1、第七章 平面解析几何考点测试51 圆与方程第一部分 考点通关练高考概览高考在本考点中常考题型为选择题、填空题、解答题，分值为5 分或 12 分，中等难度考纲研读1.掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程2能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系3能用直线和圆的方程解决一些简单的问题4初步了解用代数方法处理几何问题的思想第1步狂刷小题 基础练解析 设圆心坐标为(0，b)，则由题意知012b221，解得b2，故圆的方程为 x2(y2)21.故选 A.答案解析一、基础小题1圆心在 y 轴上，半径为 1，且过点(1,2)的圆的方程为()Ax2
2、(y2)21 Bx2(y2)21C(x1)2(y3)21 Dx2(y3)21解析 圆心 C(3,0)，kPC12，则 kMN2，所以弦 MN 所在直线的方程为 y12(x1)，即 2xy10.故选 D.答案解析2若点 P(1,1)为圆 C：(x3)2y29 的弦 MN 的中点，则弦 MN 所在直线的方程为()A2xy30 Bx2y10Cx2y30 D2xy10解析 将圆的方程化为标准方程得xa22yb22a2b24，圆心坐标为a2，b2，半径 ra2b22，圆心到直线 axby0 的距离 da2b22a2b2a2b22r，圆与直线的位置关系是相切故选 B.答案解析3直线 axby0 与圆 x2
3、y2axby0 的位置关系是()A相交B相切C相离D不能确定解析 由题意知，O1 的圆心为 O1(3,0)，半径为 2，O2 的圆心为O2(0,4)，半径为 r.若O1 与O2 相切，则|O1O2|r2 或|O1O2|r2|，解得 r3 或 7，所以“r3”是“O1 与O2 相切”的充分不必要条件故选 A.答案解析4已知O1：(x3)2y24，O2：x2(y4)2r2(r0)，则“r3”是“O1 与O2 相切”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案5设圆 x2y22x2y20 的圆心为 C，直线 l 过(0,3)与圆 C 交于A，B 两点，若|AB|2 3，
4、则直线 l 的方程为()A3x4y120 或 4x3y90B3x4y120 或 x0C4x3y90 或 x0D3x4y120 或 4x3y90解析 当直线 l 的斜率不存在，即直线 l 的方程为 x0 时，弦长为 2 3，符合题意；当直线 l 的斜率存在时，可设直线 l 的方程为 ykx3，由弦长为 2 3，半径为 2 可知，圆心到该直线的距离为 1，从而有|k2|k211，解得 k34，综上，直线 l 的方程为 x0 或 3x4y120，故选 B.解析答案6若圆 x2y2a2 与圆 x2y2ay60 的公共弦长为 2 3，则 a 的值为()A2 B2 C1 D1解析 设圆 x2y2a2 的圆
5、心为 O，半径 r|a|，将 x2y2a2 与 x2y2ay60 联立，可得 a2ay60，即公共弦所在的直线方程为 a2ay60，原点 O 到直线 a2ay60 的距离为6aa，根据勾股定理可得 a236aa 2，解得 a2.故选 B.解析答案7若圆 x2y24x4y100 上至少有三个不同点到直线 l：axby0 的距离为 2 2，则直线 l 的斜率的取值范围是()A2 3，1 B2 3，2 3C33，3D0，)解析 圆 x2y24x4y100 可化为(x2)2(y2)218，则圆心坐标为(2,2)，半径为 3 2.由圆 x2y24x4y100 上至少有三个不同点到直线 l：axby0 的
6、距离为 2 2可得，圆心到直线 l：axby0 的距离d3 22 2 2，即|2a2b|a2b2 2，则 a2b24ab0，若 a0，则b0，不符合题意，故 a0 且 b0，则可化为 1ba24ba 0，由于直线 l 的斜率 kab，所以 1ba24ba 0 可化为 11k24k0，解得 k2 3，2 3，故选 B.解析解析 依题意，圆 E 的圆心坐标为 E(a,1)，发现 El1，El2，即直线l1，l2 都过圆心，故|AC|BD|6.设直线 l1 的斜率为 k1，直线 l2 的斜率为 k2，由 k1k21，得 l1l2.故所求面积为126218.答案解析8已知 aR，直线 l1：x2ya2
