1、邯郸市2015届高三质检考试理科数学【试卷综述】重点考查基本知识和基本技能，侧重通性通法 注重对基本知识和基本技能的考查，重点考查通性通法，避免偏题、怪题，适当控制运算量，加大思考量，在大题中，每个题的难度按照由易到难的梯度设计，学生入口容易，但是又不能无障碍的获得全分，本次数学试卷的另一个特点是具有一定的综合性，很多题目是由多个知识点构成的，这有利于考查考生对知识的综合理解能力.【题文】一选择题【题文】1.已知集合则A B. C. D.【知识点】集合运算. A1【答案】【解析】C 解析：A=x|-4x0，b0)的一条渐近线为，则它的离心率为A. B. C. D. 【知识点】双曲线的几何性质.
2、 H6【答案】【解析】A 解析：由已知得,故选A. 【思路点拨】根据已知得关于a,b,c的方程组，解得离心率. 【题文】4设是两个非零向量，则“”是“夹角为钝角”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【知识点】向量的数量积；充分条件；必要条件. F3 A2【答案】【解析】B 解析：因为时，夹角为钝角或平角，而夹角为钝角时，成立，所以“”是“夹角为钝角”的必要不充分条件.故选B.【思路点拨】：因为时，夹角为钝角或平角，而夹角为钝角时，成立，所以“”是“夹角为钝角”的必要不充分条件.【题文】5. 执行如右图所示的程序框图,若输出的值为16，那么输入的值
3、等于A.5 B.6 C.7 D.8 【知识点】程序框图的准确阅读与理解. L1【答案】【解析】C 解析：图中循环结构循环的结果依次是：（1）s=1+0=1,i=2; (2)s=1+1=2,i=3;(3)s=2+2=4,i=4;(4)s=4+3=7,i=5;(5)s=7+4=11,i=6;(6)s=11+5=16,i=7.所以若输出的值为16，那么输入的值等于7.故选C. 【思路点拨】根据程序框图描述的意义，依次写出循环结果，得输入的n值. 【题文】6. 已知在平面直角坐标系上的区域由不等式组给定若为上的动点，点的坐标为，则的最大值为 AB CD【知识点】向量的数量积；线性规划问题. F3 E5
4、【答案】【解析】C 解析：，画出可行域，平移目标函数得点（2,2）为最优解，所以的最大值为，故选C. 【思路点拨】利用向量数量积的虚部形式，变形目标函数，画出可行域，平移目标函数得，目标函数取得最大值的最优解. 【题文】7. 如图，在底面边长为的正方形的四棱锥中，已知，且，则直线与平面所成的角的余弦值为 PABCD【知识点】线面角的求法；等体积求高. G11 【答案】【解析】D 解析：设B到平面PCD的距离h,则由得，令线与平面所成的角为，则，故选D. 【思路点拨】由等体积求高法求得B到平面PCD 的距离，从而求得直线与平面所成的角的余弦值. 【题文】8. 已知，A是由曲线与围成的封闭区域，若
5、向上随机投一点，则点落入区域A的概率为A. B. C. D.【知识点】几何概型；微积分基本定理. K3 B13【答案】【解析】D 解析：区域A的面积S，而表示的区域的面积为4，所以落入区域A的概率为,故选D. 【思路点拨】利用微积分基本定理求得线与围成的封闭区域的面积，再求得表示的区域的面积，这两个面积比为所求概率. 【题文】9.下列三个数：，大小顺序正确的是 【知识点】函数的单调性比较数值的大小. B3 【答案】【解析】A 解析：设函数，由，所以分f(x)是的减函数，又，所以【思路点拨】构造函数f(x)=lnx-x,利用此函数的单调性，确定a,b,c的大小顺序. 【题文】10.已知等差数列中
6、，前10项的和等于前5项的和.若则 10 9 8 2【知识点】等差数列的性质. D2 【答案】【解析】A 解析：+=2，所以=0，所以m+6=2=16，所以m=10,故选A. 【思路点拨】根据等差数列的性质求解. 【题文】11某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为A.10 B.20 C.40 D.60 345正视图图侧视图俯视图3【知识点】几何体的三视图. G2【答案】【解析】B 解析：由三视图可知此几何体是四棱锥P-ABCD如图，其中四边形ABCD是边长为5 的正方形，有一个侧面与底面垂直，且以P为直角顶点，两直角边长分别为3,4的直角三角形，所以该几何体的体积为,故选 B. ：【思
