1、2015-2016学年河北省邯郸市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.1如果ab0，那么下列不等式成立的是（）Aa2abBabb2CD2“xR，x220”的否定是（）AxR，x220BxR，x220Cx0R，x20Dx0R，x203在等差数列an中，a5=5，a10=15，则a15=（）A20B25C45D754在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=3，A=45，B=60，则b=（）ABCD5函数y=lnx+x在点（1，1）处的切线方程是（）A2xy1=0B2x+y1=0Cx2y+1
2、=0Dx+2y1=06“m0”是“x2+x+m=0无实根”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件7函数f（x）的定义域为R，其导函数f（x）的图象如图，则f（x）的极值点有（）A3个B4个C5个D6个8已知数列an是递增的等比数列，a1+a5=17，a2a4=16，则公比q=（）A4B4C2D29经过点（3，）的双曲线=1，其一条渐近线方程为y=x，该双曲线的焦距为（）AB2C2D410若函数f（x）=x4ax2bx1在x=1处有极值，则9a+3b的最小值为（）A4B9C18D8111在正方体ABCDA1B1C1D1中，直线DC1与平面A1BD所成角的余弦值是（
3、）ABCD12设椭圆+=1（ab0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是椭圆上一点，|PF1|=|PF2|（2），F1PF2=，则椭圆离心率的取值范围为（）A（0，B，C，D，1）二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分.、共20分.13已知=（2，3，1），=（x，y，2），若，则x+y=14若变量x，y满足约束条件，则z=x2y的最小值为15已知在观测点P处测得在正东方向A处一轮船正在沿正北方向匀速航行，经过1小时后在观测点P测得轮船位于北偏东60方向B处，又经过t小时发现该轮船在北偏东45方向C处，则t=16对于正整数n，设曲线y=xn（2x）在x=2处的切线与y轴交点的纵坐标为an，则数
4、列an的前n项和为Sn=三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17已知等差数列an，公差为2，的前n项和为Sn，且a1，S2，S4成等比数列，（1）求数列an的通项公式；（2）设bn=（nN*），求数列bn的前n项和Tn18ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c已知（a+c）2b2=3ac（1）求角B；（2）当b=6，sinC=2sinA时，求ABC的面积19已知抛物线C：y2=2px（p0）的焦点为F，C上一点（3，m）到焦点的距离为5（1）求C的方程；（2）过F作直线l，交C于A、B两点，若线段AB中点的纵坐标为1，求直线l的方程20如图，在多
5、面体ABCDE中，BAC=90，AB=AC=2，CD=2AE=2，AECD，且AE底面ABC，F为BC的中点（）求证：AFBD；（）求二面角ABED的余弦值21已知函数f（x）=ax2+bx在x=1处取得极值2（）求f（x）的解析式；（）若（m+3）xx2ex+2x2f（x）对于任意的x（0，+）成立，求实数m的取值范围22曲线C上的动点M到定点F（1，0）的距离和它到定直线x=3的距离之比是1：（）求曲线C的方程；（）过点F（1，0）的直线l与C交于A，B两点，当ABO面积为时，求直线l的方程2015-2016学年河北省邯郸市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题
6、共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.1如果ab0，那么下列不等式成立的是（）Aa2abBabb2CD【分析】利用不等式的基本性质即可判断出结论【解答】解：ab0，a2ab，abb2，b2a2即故选：A【点评】本题考查了不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题2“xR，x220”的否定是（）AxR，x220BxR，x220Cx0R，x20Dx0R，x20【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可【解答】解：命题是全称命题，则命题的否定是特称命题，即x0R，x20，故选：D【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础3在等
