1、基于 CVaR 的次新股投资组合优化模型与实证分析魏冰月摘要：参数方法需要假定次新股服从具体的分布，导致次新股的风险存在误差，为了克服参数方法的缺点，提出核密度估计方法计算次新股的风险。建立基于 CVaR 核估计量的次新股投资组合优化模型，以准确计算次新股的风险。文章运用牛顿迭代算法设计其求解算法。通过实证分析表明，与参数方法相比核密度估计方法能够描述风险分布的尾部特征，给出更准确的估计结果，并发现次新股投资组合的 CVaR 核估计值随着概率水平的增加而不断减少。关键词：核密度估计;CVaR;次新股;优化模型由于股票发行机构对新股发行的检查更为严格，次新股的质量往往比较好，所以次新股很受投资者
2、的欢迎。但由于次新股的上市时间一般不会超过 1 年，相对于金融市场中其它类型的股票，已有的历史数据往往比较少，本文试图基于次新股已有的历史数据，通过分析短期内风险的统计特征，计算短期内次新股的风险。通常，基于参数方法去估计 CVaR 值。但由于参数方法往往需要假定风险的概率模型，且需要大量的历史数据才能保证估计的稳定性和可靠性，为了克服参数方法的缺点，一些学者提出了非参数核密度估计方法度量 CVaR 值，Gourieroux 等首次介绍了 CVaR 的核密度估计，结果表明，核密度估计方法无需对金融数据进行分布假设。Scaliet 首次将非参数核密度估计方法应用在 CVaR 及投资组合的风险度量
3、中，以图示的形式讨论了只存在两只证券的情况下，证券组合头寸的变化情况。但 Scaliet 并没有找到精确的 CVaR 值及其组合头寸。在文献的基础上，本文进一步研究如何基于 CVaR 做风险投资组合优化研究。本文预选取了 2019 年 1 月 1 日至 2019 年 5 月 1 日的次新股日收盘价数据做实证分析，并与参数方法下次新股风险进行比较，验证核密度估计方法的准确性及建立优化模型的有效性。一、基于指数核函数的次新股 CVaR 相关核估计（一）单只次新股的 CVaR 核估计假设l是某次新股在 T 期的股票收盘价，ct=log（lt/lt-1）是第 t 期的对数收益，c是相依严平稳的时间序列
4、。记 Xt=-ct 是第 t 期的对数损失，Xt 的边际分布函数为 F（），边际密度函数为 f（），生存函数为 S（）。记 Xt 的边际分布函数的核估计为云赞（），边际密度函数的核估计为枣赞（），生存函数的核估计为杂赞（）。在给定概率水平 p 时，记 Xt 的 VaR 为 Vp，其数学表达式：Vp=infVp：F（Xt）1-p。记 Xt 的 CVaR 为 Up，其数学表达式为：Up=EXt|XtVp。由于次新股的上市时间较短，可获取相关次新股数据相对较少，基于非参数核密度估计方法对 Xt 的 CVaR 进行估计。当窗宽确定时，核函数的选取对核密度估计的影响不大，记 Xt 的边际密度函数 f（x
5、）的核估计为枣赞（x），其表达式为：枣赞（x）=K其中：K（）为核函数。记 Xt 的 VaR 核估计量为灾赞 p，CVaR 的核估计量为哉赞p，核密度估计分两步计算。第一步先估计 Xt 的 VaR 核估计灾赞 p，窗宽 h 由拇指法则确定，其表达式为：h=1.06T-0.2 其中：2 为单只次新股对数损失数据的方差;X 单只次新股对数损失数据矩阵的转置，当杂赞（x）=p 时可得 Xt 的 VaR 核估计值灾赞 p。第二步由 Xt 的 CVaR 的定义可知核估计表达式为：哉赞 p=K（t）dt（二）次新股投资组合的 CVaR 核估计假设次新股之间的交易忽略中间成本，市场具有抵御下跌风险的能力，n
6、 只次新股之间相互独立。令第只股票的收益率为 bi，b=（b1，b2，bn）为 n 只次新股的样本矩阵，投资者的财富标准化为 1，记 w=（w1，w2，w）为投资者所持有的组合头寸，组合头寸满足 wi=1，则次新股投资组合的收益率为 Bw=wb。记 n 只次新股在 T 期内的收益率为b其中 bt=（b1t，b2t，bnt），则次新股投资组合的均值矩阵 b=bt，次新股投资组合的协方差阵表达式为：=（bt-b）（bt-b）。次新股投资组合在 T 期内的收益为：Bwt，其中：Bwt=wb。当概率水平为 p 时，记次新股组合的风险价值为 V（w，p），记次新股组合的条件风险价值为 U（w，p），其数
7、学表达式为：U（w，p）=E-wb|-wbV（w，p）。次新股组合的窗宽 h 由拇指法则确定，h=1.06T-0.2定義 1：（1，2）;3=1K，定义 2：陨赞（）=bt，wbt）;udu，次新股投资组合 CVaR 的核估计值分两步计算。第一步计算次新股组合 VaR 的核估计，记次新股组合的 VaR 核估计为灾赞（w，p），通过1，wbt）;udu=p 可得灾赞（w，p）。第二步计算次新股投资组合的 CVaR 核估计哉赞（w，p），由文献11可知是条件期望 Eb|wb-V（w，p）的核估计，因此哉赞（w，p）的核估计可以通过哉赞（w，p）=陨赞（灾赞（w，p）计算。二、次新股投资组合 CVa