7、 和直线 l2：2xy2a1 分别与圆 E：(xa)2(y1)29 相交于点 A，C 和点 B，D，则四边形 ABCD 的面积是_答案 18答案二、高考小题9(2018全国卷)直线 xy20 分别与 x 轴，y 轴交于 A，B 两点，点 P 在圆(x2)2y22 上，则ABP 面积的取值范围是()A2,6 B4,8C 2，3 2 D2 2，3 2解析 直线 xy20 分别与 x 轴，y 轴交于 A，B 两点，A(2,0)，B(0，2)，则|AB|2 2.点 P 在圆(x2)2y22 上，圆心为(2,0)，圆心到直线 xy20 的距离 d1|202|22 2，故点 P 到直线 xy20 的距离
8、d2 的范围为 2，3 2，则 SABP12|AB|d2 2d22,6，故选A.解析解析 cos2sin21，P 点的轨迹是以原点为圆心的单位圆，又 xmy20 表示过点(2,0)且斜率不为 0 的直线，如图，可得点(1,0)到直线 x2 的距离即为 d 的最大值故选 C.答案解析10(2018北京高考)在平面直角坐标系中，记 d 为点 P(cos，sin)到直线 xmy20 的距离当，m 变化时，d 的最大值为()A1 B2 C3 D4解析 根据题意画出图形，可知 A(2，1)，C(0，m)，B(0,3)，则|AB|2021322 5，|AC|2021m24m12，|BC|m3|.直线 2x
9、y30 与圆 C 相切于点 A，BAC90，|AB|2|AC|2|BC|2.即 204(m1)2(m3)2，解得 m2.因此 r|AC|42125.解析11(2019浙江高考)已知圆 C 的圆心坐标是(0，m)，半径长是 r.若直线 2xy30 与圆 C 相切于点 A(2，1)，则 m_，r_.2 5答案 2 2解析 根据题意，圆的方程可化为 x2(y1)24，所以圆的圆心为(0，1)，且半径是 2，根据点到直线的距离公式可以求得圆心到直线的距离 d|011|1212 2，所以|AB|2422 2.答案解析12(2018全国卷)直线 yx1 与圆 x2y22y30 交于 A，B 两点，则|AB
10、|_.答案 3答案13(2018江苏高考)在平面直角坐标系 xOy 中，A 为直线 l：y2x 上的第一象限内的点，B(5,0)，以 AB 为直径的圆 C 与直线 l 交于另一点 D.若ABCD 0，则点 A 的横坐标为_解析 解法一：设 A(a,2a)，a0，则 Ca52，a，圆 C 的方程为xa522(ya)2a524a2，由xa522ya2a524a2，y2x，得xD1，yD2，ABCD(5a，2a)a32，2a a22a1522a24a0，a3 或 a1，又 a0，a3，点 A 的横坐标为 3.解析解法二：由题意易得BAD45.设直线 DB 的倾斜角为，则 tan12，tanABOta
11、n(45)3，kABtanABO3.AB 的方程为 y3(x5)，由y3x5，y2x，得 xA3.解析答案 5 2，1答案14(2017江苏高考)在平面直角坐标系 xOy 中，A(12,0)，B(0,6)，点P 在圆 O：x2y250 上若PAPB20，则点 P 的横坐标的取值范围是_解析 解法一：因为点 P 在圆 O：x2y250 上，所以设 P 点坐标为(x，50 x2)(5 2x5 2)因为 A(12,0)，B(0,6)，所以PA(12x，50 x2)或PA(12x，50 x2)，PB(x,6 50 x2)或PB(x,6 50 x2)因为PAPB20，先取 P(x,50 x2)进行计算，