7、差数列an中，a5=5，a10=15，则a15=（）A20B25C45D75【分析】利用等差数列的通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出数列的第15项【解答】解：在等差数列an中，a5=5，a10=15，解得a1=3，d=2，a15=3+142=25故选：B【点评】本题考查等差数列的第15项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用4在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=3，A=45，B=60，则b=（）ABCD【分析】由已知利用正弦定理即可求值得解【解答】解：a=3，A=45，B=60，由正弦定理可得：b=故选：B【点评】本题主要考查了正弦定理在解
8、三角形中的应用，属于基础题5函数y=lnx+x在点（1，1）处的切线方程是（）A2xy1=0B2x+y1=0Cx2y+1=0Dx+2y1=0【分析】求函数的导数，利用导数的几何意义进行求解即可【解答】解：函数的导数为f（x）=+1，则f（1）=1+1=2，即切线斜率k=2，则函数y=lnx+x在点（1，1）处的切线方程是y1=2（x1），即2xy1=0，故选：A【点评】本题主要考查函数的切线的求解，求函数的导数，利用导数的几何意义求出切线斜率是解决本题的关键6“m0”是“x2+x+m=0无实根”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【分析】x2+x+m=0无实根
9、0，即可判断出结论【解答】解：x2+x+m=0无实根=14m0，m“m0”是“x2+x+m=0无实根”的必要不充分条件，故选：B【点评】本题考查了一元二次方程的实数根与判别式的关系、不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题7函数f（x）的定义域为R，其导函数f（x）的图象如图，则f（x）的极值点有（）A3个B4个C5个D6个【分析】结合图象，根据导数大于零，即导函数的图象在x轴上方，说明原函数在该区间上是单调递增，否则为减函数，极大值点两侧导数的符号，从左往右，符号相反，因此根据图象即可求得极值点的个数，【解答】解：结合函数图象，根据极值的定义可知在该点处从左向右
10、导数符号相反，从图象上可看出符合条件的有3点，故选：A【点评】本题主要考查函数在某点取得极值的条件，以及学生的识图能力属于基础题8已知数列an是递增的等比数列，a1+a5=17，a2a4=16，则公比q=（）A4B4C2D2【分析】设等比数列an是公比为q的递增的等比数列，运用等比数列的性质，求得a1=1，a5=16，再由等比数列的通项公式求得公比即可【解答】解：设等比数列an是公比为q的递增的等比数列，由a2a4=16，可得a1a5=16，又a1+a5=17，解得或（不合题意，舍去），即有q4=16，解得q=2（负的舍去）故选：D【点评】本题考查等比数列的通项公式的运用，是基础题9经过点（3
11、，）的双曲线=1，其一条渐近线方程为y=x，该双曲线的焦距为（）AB2C2D4【分析】将点（3，）代入双曲线的方程，由渐近线方程可得=，解得a，b，可得c=2，进而得到焦距2c=4【解答】解：点（3，）在双曲线=1上，可得=1，又渐近线方程为y=x，一条渐近线方程为y=x，可得=，解得a=，b=1，可得c=2，即有焦距为2c=4故选：D【点评】本题考查双曲线的焦距的求法，注意运用点满足双曲线的方程和渐近线方程的运用，考查运算能力，属于基础题10若函数f（x）=x4ax2bx1在x=1处有极值，则9a+3b的最小值为（）A4B9C18D81【分析】求出函数的导数，得到2a+b=4，根据基本不等式
12、的性质求出代数式的最小值即可【解答】解：f（x）=4x32axb，若f（x）在x=1处有极值，则f（x）=42ab=0，2a+b=4，9a+3b=32a+3b2=18，当且仅当9a=3b时“=”成立，故选：C【点评】本题考查了导数的应用，考查基本不等式的性质，是一道基础题11在正方体ABCDA1B1C1D1中，直线DC1与平面A1BD所成角的余弦值是（）ABCD【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线DC1与平面A1BD所成角的余弦值【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCDA1B