8、R 核估计的风险优化（一）建立次新股投资组合的最小风险组合优化模型根据建立的非参数核估计方法计算次新股组合的 CVaR 的哉赞（w，p），建立基于CVaR 核估计的次新股投资组合优化模型 A1：min 哉赞（w，p）=-w陨赞（灾赞（w，p）/ps.t.wD=1，0wi1，i=1，2，n其中，D=（1，1，1）1n，对模型 A1 求解可得次新股投资组合的最小 CVaR核估计值及对应的组合头寸，对模型 A1 分析可得下面的引理。（二）次新股组合的风险优化模型求解显然问题 A1 是凸优化问题，因此本文通过设计牛顿迭代算法对次新股组合优化问题求解。通过构造 Lagrange 函数 L（w，）=哉赞（
9、w，p）+（wE-1）求解哉赞（w，p）。哉赞（w，p）存在最优解的必要条件是：首先满足函数 L（w，）的一阶导数 F为 0，其次二阶导数矩阵 H 可逆，其中一阶导数 F的计算公式如下：F=F=H 是函数 L（w，）的 Hession，其计算公式如下Fww=Fw=D;Fw=D;F=0牛顿迭代算法的求解步骤如下：1.记 W=（w，），给定初值 W=（w0，0）和一个正数，取迭代变量为 k。2.将给定初值 w0，将次新股组合的协方差阵代入可得 hk 与灾赞（wk，p）。由灾赞（wk，p）和 hk 可得哉赞（wk，p），同时计算 F和 H;如果|F|，停止迭代，输出Wk;否则计算 H-1，如果 H-
10、1 不存在则迭代失败，如果 H-1 存在则转入步骤 c）。3.计算 Wk+1=Wk-H-1F，如果|Wk+1-Wk|则停止迭代，否则 k=k+1，返回步骤b）。三、實证分析（一）单只次新股的 CVaR 核估计实证分析参数方法通常假设次新股的日收盘价数据服从正态分布，由文献可知，正态分布下CVaR 估计为 Up=-+?（zp）/p，其中：为次新股的均值，为次新股的标准差，?（）为标准正态分布下的密度函数，zp 为标准正态分布下 p 的分位数。基于不同方法及概率水平下的 CVaR 值见表 1。由表 1 可得，在相同的概率损失下，基于参数方法计算的次新股 CVaR 值均大于核估计方法下的 CVaR
11、值。随着概率水平的增加次新股各自的 CVaR 值变化逐渐减少。基于参数方法下，随着概率水平的增加，四只次新股的 CVaR 值在不断变小。比较核估计方法与参数方法可以发现，参数方法低估了短期内次新股的风险，从两只次新股的日收盘价直方图可以看出，假定两只次新股的日收盘价数据服从正态分布是不准确的，因而会导致计算误差。核密度估计是从数据本身出发对次新股的风险进行估计，避免了假定具体分布而导致的误差，从核密度拟合曲线可以看出，核估计方法计算的风险价值更接近真实值，从而提高了计算的准确性。（二）次新股组合的最小 CVaR 及其组合头寸实证分析本文选取了四川天邑（300504）、新疆交建（002941）、
12、光弘科技（300735）、天奥电子（002935）的 2019 年 1 月 1 日至 2019 年 5 月 1 日的日收收盘价数据，通过 Python编程计算不同概率水平下的组合头寸及 CVaR 值见表 2。由表 2 可得，不同概率水平下的四只股票的组合头寸和对应的最小 CVaR 值;组合 CVaR值随着概率水平的增加不断变大。在概率水平为 1%时，短期内四只次新股投资组合的风险核估计值为 1.9065，小于单只次新股的风险。短期内四只次新股投资组合的最小 CVaR 值为 1.7332，取得最小风险时的组合头寸为 w=（0.1945，0.3686，0.3793，0.0576）。对比表 1 可以
13、发现在概率水平小于或等于 5%时，次新股投资组合最小 CVaR 核估计值小于单只股票 CVaR 核估计值，满足投资的分散化原理。从而验证了本文建立优化模型的有效性。四、结论为了准确的计算次新股的风险，克服参数方法需要假定次新股服从具体分布而导致次新股风险计算有误差的缺点。本文基于核密度估计方法建立次新股投资组合优化模型，并设计牛顿迭代算法对其求解。实证分析表明：核密度估计方法能够描述风险分布的尾部特征，给出更准确的估计结果。参考文献：1Jorion P.Value at RiskM.2rd ed.McGraw-Hill，2001.2Rockafellar R T，Uryasev S.Optim
14、ization of conditional value-at-riskJ.Mathmatical Finance，2000（03）.3黄金波，李仲飞，姚海祥.条件 VaR 和条件 CVaR 的核估计及其实证分析J.数理统计与管理，2016（02）.4王铁钢.基于 CVaR 方法的工程投资组合优化模型与实证J.统计与决策，2016（13）.5戴丽娜.商业银行操作风险的度量基于非参数方法J.数理统计与管理，2017（03）.6Scaillet O.Nonparametric estimation and sensitivity analysis ofespected shortfall J.Mathematical Finance，2004（01）.7孙志华，尹俊平，陈菲菲，等.非参数与半参数统计M.清华大学出版社，2016.8黄金波，李仲飞，姚海翔.基于 CVaR 核估计量的风险管理J.管理科学学报，2014（03）.9黄雯.基于核密度估计的上证 A 股收益率分析J.佳木斯大学学报（自然科学版），2015（05）.（作者单位：浙江理工大学理学院）