12、所以(12x)(x)(50 x2)(650 x2)20，即 2x550 x2.解析当 2x50，即 x52时，上式恒成立；当 2x50，即 x52时，(2x5)250 x2，解得5x1，故 x1.同理可得 P(x，50 x2)时，x5.又5 2x5 2，所以5 2x1.故点 P 的横坐标的取值范围为5 2，1解析解析解法二：设 P(x，y)，则PA(12x，y)，PB(x，6y)PAPB20，(12x)(x)(y)(6y)20，即 2xy50.如图，作圆 O：x2y250，直线 2xy50 与O 交于 E，F 两点，P 在圆 O 上且满足 2xy50，点 P 在EDF上由x2y250，2xy5
13、0得 F 点的横坐标为 1.又 D 点的横坐标为5 2，P 点的横坐标的取值范围为5 2，1解析答案 4解析 由题意可知直线 l 过定点(3，3)，该定点在圆 x2y212 上，不妨设点 A(3，3)，由于|AB|2 3，r2 3，所以圆心到直线 AB 的距离为 d2 32 323，又由点到直线的距离公式可得 d|3m 3|m21 3，解得 m 33，所以直线 l 的斜率 km 33，即直线 l 的倾斜角为30.答案解析15(2016全国卷)已知直线 l：mxy3m 30 与圆 x2y212交于 A，B 两点，过 A，B 分别作 l 的垂线与 x 轴交于 C，D 两点若|AB|2 3，则|CD
14、|_.如图，过点 C 作 CHBD，垂足为 H，所以|CH|2 3，在 RtCHD中，HCD30，所以|CD|2 3cos304.解析解析 圆 C 的方程可化为xk22(y1)234k21.所以当 k0 时圆C 的面积最大故圆心 C 的坐标为(0，1)故选 D.答案解析三、模拟小题16(2019宜昌模拟)已知圆 C：x2y2kx2yk2，当圆 C 的面积取最大值时，圆心 C 的坐标为()A12，1B(1，1)C(1，1)D(0，1)答案17(2019广州市三校联考)已知点 P(a，b)(ab0)是圆 x2y2r2 内的一点，直线 m 是以 P 为中点的弦所在直线，直线 l 的方程为 axbyr
15、2，那么()Aml，且 l 与圆相交Bml，且 l 与圆相切Cml，且 l 与圆相离Dml，且 l 与圆相离解析 点 P(a，b)(ab0)在圆内，a2b2r2r r，l 与圆相离故选 C.解析答案18(2019凌源联考)已知直线 l：xy10 截圆：x2y2r2(r0)所得的弦长为 14，点 M，N 在圆 上，且直线 l：(12m)x(m1)y3m0 过定点 P，若 PMPN，则|MN|的取值范围为()A2 2，2 3 B2 2，2 2C 6 2，6 3 D 6 2，6 2解析 依题意得 2r212 14，解得 r2.因为直线 l：(12m)x(m1)y3m0 过定点 P，所以 P(1，1)
16、，设 MN 的中点为 Q(x，y)，则|OM|2|OQ|2|MQ|2|OQ|2|PQ|2，即 4x2y2(x1)2(y1)2，化简可得x122y12232，所以点 Q 的轨迹是以12，12 为圆心，62 为半径的圆，所以|PQ|的取值范围为6 22，6 22，|MN|的取值范围为 6 2，6 2故选 D.解析答案 1，15解析 设 AB 的中点为 M(x0，y0)，由勾股三角形知|OM|2，即 x20y202，又PO(PAPB)16，则PO 2PM 16，即PO PM 8，(3,1)(x03，y01)8，将联立得 x01，15.答案解析19(2020江苏七市调研)在平面直角坐标系 xOy 中，
17、已知点 A，B 在圆x2y24 上，且 AB2 2，点 P(3，1)，PO(PAPB)16，设 AB 的中点 M 的横坐标为 x0，则 x0 的所有值为_答案 53，53解析 如图，AB 的斜率ka4a30 43，|AB|302a4a232425，答案解析20(2019河北联考)在平面直角坐标系 xOy 中，已知 A(0，a)，B(3，a4)，若圆 x2y29 上有且仅有四个不同的点 C，使得ABC 的面积为 5，则实数 a 的取值范围是_设ABC 的高为 h，ABC 的面积为 5，S12|AB|h125h5，即 h2，直线 AB 的方程为 ya43x，即 4x3y3a0.若圆 x2y29 上