13、1C1D1中棱长为1，则D（0，0，0），C1（0，1，1），A1（1，0，1），B（1，1，0），=（0，1，1），=（1，0，1），=（1，1，0），设平面A1BD的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，1，1），设直线DC1与平面A1BD所成角为，则sin=，cos=直线DC1与平面A1BD所成角的余弦值为故选：C【点评】本题考查直线与平面所成角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用12设椭圆+=1（ab0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是椭圆上一点，|PF1|=|PF2|（2），F1PF2=，则椭圆离心率的取值范围为（）A（0，B，C，D，1）【分
14、析】设F1（c，0），F2（c，0），运用椭圆的定义和勾股定理，求得e2=，令m=+1，可得=m1，即有=2（）2+，运用二次函数的最值的求法，解不等式可得所求范围【解答】解：设F1（c，0），F2（c，0），由椭圆的定义可得，|PF1|+|PF2|=2a，可设|PF2|=t，可得|PF1|=t，即有（+1）t=2a由F1PF2=，可得|PF1|2+|PF2|2=4c2，即为（2+1）t2=4c2，由2，可得e2=，令m=+1，可得=m1，即有=2（）2+，由2，可得m3，即，则m=2时，取得最小值；m=或3时，取得最大值即有e2，解得e故选：B【点评】本题考查椭圆的定义、方程和性质，主要考查
15、离心率的范围，同时考查不等式的解法，属于中档题二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分.、共20分.13已知=（2，3，1），=（x，y，2），若，则x+y=10【分析】根据向量的共线定理，列出方程组求出x、y的值，再计算x+y的值【解答】解：=（2，3，1），=（x，y，2），且，=，解得x=4，y=6；x+y=10故答案为：10【点评】本题考查了空间向量的坐标运算与共线定理的应用问题，是基础题14若变量x，y满足约束条件，则z=x2y的最小值为2【分析】作出可行域，变形目标函数，平移直线y=x可得结论【解答】解：作出约束条件所对应的可行域（如图ABC），变形目标函数可得y=xz，平移直线y
16、=x可知，当直线经过点A（，）时，直线的截距最大，z取最小值2，故答案为：2【点评】本题考查简单线性规划，准确作图是解决问题的关键，属中档题15已知在观测点P处测得在正东方向A处一轮船正在沿正北方向匀速航行，经过1小时后在观测点P测得轮船位于北偏东60方向B处，又经过t小时发现该轮船在北偏东45方向C处，则t=【分析】设轮船的速度为v，求出BC，即可得出结论【解答】解：设轮船的速度为v，则AB=v，PA=AC=v，BC=（1）v，t=故答案为：【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题16对于正整数n，设曲线y=xn（2x）在x=2处的切线与y轴交点的纵坐
17、标为an，则数列an的前n项和为Sn=2n+24【分析】利用导数的几何意义求出切线方程为y=2n（x2），从而得到an=2n+1，利用等比数列的求和公式能求出Sn【解答】解：y=xn（2x），y=2nxn1（n+1）xn，曲线y=xn（2x）在x=2处的切线的斜率为k=n2n（n+1）2n=2n，切点为（2，0），切线方程为y=2n（x2），令x=0得an=2n+1，Sn=2n+24，故答案为：2n+24【点评】考查学生利用导数研究曲线上某点切线方程的能力，以及利用等比数列的求和公式进行数列求和的能力三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17已知等差数列
18、an，公差为2，的前n项和为Sn，且a1，S2，S4成等比数列，（1）求数列an的通项公式；（2）设bn=（nN*），求数列bn的前n项和Tn【分析】（1）由a1，S2，S4成等比数列得化简解得a1，再利用等差数列的通项公式即可得出；（2）利用“裂项求和”即可得出【解答】解：（1）由a1，S2，S4成等比数列得化简得，又d=2，解得a1=1，故数列an的通项公式（2）由（1）得，=【点评】本题考查了等差数列的通项公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题18ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c已知（a+c）2b2=3ac（1）求角B；（2）当b=6，sinC=2sin
19、A时，求ABC的面积【分析】（1）由余弦定理变形已知式子可得cosB的值，可得B值；（2）由题意和正弦定理可得c=2a，代入b2=a2ac+c2可得a和c的值，可得三角形为直角三角形，由面积公式可得【解答】解：（1）（a+c）2b2=3ac，b2=a2ac+c2，ac=a2+c2b2，B（0，），；（2）sinC=2sinA，由正弦定理可得c=2a，代入b2=a2ac+c2可得36=a2+4a22a2，解得，满足a2+b2=c2，ABC为直角三角形，ABC的面积S=26=6【点评】本题考查正余弦定理解三角形，涉及三角形的面积公式，属基础题19已知抛物线C：y2=2px（p0）的焦点为F，C上一