7、路点拨】由三视图得此几何体的直观图，及此几何体的某些边长和边间位置关系，从而求得此几何体的体积. 【题文】12. 已知函数是定义域为的偶函数. 当时， 若关于的方程（）,有且仅有6个不同实数根，则实数的取值范围是A B C D【知识点】偶函数的性质；二次方程的实根分布. B4 B5 【答案】【解析】C 解析：当时，且是上增函数；当时，且是上减函数. 令，则要使关于的方程（）,有且仅有6个不同实数根，根据函数f(x)的对称性，需使关于t的方程有两个不同实根，且：（1）或（2）或（3），由（1）得，由（2）得，由（3）得. 所以实数的取值范围是：.故选C. 【思路点拨】画出函数f(x)的图像，求得
8、函数f(x)的值域，结合图像与值域得，要使关于的方程（）,有且仅有6个不同实数根，需使需使关于t的方程有两个不同实根，且：（1）或（2）或（3），由此解得a范围. 【题文】二、填空题【题文】13. 如图，正六边形的边长为，则_；【知识点】向量的数量积. F3【答案】【解析】 解析：因为，夹角120，所以.【思路点拨】结合正六边形的性质求出两向量的模及夹角，再由向量数量积的定义求解. 【题文】14. 已知，则的最小值为 ；【知识点】基本不等式法求最值. E6 【答案】【解析】3 解析：由得x+y=3,所以，当且仅当()时等号成立.【思路点拨】由得x+y=3,然后构造使用基本不等式的条件求得结论.
9、 【题文】15. 已知圆，过点作的切线，切点分别为，则直线的方程为 ；【知识点】直线与圆的位置关系；直线的方程. H1 H4【答案】【解析】2x+3y-4=0 解析：以O(0，0),A(2，3)为直径端点的圆的方程为：X(x-2)+y(y-3)-0即，与圆相减得：2x+3y-4=0，所以直线的方程为2x+3y-4=0【思路点拨】根据以OA为直径的圆与已知圆的交线就是直线OQ 得结论. 【题文】16. 如图，在中，,D是AC上一点，E是BC上一点，若.,则BC= . CEDAB【知识点】余弦定理；勾股定理；平行线分线段成比例定理. C8 N1【答案】【解析】 解析：取BD中点F，BE中点G，连接
10、AF、FG，可得,FG是BDE的中位线，所以FGDE，所以A、F、G三点共线，设AB=a,则BD=2a,AD=，由，在BDC中，由余弦定理得=93，所以BC= . 【思路点拨】取BD中点F，BE中点G，连接AF、FG，证明A、F、G三点共线，由已知及平行线分线段成比例定理得线段AD的长，从而得线段BD长，然后在BDC中，由余弦定理求得BC长. 【题文】三解答题【题文】17. (本小题满分10分)等差数列中，公差且成等比数列，前项的和为.（1） 求及；（2）设，求.【知识点】等差数列及其前n项和；数列求和. D2 D4 【答案】【解析】(1) ，；（2）. 解析：（1）由题意可得又因为 2分 4
11、分（2） 6分 10分【思路点拨】（1）由等差数列的通项公式及成等比数列，求得公差d，进而求得及；（2）由裂项相消法求.【题文】18. (本小题满分12分)已知(1)求函数的最小正周期及在区间的最大值;(2) 在中, 所对的边分别是，求周长的最大值. 【知识点】二倍角公式；两角和与差的三角函数；的性质；解三角形. C6 C5 C4 C8【答案】【解析】(1) 最小正周期为 ，在区间的最大值是0；（2）6.解析：(1)， 2分最小正周期为 4分所以在区间的最大值是0. 6分(2) , 8分由余弦定理得, 即,当且仅当时取等号.的周长的最大值是6. 12分法二：由，得，由正弦定理可得， 8分所以，
12、当时，L取最大值，且最大值为6 12分【思路点拨】（1）利用二倍角公式，两角和与差的三角函数将函数化为，从而)求函数的最小正周期及在区间的最大值；（2）由（1）及已知求得，再利用余弦定理及基本不等式求出L取最大值；或利用正弦定理转化为角利用三角函数求L取最大值. 【题文】19. (本小题满分12分)如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，O为AC的中点，PO平面ABCD，M 为PD的中点，ADC = 45o，AD = AC = 1，PO=a (1)证明：DA平面PAC； (2)如果二面角MACD的正切值为2，求a的值. 【知识点】线面垂直的判定；二面角的应用. G5 G11【答案】
