1、第八章 平面解析几何 第八节 曲线与方程(理)第八章 平面解析几何 主干知识梳理 一、曲线与方程 在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)0的实数解建立了如下的关系：1曲线上点的坐标都是；2以这个方程的解为坐标的点都是 那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线这个方程的解曲线上的点第八章 平面解析几何 二、求动点的轨迹方程的一般步骤1建系建立适当的坐标系；2设点设轨迹上的任一点P(x，y)；3列式列出动点P所满足的关系式；4代换依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为关于x，y的方程式，并化简；5证明证明所求方程
2、即为符合条件的动点轨迹方程第八章 平面解析几何 三、曲线的交点 设曲线 C1 的方程为 F1(x，y)0，曲线 C2 的方程为 F2(x，y)0，则 C1，C2 的交点坐标即为方程组F1（x，y）0，F2（x，y）0的实数解，若此方程组无解，则两曲线无交点第八章 平面解析几何 基础自测自评1(教材习题改编)方程x2xyx表示的曲线是()A一个点 B一条直线C两条直线D一个点和一条直线C 方程变为x(xy1)0，则x0或xy10，故方程表示直线x0和直线xy10.第八章 平面解析几何 2已知点P是直线2xy30上的一个动点，定点M(1，2)，Q是线段PM延长线上的一点，且|PM|MQ|，则Q点的
3、轨迹方程是()A2xy10 B2xy50C2xy10 D2xy50D 由题意知，M为PQ中点，设Q(x，y)，则P为(2x，4y)，代入2xy30得2xy50.第八章 平面解析几何 3(教材习题改编)若点P到直线x1的距离比它到点(2，0)的距离小1.则点P的轨迹为()A圆B椭圆C双曲线D抛物线D 依题意，点P到直线x2的距离等于它到点(2，0)的距离，故点P的轨迹是抛物线第八章 平面解析几何 4动点 P(x，y)到定点 A(3，4)的距离比 P 到 x 轴的距离多一个单位长度，则动点 P 的轨迹方程为_解析 由|PA|y|1，即（x3）2（y4）2|y|1.当 y0 时得 x26x10y24
4、0.当 y0 时得(x3)2156y，无轨迹 答案 x26x10y240(y0)第八章 平面解析几何 5一圆形纸片的圆心为O，点Q是圆内异于O的一点，点A在圆周上把纸片折叠使点A与点Q重合，然后抹平纸片，折痕CD与OA交于P点，当A点运动时，点P的轨迹是_解析 由条件知折痕CD垂直平分AQ，故|PQ|PO|PA|PO|OA|OQ|，故点P的轨迹是以O，Q为焦点的椭圆答案 椭圆第八章 平面解析几何 关键要点点拨1曲线与曲线方程、轨迹与轨迹方程是两个不同的概念，寻求轨迹或轨迹方程时应注意轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响2求轨迹方程的常用方法：(1)直接法：直接利用条件建立x，y之间的关
5、系或F(x，y)0；(2)待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数；第八章 平面解析几何(3)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；(4)代入转移法：动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x0，y0)的变化而变化，并且Q(x0，y0)又在某已知曲线上，则可先用x，y的代数式表示x0，y0，再将x0，y0代入已知曲线得要求的轨迹方程第八章 平面解析几何 典题导入在ABC 中，顶点 A(1，0)，B(1，0)，动点 D，E 满足：；求ABC 顶点 C 的轨迹方程直接法求轨迹方程 第八章 平面解析几何
6、第八章 平面解析几何 整理得y227x231.因为 ABC 的三个顶点不共线，所以 y0，故 ABC 顶点 C 的轨迹方程为y227x231(y0)第八章 平面解析几何 互动探究本例条件变为“ABC 的顶点 A(5，0)，B(5，0)，ABC 的内切圆圆心在直线 x3 上，”问题不变解析 如图，|AD|AE|8.|BF|BE|2，|CD|CF|.则|CA|CB|826.由双曲线的定义，所求轨迹是以 A，B 为焦点，实轴长为 6 的双曲线的右支，方程为x29y2161(x3)第八章 平面解析几何 规律方法直接法求曲线方程的一般步骤(1)建立合理的直角坐标系；(2)设出所求曲线上点的坐标，把几何条
7、件或等量关系用坐标表示为代数方程；(3)化简整理这个方程，检验并说明所求的方程就是曲线的方程直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系“翻译”为代数方程，要注意“翻译”的等价性第八章 平面解析几何 跟踪训练1(2014襄阳模拟)平面内动点 P(x，y)与 A(2，0)、B(2，0)两点连线的斜率之积为14，动点 P 的轨迹方程为()A.x24y21 B.x24y21C.x24y21(x2)D.x24y21(x2)D 由题意知 yx2 yx214，化简得x24y21 且 x2.第八章 平面解析几何 典题导入(2014海淀模拟)点P到图形C上每一个点的距离的最小值称为点P到图形C的距离，那
