1、第二章 函数、导数及其应用考点测试4 函数及其表示第一部分 考点通关练高考概览高考在本考点的常考题型为选择题和填空题，分值 5 分，中高等难度考纲研读1.了解构成函数的要素，了解映射的概念2在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数3了解简单的分段函数，并能简单应用第1步狂刷小题 基础练一、基础小题1设 f，g 都是由 A 到 A 的映射，其对应关系如下：映射 f 的对应关系x1234f(x)3421映射 g 的对应关系x1234g(x)4312则 fg(1)的值为()A1 B2 C3 D4答案解析 根据映射 g 的对应关系，可得 g(1)4，再根据映射
2、f 的对应关系，可得 f(4)1，故选 A.解析解析 令 x1t，则 xt1，所以 f(t)t1t2，即 f(x)x1x2.故选 A.答案解析2已知函数 f(x1)xx1，则函数 f(x)的解析式为()Af(x)x1x2Bf(x)xx1Cf(x)x1xDf(x)1x2解析 当 x0，0，x0，1，x0，则()A|x|x|sgnx|B|x|xsgn|x|C|x|x|sgnxD|x|xsgnx解析 将点 A，B 的坐标代入一次函数 yaxb，得 b1,2ab3，则 a1.故一次函数的解析式为 yx1.故选 C.答案解析4若点 A(0,1)，B(2,3)在一次函数 yaxb 的图象上，则一次函数的解
3、析式为()Ayx1 By2x1Cyx1 Dy2x1解析 设 f(x)kx(k0)，由题意有 2k，所以 f(x)2x，故 f(3)23.故选B.答案解析5已知反比例函数 yf(x)若 f(1)2，则 f(3)()A1 B23C13D16若函数 yf(x)的定 义域为 Mx|2x2，值域为 Ny|0y2，则函数 yf(x)的图象可能是()解析 由函数的定义排除 C；由函数 yf(x)的定义域为 Mx|2x2排除 A；由函数 yf(x)的值域为 Ny|0y2，排除 D；故选B.答案解析解析 解法一：由 f(x1)(x1)22 得 f(x)x22.故选 C.解法二：令 x1t，则 xt1，所以 f(
4、t)(t1)22(t1)3t22，故 f(x)x22.故选 C.答案解析7已知 f(x1)x22x3，则 f(x)()Ax24x6 Bx22x2Cx22 Dx21解析 令 t12x1，则 x2t2，f(t)2(2t2)54t1，则 f(a)4a16，解得 a74.答案解析8已知 f12x1 2x5，且 f(a)6，则 a 等于()A.74B74C43D43解析 甲 6 元时该商人全部买入甲商品，可以买120620(万份)，在 t2 时刻全部卖出，此时获利 20240(万元)，乙 4 元时该商人买入乙商品，可以买(12040)440(万份)，在 t4 时刻全部卖出，此时获利 40280(万元)，
5、共获利 4080120(万元)故选 C.答案解析9已知甲、乙两种商品在过去一段时间内的价格走势如图所示假设某商人持有资金 120 万元，他可以在 t1 至 t4 的任意时刻买卖这两种商品，且买卖能够立即成交(其他费用忽略不计)如果他在 t4 时刻卖出所有商品，那么他将获得的最大利润是()A40 万元B60 万元C120 万元D140 万元解析 令 12x12，得 x14，所以 f12 2142 116123116 831.答案解析10已知函数 g(x)12x，fg(x)2x2x2，则 f12 _.答案 831解析 由 ff(a)2f(a)得，f(a)1.当 a1 时，有 3a11，所以 a23
6、，所以23a1.当 a1 时，有 2a1，所以 a0，所以 a1.综上，a23.答案解析11设函数 f(x)3x1，x1，2x，x1，则满足 ff(a)2f(a)的 a 的取值范围为_答案 23，答案答案 f(x)x1，1x0，12x，0 x212若函数 f(x)在闭区间1,2上的图象如图所示，则此函数的解析式为_解析 由题图可知，当1x0 时，f(x)x1；当 0 x2 时，f(x)12x，所以 f(x)x1，1x0，12x，0 x2.解析解析 21，f(log212)6.f(2)f(log212)9.答案解析二、高考小题13(2015全国卷)设函数 f(x)1log22x，x1，2x1，x
7、1，则 f(2)f(log212)()A3 B6 C9 D12解析 对于 A，令 x0，得 f(0)0；令 x2，得 f(0)1，这与函数的定义不符，故 A 错误在 B 中，令 x0，得 f(0)0；令 x2，得 f(0)242，与函数的定义不符，故 B 错误在 C 中，令 x1，得 f(2)2；令 x1，得 f(2)0，与函数的定义不符，故 C 错误在 D 中，变形为 f(|x1|21)|x1|，令|x1|21t，得 t1，|x1|t1，从而有 f(t)t1，显然这个函数关系在定义域1，)上是成立的，故选 D.答案解析14(2015浙江高考)存在函数 f(x)满足：对于任意 xR 都有()A
8、f(sin2x)sinxBf(sin2x)x2xCf(x21)|x1|Df(x22x)|x1|解析 f(x4)f(x)，函数 f(x)的周期为 4，f(15)f(1)12，f12 cos4 22，ff(15)f12 22.答案解析15(2018江苏高考)函数 f(x)满足 f(x4)f(x)(xR)，且在区间(2,2上，f(x)cosx2，0 x2，|x12|，21的 x 的取值范围是_答案 14，解析 由题意知，可对不等式分 x0,0 x12，x12三段讨论当 x0 时，原不等式为 x1x121，解得 x14，所以14x0.当 0 x12时，原不等式为 2xx121，显然成立当 x12时，原