13、【解析】(1)证明：见解析；（2）2. 解析：(1)证明：由题意，ADC = 45o，AD = AC = 1,故DAC = 90o即DAAC.又因为 PO平面ABCD,所以，DAPO，DA平面PAC 4分（2）法一：连结DO,作MGDO于G，作GHAO于H，因为M是PD中点，且MGDO，所以G为DO中点，且MG平面ABCD，显然，MHG即为二面角M-AC-D的平面角.8分因为GHAO，且G为DO中点，所以，而，故，PO=2MG=2. 12分 法二：建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz， 则,，设平面MAC的法向量为，则，所以的一个取值为 10分平面ACD的法向量为.设二面角的平面角为，因为，
14、所以, 所以a=2 12分 【思路点拨】(1)只需证明DA垂直于平面DAC中两条相交直线即可；（2）法一、找到二面角MACD的平面角(如图)MHG，因为,所以设法求出MG即可； 法二、建立空间直角坐标系，利用空间向量求解. 【题文】20. (本小题满分12分)从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50度至350度之间，频率分布直方图如图所示（1）根据直方图求的值，并估计该小区100户居民的月均用电量（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）从该小区已抽取的100户居民中，随机抽取月用电量超过250度的3户，参加节约用电知识普及讲座，其中恰有户月用电量超过300度，求
15、的分布列及期望.【知识点】统计；频率分布直方图；数据的读取；随机变量的分布列及数字特征. I5 K8【答案】【解析】（1），该小区100户居民的月均用电量为186度；（2）所以的分布列是0123=1解析：（1）解:由已知得 2分设该小区100户居民的月均用电量为S则9+22.5+52.5+49.5+33+19.5=1866分（2）该小区用电量在的用户数为，用电量在的用户数为时，时，,时，,时，10分所以的分布列是0123=1 12分【思路点拨】（1）根据频率和是1求x值，利用均值公式估计该小区100户居民的月均用电量；（2）由直方图求得该小区用电量在的用户数为12，用电量在的用户数为6，则的可
16、能取值为：0,1,2,3，利用组合数公式求得取各值时 的概率，进而得的分布列及期望.【题文】21. (本小题满分12分)已知椭圆C:过点，离心率为，点分别为其左右焦点.（1）求椭圆C的标准方程;（2）若上存在两个点，椭圆上有两个点满足，三点共线，三点共线，且.求四边形面积的最小值.【知识点】椭圆的标准方程及其几何性质；直线与圆锥曲线的位置关系. H5 H8【答案】【解析】(1) ;(2) . 解析：（1）由题意得：，得，因为，得，所以，所以椭圆C方程为. 4分（2） 当直线斜率不存在时，直线PQ的斜率为0，易得,.当直线斜率存在时，设直线方程为：与联立得；令，.，6分，直线PQ的方程为：将直线
17、与椭圆联立得，令,，；，8分四边形面积S=，令，上式 =所以.最小值为 12分【思路点拨】（1）待定系数法求椭圆的方程；（2）分类讨论：当直线斜率不存在时，直线PQ的斜率为0，易得,；当直线斜率存在时，设直线方程为：，与联立，得.，直线PQ的方程为：，将此直线与椭圆联立得， .所以四边形面积S= =,因为，可求得，此时S,综上，.最小值为. 【题文】22.(本小题满分12分)己知函数 (1)讨论函数f（x）的单调性；(2)设，若对任意不相等的正数，恒有，求a的取值范围.【知识点】导数的应用；不等式恒成立问题. B12 E8【答案】【解析】(1) 当时，在单调递增当时，在单调递减；当时，在单调递
18、增，在单调递减；（2） 解析：(1)的定义域为.当时，故在单调递增当时，故在单调递减；当时，令，解得即时，；时，；故在单调递增，在单调递减；6分（2）不妨设，而，由（1）知在单调递减，从而对任意，恒有 8分 令，则 ，原不等式等价于在单调递减，即，从而，故的取值范围为 .12分.如果考生将视为斜率，利用数形结合得到正确结果的，则总得分不超过8分.【思路点拨】（1）先求函数的定义域和导函数，再根据a的取值条件，确定导函数大于零，或小于零的x的取值区间，得函数的单调区间；（2）不妨设，而时，由（1）知在单调递减，所以对任意，恒有，所以恒成立， 令，则，原不等式等价于在单调递减，即，从而，故的取值范围为 【典例剖析】本题第二问较典型，利用函数的单调性去掉绝对值，转化为求一个新函数在某区间上单调的条件，即转化成立另一个恒成立问题.