8、么平面内到定圆的距离与到定点A的距离相等的点的轨迹不可能是()A圆 B椭圆C双曲线的一支D直线定义法求轨迹方程 第八章 平面解析几何 听课记录 如图1，令定点A为定圆的圆心，动点M为定圆半径AP的中点，故|AM|MP|，此时M的轨迹为一个圆，圆心为A，半径为AM，故A可能如图2，以F1为定圆的圆心，图1第八章 平面解析几何|F1P|为其半径，在F1P上截|MP|MA|，|PF1|r，|MF1|PM|MF1|MA|r|F1A|，由椭圆的定义可知，M的轨迹是以F1、A 为焦点的椭圆，故B可能 图2第八章 平面解析几何 如图3，以F1为定圆的圆心，|F1P|为其半径，延长F1P到点M，使得|MP|M
9、A|，则有|MF1|PM|r，|MF1|MA|r|F1A|，由双曲线的定义可知，M的轨迹是以F1、A为焦点的双曲线的右支，故C可能图3第八章 平面解析几何 如图4，定点A在定圆F上，则满足题意的点M的轨迹是以F 为端点的一条射线，故D不可能 答案 D图4第八章 平面解析几何 规律方法1运用圆锥曲线的定义求轨迹方程，可从曲线定义出发直接写出方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出方程2定义法和待定系数法适用于已知轨迹是什么曲线，其方程是什么形式的方程的情况利用条件把待定系数求出来，使问题得解第八章 平面解析几何 跟踪训练2(2014长春模拟)设圆(x1)2y225 的圆心为 C，A(1，0)是
10、圆内一定点，Q 为圆周上任一点线段 AQ 的垂直平分线与 CQ的连线交于点 M，则 M 的轨迹方程为()A.4x2214y2251 B.4x2214y2251C.4x2254y2211 D.4x2254y2211第八章 平面解析几何 D M 为 AQ 垂直平分线上一点，则|AM|MQ|，|MC|MA|MC|MQ|CQ|5，故 M 的轨迹为椭圆，a52，c1，则 b2a2c2214，椭圆的标准方程为4x2254y2211.第八章 平面解析几何 典题导入如图，设 P 是圆 x2y225 上的动点，点 D 是 P 在 x 轴上的投影，M 为 PD 上一点，且|MD|45|PD|.(1)当 P 在圆上
11、运动时，求点 M 的轨迹 C 的方程；(2)求过点(3，0)且斜率为45的直线 l 被 C 所截线段的长度代入法求轨迹方程 第八章 平面解析几何 听课记录(1)设点 M 的坐标是(x，y)，点 P 的坐标是(xP，yP)，因为点 D 是 P 在 x 轴上投影，M 为 PD 上一点，且|MD|45|PD|，所以 xPx，且 yP54y，P 在圆 x2y225 上，x254y 225，整理得x225y2161，即 C 的方程是x225y2161.第八章 平面解析几何(2)过点(3，0)且斜率为45的直线 l 的方程是 y45(x3)，设此直线与 C 的交点是 A(x1，y1)，B(x2，y2)，将
12、直线方程 y45(x3)代入 C 的方程x225y2161 得x225（x3）2251，化简得 x23x80.x13 412，x23 412，第八章 平面解析几何 线 段AB的 长 度 为|AB|（x1x2）2（y1y2）2 11625（x1x2）2412541415，即所截线段的长度是415.第八章 平面解析几何 规律方法代入法也叫坐标转移法，是求轨迹方程常用的方法，其题目特征是：点P的运动与点Q的运动相关，且点Q的运动有规律(有方程)，只需将P的坐标转移到Q的方程中，整理即可得P的轨迹方程第八章 平面解析几何 跟踪训练3(2014河南模拟)已知定点 A(2，0)，它与抛物线 y2x 上的动
13、点P 连线的中点 M 的轨迹方程为()Ay22(x1)By24(x1)Cy2x1 Dy212(x1)第八章 平面解析几何 D 设 P(x0，y0)，M(x，y)，则xx022，yy02.所以x02x2，y02y.，由于 y20 x0，所以 4y22x2.即 y212(x1)第八章 平面解析几何【创新探究】参数法求曲线的轨迹方程 (理)(2013四川高考)已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的两个焦点分别为 F1(1，0)，F2(1，0)，且椭圆 C 经过点P43，13.(1)求椭圆 C 的离心率；(2)设过点 A(0，2)的直线 l 与椭圆 C 交于 M，N 两点，点 Q是线段 MN 上
14、的点，且 2|AQ|21|AM|2 1|AN|2，求点 Q 的轨迹方程第八章 平面解析几何【思路导析】(1)利用椭圆的定义求a；(2)分直线l与x轴垂直和不垂直两种情况求解直线l与x轴不垂直时，借助于一元二次方程根与系数的关系及消参法等知识求轨迹方程第八章 平面解析几何【解析】(1)由椭圆定义知，2a|PF1|PF2|431 2132431 21322 2，所以 a 2.又由已知，c1，所以椭圆 C 的离心率 eca 12 22.(2)由(1)知，椭圆 C 的方程为x22y21.设点 Q 的坐标为(x，y)第八章 平面解析几何()当直线 l 与 x 轴垂直时，直线 l 与椭圆 C 交于(0，1
