若2，求直线EF的方程；(3)对于D(1,0)，是否存在实数k，使得直线ykx2分别交椭圆于点P，Q，且|DP|DQ|，若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由解(1)由，ab，得a，b1，所以椭圆的方程是y21(2)设EF：xmy1(m0)，代入y21，得(m23)y22my20设E(x1，y1)，F(x2，y2)由2，得y12y2，由y1y2y2，y1y22y得2，m1或m1(舍去)，直线EF的方程为xy1，即xy10(3)记P(x1，y1)，Q(x2，y2)将ykx2代入y21，得(3k21)x212kx90(*)，x1，x2是此方程的两个相异实根设PQ的中点为M，则xM，yMkxM2由|DP|DQ|，得DMPQ，kDM，3k24k10，得k1或k但k1，k均使方程(*)没有两相异实根满足条件的k不存在