20、点（3，m）到焦点的距离为5（1）求C的方程；（2）过F作直线l，交C于A、B两点，若线段AB中点的纵坐标为1，求直线l的方程【分析】（1）利用抛物线的定义，求出p，即可求C的方程；（2）利用点差法求出直线l的斜率，即可求直线l的方程【解答】解：（1）抛物线C：y2=2px（p0）的准线方程为，由抛物线的定义可知解得p=4C的方程为y2=8x（2）由（1）得抛物线C的方程为y2=8x，焦点F（2，0）设A，B两点的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），则两式相减整理得线段AB中点的纵坐标为1直线l的斜率直线l的方程为y0=4（x2）即4x+y8=0【点评】本题考查抛物线的定义与方程，考
21、查点差法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题20如图，在多面体ABCDE中，BAC=90，AB=AC=2，CD=2AE=2，AECD，且AE底面ABC，F为BC的中点（）求证：AFBD；（）求二面角ABED的余弦值【分析】（1）推导出AFBC，从而AFDC，进而AF面BCD，由此能证明AFBD（2）以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AE为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角ABED的余弦值【解答】证明：（1）AB=AC，F为BC的中点，AFBC，又AECD，且AE底面ABC，AF底面ABC，AFDC，又BCDC=C，且BC、DC面BCD，AF面BCD，又BD面BCD，A
22、FBD解：（2）以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AE为z轴，建立空间直角坐标系如图，B（2，0，0），D（0，2，2），E（0，0，1），设面BED的一个法向量为，则，令z=2得x=1，y=1，又面ABE的一个法向量为，二面角ABED的平面角是锐角，二面角ABED的余弦值为【点评】本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用21已知函数f（x）=ax2+bx在x=1处取得极值2（）求f（x）的解析式；（）若（m+3）xx2ex+2x2f（x）对于任意的x（0，+）成立，求实数m的取值范围【分析】（）根据极值的定义得到关于a，b的方程
23、组，求出a，b的值，从而求出f（x）的表达式；（）问题等价于mxexx22x于任意的x（0，+）成立，设h（x）=xexx22x，根据函数的单调性求出m的范围即可【解答】解：（）函数f（x）=ax3+bx在x=1处取得极值2，解得，f（x）=x3+3x（）（m+3）xx2ex+2x2f（x）对于任意的x（0，+）成立，（m+3）xx2ex+2x2x3+3xmxexx22x于任意的x（0，+）成立设h（x）=xexx22x，则h（x）=ex+xex2x2=（x+1）（ex2），令h（x）=0解得x=ln2，且当0xln2时，h（x）0；当xln2时，h（x）0，h（x）=xexx22x在（0，l
24、n2）上单调递减，在（ln2，+）上单调递增，m（ln2）2【点评】本题考查了函数的单调性、极值、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题22曲线C上的动点M到定点F（1，0）的距离和它到定直线x=3的距离之比是1：（）求曲线C的方程；（）过点F（1，0）的直线l与C交于A，B两点，当ABO面积为时，求直线l的方程【分析】（）设M（x，y），运用两点的距离公式和点到直线的距离公式，化简整理即可得到所求方程；（）当l斜率不存在时，l方程为x=1，求得A，B的坐标，以及ABO的面积；由直线l斜率存在，设l方程为y=k（x1），代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，以及点到直线的距离公式，解方程可得斜率k，进而得到所求直线的方程【解答】解：（）设M（x，y）由题意可得，整理得，则曲线C的方程为；（）当l斜率不存在时，l方程为x=1，此时l与C的交点分别为，即有，则，由直线l斜率存在，设l方程为y=k（x1），由，得，设O到l的距离为d，则，解得k=1综上所述，当ABO面积为时，l的方程为y=x1或y=x+1【点评】本题考查轨迹方程的求法，注意运用坐标法，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，考查运算能力，属于中档题2016年7月31日