15、)，(0，1)两点，此时点 Q 的坐标为0，23 55.()当直线 l 与 x 轴不垂直时，设直线 l 的方程为 ykx2.因为 M，N 在直线 l 上，可设点 M，N 的坐标分别为(x1，kx12)，(x2，kx22)，则|AM|2(1k2)x21，|AN|2(1k2)x22.又|AQ|2x2(y2)2(1k2)x2.由 2|AQ|21|AM|2 1|AN|2，第八章 平面解析几何 得2（1k2）x21（1k2）x211（1k2）x22，即2x21x211x22（x1x2）22x1x2x21x22.将 ykx2 代入x22y21 中，得(2k21)x28kx60.由(8k)24(2k21)6
16、0，得 k232.由可知，x1x2 8k2k21，x1x262k21，第八章 平面解析几何 代入中并化简，得 x21810k23.因为点 Q 在直线 ykx2 上，所以 ky2x，代入中并化简，得 10(y2)23x218.由及 k232，可知 0 x232，即 x 62，0 0，62.第八章 平面解析几何 又0，23 55满足 10(y2)23x218，故 x 62，62.由题意，Q(x，y)在椭圆 C 内，所以1y1，又由 10(y2)2183x2 有(y2)295，94 且1y1，则 y12，23 55.所以点Q的轨迹方程为10(y2)23x218，其中x 62，62，y12，23 55
17、.第八章 平面解析几何(文)已知圆 C 的方程为 x2(y4)24，点 O 是坐标原点，直线 l：ykx 与圆 C 交于 M，N 两点(1)求 k 的取值范围；(2)设 Q(m，n)是线段 MN 上的点，且2|OQ|21|OM|21|ON|2，请将 n表示为 m 的函数第八章 平面解析几何【解析】(1)将 ykx 代入 x2(y4)24 中，得(1k2)x28kx120.(*)由(8k)24(1k2)120，得 k23，所以 k 的取值范围是(，3)(3，)(2)因为点 M，N 在直线 l 上，可设点 M，N 的坐标分别为(x1，kx1)，(x2，kx2)，则|OM|2(1k2)x21，|ON
18、|2(1k2)x22.又|OQ|2m2n2(1k2)m2，由2|OQ|21|OM|2 1|ON|2，得 第八章 平面解析几何 2（1k2）m21（1k2）x211（1k2）x22，即 2m21x211x22（x1x2）22x1x2x21x22.由(*)式可知，x1x2 8k1k2，x1x2 121k2，所以 m2365k23.因为点 Q 在直线 ykx 上，所以 knm.第八章 平面解析几何 代入 m2365k23中并化简，得 5n23m236.由 m2365k23及 k23，可知 0m20，所以 n363m25 15m21805.于是，n 与 m 的函数关系式为 n 15m21805(m(3
19、，0)(0，3)第八章 平面解析几何【高手支招】参数法是指先引入一个中间变量(参数)，使所求动点的横、纵坐标x、y间建立起联系，然后再从所求式子中消去参数，得到x，y间的直接关系式，即得到所求轨迹方程第八章 平面解析几何 体验高考(2013新课标全国卷高考)已知圆M：(x1)2y21，圆N：(x1)2y29，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程；(2)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.第八章 平面解析几何 解析 由已知得圆 M 的圆心为 M(1，0)，半径 r11；圆 N 的圆心为 N(1，0)，半径
20、r23.设圆 P 的圆心为 P(x，y)，半径为 R.(1)因为圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切，所以|PM|PN|(Rr1)(r2R)r1r24.由椭圆的定义可知，曲线 C 是以 M，N 为左、右焦点，长半轴长为 2，短半轴长为 3的椭圆(左顶点除外)，其方程为x24y231(x2)第八章 平面解析几何(2)对于曲线 C 上任意一点 P(x，y)，由于|PM|PN|2R22，所以 R2，当且仅当圆 P 的圆心为(2，0)时，R2.所以当圆 P 的半径最长时，其方程为(x2)2y24.若 l 的倾斜角为 90，则 l 与 y 轴重合，可得|AB|2 3.若 l 的倾斜角不为 90，由 r1R 知 l 不平行于 x 轴，设 l 与 x 轴的交点为 Q，则|QP|QM|Rr1，可求得 Q(4，0)，所以可设 l：yk(x4)，第八章 平面解析几何 由 l 与圆 M 相切得|3k|1k21，解得 k 24.当 k 24 时，y 24 x 2代入x24y231，并整理得 7x28x80，解得 x1，246 27.所以|AB|1k2|x2x1|187.第八章 平面解析几何 当 k 24 时，由图形的对称性可知|AB|187.综上，|AB|2 3或|AB|187.第八章 平面解析几何 课时作业