18、有且仅有四个不同的点 C，则圆心 O 到直线 4x3y3a0 的距离 d|3a|4232|3a|5，则应该满足 dRh321，即|3a|5 1，得|3a|5，得53a0)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)由ykx1，y24x，得 k2x2(2k24)xk20.解3(2018全国卷)设抛物线 C：y24x 的焦点为 F，过 F 且斜率为 k(k0)的直线 l 与 C 交于 A，B 两点，|AB|8.(1)求 l 的方程；(2)求过点 A，B 且与 C 的准线相切的圆的方程16k2160，故 x1x22k24k2.所以|AB|AF|BF|(x11)(x21)4k24k2.由题设知4k24k28
19、，解得 k1(舍去)，k1.因此 l 的方程为 yx1.解(2)由(1)得 AB 的中点坐标为(3,2)，所以 AB 的垂直平分线方程为 y2(x3)，即 yx5.设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，则y0 x05，x012y0 x012216，解得x03，y02或x011，y06.因此所求圆的方程为(x3)2(y2)216 或(x11)2(y6)2144.解解(1)证明：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，l：xmy2，由xmy2，y22x可得 y22my40，则 y1y24.又 x1y212，x2y222，故 x1x2y1y2244.因此 OA 的斜率与 OB 的斜率之积为y1x1y2
20、x244 1，所以 OAOB，解4(2017全国卷)已知抛物线 C：y22x，过点(2,0)的直线 l 交 C 于 A，B 两点，圆 M 是以线段 AB 为直径的圆(1)证明：坐标原点 O 在圆 M 上；(2)设圆 M 过点 P(4，2)，求直线 l 与圆 M 的方程故坐标原点 O 在圆 M 上(2)由(1)可得 y1y22m，x1x2m(y1y2)42m24，故圆心 M 的坐标为(m22，m)，圆 M 的半径 rm222m2.由于圆 M 过点 P(4，2)，因此APBP0，故(x14)(x24)(y12)(y22)0，即 x1x24(x1x2)y1y22(y1y2)200.由(1)可知 y1
21、y24，x1x24，所以 2m2m10，解得 m1 或 m12.解当 m1 时，直线 l 的方程为 xy20，圆心 M 的坐标为(3,1)，圆 M的半径为 10，圆 M 的方程为(x3)2(y1)210.当 m12时，直线 l 的方程为 2xy40，圆心 M 的坐标为94，12，圆 M 的半径为 854，圆 M 的方程为x942y1228516.解5(2016江苏高考)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以 M 为圆心的圆 M：x2y212x14y600 及其上一点 A(2,4)(1)设圆 N 与 x 轴相切，与圆 M 外切，且圆心N 在直线 x6 上，求圆 N 的标准方程；(2)设平行于
22、OA 的直线 l 与圆 M 相交于 B，C两点，且 BCOA，求直线 l 的方程；(3)设点 T(t,0)满足：存在圆 M 上的两点 P 和 Q，使得TATPTQ，求实数 t 的取值范围解 圆 M 的标准方程为(x6)2(y7)225，所以圆心 M(6,7)，半径为 5.(1)由圆心 N 在直线 x6 上，可设 N(6，y0)因为圆 N 与 x 轴相切，与圆 M 外切，所以 0y00)，由题意，得 a0，b0，|a|r，|a 3b2|2r，解得a2，b0，r2，圆 C 的标准方程为(x2)2y24.(2)由yxm，x22y24，消去 y 整理，得2x22(m2)xm20.直线 yxm 与圆 C 相交于 M，N 两点，4(m2)28m20，解得22 2m0，m2(m1)(2m)(m1)20，整理，得 m2m10，解得 m1 52.又22 2m22 2，解22 2m1 52或1 52m22 2.故实数 m 的取值范围是22 2，1 521 52，22 2.本课结束