9、不等式为 2x2x121，显然成立综上可知，x14.解析解析 因为 f(1)1223，所以 ff(1)f(3)3 1324.故选 C.答案解析三、模拟小题17(2019合肥一检)已知函数 f(x)x 1x2，x2，x22，x2，则 ff(1)()A12B2 C4 D11解析 因为 f(x)2xa，g(x)14(x23)，所以 gf(x)14(2xa)2314(4x24axa23)x2axa234x2x1，求得 a1.故选 B.答案解析18(2019江西南昌一模)设函数 f(x)2xa，g(x)14(x23)，且 gf(x)x2x1，则实数 a 的值为()A1 B1 C1 或1 D1 或2答案1
10、9(2019石家庄模拟)已知 f(x)log3x，x0，axb，x0(0a1)，且 f(2)5，f(1)3，则 ff(3)()A2B2 C3 D3解析 由题意得，f(2)a2b5，f(1)a1b3，联立，结合 0a0，12x1，x0，则 f(3)12319，ff(3)f(9)log392，故选 B.解析答案20(2020湖南雅礼中学月考)下列函数为同一函数的是()Ayx22x 和 yt22tByx0 和 y1Cyx12和 yx1Dylg x2 和 y2lg x解析 对于 A，yx22x 和 yt22t 的定义域都是 R，对应关系也相同，是同一函数；对于 B，yx0 的定义域是x|x0，而 y1
11、 的定义域是 R，两函数的定义域不同，不是同一函数；对于 C，yx12|x1|和 yx1 的定义域都是 R，但对应关系不相同，不是同一函数；对于D，ylg x2 的定义域是x|x0，而 y2lg x 的定义域是x|x0，两函数的定义域不同，不是同一函数故选 A.解析解析 因为前 3 年年产量的增长速度越来越快，可知图象的斜率随 x的变大而变大，在图象上呈现下凹的情形；又因为后 3 年年产量的增长速度保持不变，可知图象的斜率不变，呈直线型变化故选 A.答案解析21(2019山西太原模拟)某工厂 6 年来生产某种产品的情况是：前 3年年产量的增长速度越来越快，后 3 年(没有停产)的年产量的增长速
12、度保持不变，将该厂 6 年来这种产品的总产量 C 与时间 t(年)的函数关系用图象表示，则正确的是()答案22(2019广东深圳模拟)在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，若函数 f(x)的图象恰好经过 n(nN*)个整点，则称函数f(x)为 n 阶整点函数给出下列函数：f(x)sin2x；g(x)x3；h(x)13x；(x)ln x.其中是一阶整点函数的是()ABCD解析 对于函数 f(x)sin2x，它的图象(图略)只经过一个整点(0,0)，所以它是一阶整点函数，排除 D；对于函数 g(x)x3，它的图象(图略)经过整点(0,0)，(1,1)，所以它不是一阶整点函数，排除
13、 A；对于函数 h(x)13x，它的图象(图略)经过整点(0,1)，(1,3)，所以它不是一阶整点函数，排除 B.故选 C.解析答案 f(x)x22(x2 或 x2)解析(配凑法)由于 fx1x x2 1x2x1x22，所以 f(x)x22，x2或 x2，故 f(x)的解析式是 f(x)x22(x2 或 x2)答案解析23(2020成都摸底)已知 fx1x x21x2，则 f(x)的解析式为_答案 5解析 f(x)f(x)22x1sinx22x1sinx22x12x112x2，且 f(0)1，f(2)f(1)f(0)f(1)f(2)5.答案解析24(2020湖北武汉摸底)已知函数 f(x)22
14、x1sinx，则 f(2)f(1)f(0)f(1)f(2)_.第2步精做大题 能力练一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型二、模拟大题1(2020昆明摸底)已知 f(x)fx1，2x0，2x1，0 x0，求实数 a 的值解(1)由题意，得 f32 f321 f12 f12 2.(2)当 0a2xm 在1,1上恒成立，即 x23x1m0 在1,1上恒成立设 g(x)x23x1m，其图象的对称轴为直线 x32，所以 g(x)在1,1上单调递减故只需 g(1)0，即 12311m0，解得 m1.故实数 m 的取值范围是(，1)解解(1)由题意知 f(1)2f(11)2f(0)0，f(1.5)f
15、(10.5)12f(0.5)121418.(2)当 x0,1)时，f(x)x2；当 x1,2)时，x10,1)，解3(2019银川模拟)已知函数 f(x)对任意实数 x 均有 f(x)2f(x1)，且 f(x)在区间0,1)上有表达式 f(x)x2.(1)求 f(1)，f(1.5)；(2)写出 f(x)在区间2,2上的表达式f(x)12f(x1)12(x1)2，当 x1,0)时，x10,1)，f(x)2f(x1)2(x1)2；当 x2，1)时，x11,0)，f(x)2f(x1)22(x11)24(x2)2.所以 f(x)0，x2，12x12，x1，2，x2，x0，1，2x12，x1，0，4x22，x2，1.解本课结束